Printre alte căutări ale mele, veți găsi aici și germenii unei noi Fizici, bazate pe forma elicoidală a traiectoriilor. În Fizica elicoidală repausul și mișcarea rectilinie sunt imposibile (pentru că duc la paradoxul informațional). În Fizica elicoidală corpurile libere se mișcă pe o elice, nu pe o dreaptă.
Motto: „Trebuie să supui îndoielii tot ce poate fi pus la îndoială, doar astfel se poate descoperi ce nu poate fi pus la îndoială.” (Tadeusz Kotarbiński)
Păi, e strigător la cer! Adică cum? Adică ce este acela Big Bang? Adică ce, vrea să spună că toată energia din Univers a apărut din senin aşa deodată atunci când i s-a năzărit ei? Ei, nu mai spune! Păi, aşa rău a ajuns Fizica? Încât şi astăzi se mai crede în Big Bang?
Păi, înainte să apară această mizerie a Fizicii, nu ştiam noi frumos că energia totală se conservă? Şi-atunci ce facem? Ne jucăm de-a „uite alba, nu e neagra”? Când ne place folosim legea de conservare a energiei şi când e să explicăm deplasarea spre roşu începem cu bizarerii de genul Big Bang? Păi, se poate?
Păi, uite că nu se poate! A venit vremea să terminăm odată cu această măgărie! A venit vremea să ne debarasăm definitiv de ipotezele contradictorii. Să alegem: ori legea de conservare a energiei, dar atunci să nu mai auzim de Big Bang, ori Big Bang, dar atunci să nu mai auzim de legea de conservare a energiei! Şi sunt convins că din cele două o alegeţi pe prima.
A venit vremea să căutăm adevărata explicaţie pentru deplasarea spre roşu a liniilor spectrale, o explicaţie care să nu se mai bazeze pe absurdităţi (ce explicaţie o mai fi şi aia?), o explicaţie care să nu arunce la gunoi legi ale Fizicii pe care le folosim în mod curent, în acceleratoare, în misiuni spaţiale, în bucătărie sau în mai ştiu eu ce alte domenii. Şi, mai ales, a venit vremea să nu mai acceptăm situaţii pe muchie de cuţit, situaţii contradictorii, situaţii care se exclud reciproc. Nu dom'le! Nu poţi explica deplasarea spre roşu decât apelând la mârşăvii de genul Big Bang? Atunci stai frumos în banca ta şi recunoaşte că nu poţi explica deplasarea spre roşu, şi basta!
Aaaaa! Stai aşa, că mai nou s-a descoperit că deplasarea asta spre roşu este oarecum accelerată, nu doar proporţională cu distanţa. Şi culmea, ca să poată explica acceleraţia, fizicienii s-au încăpăţânat să menţină explicaţia cu Big Bangul şi au mai adăugat un non-sens: cică e vorba despre materie întunecată, despre un fel de materie pe care n-o putem depista dar cu toate acestea umple Universul mai bine decât materia obişnuită. Şi acum se joacă cu procentele din această materie întunecată ca să poată explica acceleraţia deplasării spre roşu. Ce contează că n-au nicio justificare teoretică pentru procentele-astea? Important este să explicăm datele experimentale, apoi a fi ce-a fi! Dacă va mai apărea vreo necunoscută, vor găsi ei ceva petec pe care să-l lipească la teoria actuală pentru a o ţine în viaţă măcar în generaţia celor care au propus-o.
Păi, întreb eu, atunci de ce nu se joacă în aşa fel cu procentele astea încât să ne scape măcar de cealaltă bizarerie, a Big Bangului? Dacă Big Bangul tot nu explică în mod corect sau complet deplasarea spre roşu, atunci de ce ne mai trebuie Big Bang pentru a o explica? De ce nu punem toată deplasarea spre roşu în cârca materiei întunecate?
Noa, mi s-a cam făcut greaţă de la atâta amintire despre muribundul Big Bang. Mă duc să dau afară răul de la rădăcină! Până scap de această amintire, vă las în compania altor voci care atrag atenţia asupra limitelor Big Bangului, dar care, din păcate, nu aduc în discuţie şi încălcarea flagrantă a legii de conservare e energiei.
Să arătăm aici că o curbă de precesie constantă este o elice de ordinul doi, adică are lancretianul (de ordinul 1 sau 1-lancretianul) variabil, dar lancretianul de ordinul 2 (sau 2-lancretianul) constant.
Să calculăm lancretianul (de primul ordin) al acestei curbe. Prin definiţie, lancretianul (de ordinul corespunzător) este raportul dintre curbură şi torsiune (de acelaşi ordin). Aşadar
.
Am arătat astfel că lancretianul de primul ordin al curbei de precesie constantă nu este constant, ci depinde de s.
În fine, să arătăm că lancretianul de ordinul doi al curbei de precesie constantă este deja constant. Avem
,
unde şi sunt curbura şi torsiunea de ordinul doi aşa cum au fost ele calculate într-un material anterior. Aşadar, să calculăm întâi curbura de ordinul doi a curbei de precesie constantă
şi torsiunea de ordinul doi a acestei curbe
.
Mamma mia! Dumnezeule! Observaţi? Adică, curbura şi torsiunea de ordinul doi ale curbei de precesie constantă sunt respectiv tocmai cele două constante care apar în definiţia curbei! Doamne, faină-i lumea asta!
Evident, acum rezultă simplu că lancretianul de ordinul doi al curbei de precesie constantă este deja constant, căci este raportul a două constante
,
ceea ce am şi intenţionat să arătăm în acest material.
Ei bine, faptul că lancretianul de ordinul doi al curbei de precesie constantă este constant justifică echivalarea acestei curbe cu o elice de ordinul doi.
Obsedat de această forţă Lorentz pe care am început s-o reaprofundez, aş vrea să mai scot în evidenţă una dintre frământările care nu-mi dau pace în legătură cu ea. Priviţi-o încă o dată!
.
Ştim că produsul vectorial, care apare aici ca fiind al doilea termen, implică funcţia trigonometrică în care este unghiul pe care îl face viteza cu câmpul magnetic. Totodată, acest produs vectorial implică o perpendicularitate a forţei pe viteză. Apoi mai ştim că în situaţii obişnuite, naturale, câmpul electric este perpendicular pe câmpul magnetic.
Cu aceste observaţii în minte, haideţi acum să ne reamintim câte ceva despre numerele complexe. Ştim despre numerele complexe că pot fi scrise sub o formă trigonometrică, în care cel de-al doilea termen conţine funcţia trigonometrică , iar primul termen conţine funcţia trigonometrică . De asemenea, ştim că numerele complexe pot fi reprezentate într-un plan, reprezentare în care apar două componente reciproc perpendiculare.
Bun. Atunci am putea găsi vreo analogie între cele două elemente ale studiului? Am putea face cumva o oarecare ordine printre aceste observaţii? Am putea găsi cumva în primul termen al forţei Lorentz o funcţie trigonometrică , în aşa fel încât această forţă Lorentz să fie asimilată unui număr complex? Hmmm...
Ah, ce eliberat mă simt acum că v-am transmis şi vouă această frământare!
Să analizăm puţin mai atenţi expresia forţei Lorentz.
.
Observăm că în membrul stâng avem un element cu dimensiuni mecanice. Aşadar, şi în membrul drept va trebui să avem tot dimensiuni mecanice. Mai precis, ambii termeni ai sumei din membrul drept vor trebui să aibă dimensiuni mecanice. Aşadar, atât produsul qE are dimensiune mecanică, cât şi produsul vqB. Şi cum v are dimensiune mecanică, rezultă că şi qB are dimensiune mecanică.
Din punctul meu de vedere, aceste constatări scot în evidenţă faptul că în orice fenomen fizic în care apar cele două produse am putea eluda caracterul electromagnetic al eventualilor parametri, putându-i considera efectiv doar parametri mecanici.
Mai rămâne să vedem dacă există vreun fenomen fizic în care factorii produselor amintite ar putea apărea distincţi, în exteriorul produselor. Nu cumva nu există un astfel de fenomen fizic? Nu cumva în orice fenomen fizic cei trei factori ai celor două produse apar doar grupaţi în produsele qE sau qB?
Desigur, această încercare a mea are din nou menirea de a scoate în evidenţă apropierea dintre mecanică şi electromagnetism, a căror separare mă nemulţumeşte, mă nelinişteşte necontenit.
Să presupunem că un corp cosmic foarte îndepărtat, despre ale cărui sarcină electrică şi masă nu ştim nimic datorită distanţei la care se află de noi şi de celelalte corpuri din Univers, se deplasează prin spaţiu cu o anumită viteză pe o anumită traiectorie. Şi vrem să determinăm câteva dintre proprietăţile corpului şi ale spaţiului din vecinătatea acelui corp folosindu-ne de informaţiile pe care le putem obţine doar din analiza traiectoriei acelui corp. Aşadar, să vedem ce ne poate spune traiectoria singură despre proprietăţile corpului şi ale spaţiului din jurul său. Pentru aceasta, vom descompune studiul nostru în mai multe etape, desfăşurate în funcţie de complexitatea traiectoriei şi a presupunerilor noastre.
Pentru început, vom admite simplu că traiectoria corpului este una rectilinie, iar mişcarea acestuia este uniformă. În acest caz simplu, vom concluziona că nu putem determina nici masa şi nici sarcina electrică a corpului, căci nu avem indicii despre ele. Trecem repede peste acest caz simplu, nu doar pentru că este foarte sărac în informaţii, ci şi pentru că este foarte improbabil, dacă nu chiar imposibil.
Mai interesant va fi studiul atunci când vom constata că, de fapt, traiectoria corpului studiat este tocmai o elice. Acesta este un caz mult mai interesant şi mai bogat în informaţii. Aşadar, să vedem ce ne poate spune faptul că traiectoria unui corp este o elice, în condiţiile în care nu ştim cât este masa corpului sau sarcina sa electrică?
O primă presupunere pe care o putem face în legătură cu proprietăţile corpului ce se mişcă pe elice este aceea de a considera că sarcina electrică a corpului este nulă.
Aşadar, pentru început, admitem că corpul nostru nu este încărcat electric, ci are doar masă. Atunci, în aceste condiţii, de ce se mişcă el pe o elice? Păi, cine poate devia un corp neutru de la o linie dreaptă? Singurul răspuns posibil în acest caz este acela că corpul dat se află sub influenţa unei forţe gravitaţionale. Deci, mişcarea pe o elice a unui corp neutru din punct de vedere electric ne obligă să admitem că în vecinătatea corpului dat trebuie să se afle încă un alt corp care produce un câmp gravitaţional suficient de intens încât să devieze traiectoria corpului studiat.
Dar, vai, în condiţiile date, când corpul este foarte îndepărtat, nimic nu ne obligă să admitem că sarcina electrică a corpului studiat este nulă, ci, dimpotrivă, este recomandat să credem că acel corp poate avea o oarecare sarcină electrică nenulă, chiar dacă ea este mică de tot. Măcar de dragul generalităţii studiului nostru, vom putea presupune că corpul studiat are şi sarcină electrică, nu doar masă.
Ei, acu-i acu! Păi, dacă ştim că corpul nostru are şi sarcină electrică, atunci pe seama cui vom pune devierea traiectoriei sale? Vom pune această deviere doar pe seama unui câmp gravitaţional produs de un corp neutru aflat în apropiere? Sau, dimpotrivă, vom aduce în discuţie şi posibilitatea raţională ca acel corp să se mişte de fapt într-un câmp magnetic ce acţionează asupra corpului cu o forţă Lorentz?
O primă ipoteză realistă ar fi aceea să admitem că ambele cauze determină devierea traiectoriei. Mai precis, dacă admitem că corpul dat are atât masă cât şi sarcină electrică, atunci avem dreptul să admitem că asupra lui acţionează atât o forţă gravitaţională, cât şi o forţă Lorentz.
Problema apare când încercăm să evaluăm cele două forţe. Care din cele două forţe produce mai multă deviere, forţa gravitaţională sau forţa Lorentz? Cum am putea decide care din cele două forţe are o importanţă mai mare în studiul nostru din moment ce nu ştim câtă sarcină electrică are corpul şi nu ştim nici măcar câtă masă are el?
Ce s-ar întâmpla dacă, de exemplu, am presupune ceva mult mai bizar şi anume, am presupune chiar că acel corp nu are masă deloc, ci are doar sarcină electrică? Ne împiedică cineva sau ceva să credem aşa ceva în condiţiile date în care vedem doar un corp care se deplasează pe o elice? Prin ce metode fundamentale am putea distinge dacă acel corp are mai multă masă şi mai puţină sarcină sau invers?
Păi, fraţilor, prin nici una!Nu putem distinge nicicum dacă acel corp îndepărtat are mai multă masă şi mai puţină sarcină sau invers! Nu putem distinge nicicum dacă devierea de la traiectorie este produsă mai degrabă de forţa gravitaţională decât de forţa Lorentz!
Şi cum toate corpurile sunt, într-un sens fundamental, îndepărtate de noi, am ajuns cu studiul nostru în stadiul în care avem premisele formulării unui nou postulat important al Fizicii elicoidale: prin nici o metodă fundamentală nu putem stabili dacă un corp se mişcă pe o elice datorită forţei gravitaţionale sau datorită forţei Lorentz.
Un asemenea postulat este foarte curajos şi pretenţios, motiv pentru care trebuie analizat cu atenţie, căci nu poate fi acceptat cu uşurinţă, gratuit. El ne spune o mulţime de lucruri bizare care trebuie bine înţelese. De exemplu, ne spune că Pământul se roteşte în jurul Soarelui nu neapărat pentru că Soarele ar atrage Pământul, ci poate chiar pentru că Galaxia produce în zonă un câmp magnetic aproape uniform, perpendicular pe ecliptică, prin care se mişcă un Pământ încărcat cu sarcină electrică. În baza acestui postulat, nu ştim ce proprietate să atribuim Pământului, nu ştim dacă Pământul are o masă cutare şi nu are deloc sarcină electrică sau că nu are deloc masă şi are doar sarcină electrică sau are din ambele câte puţin.
Avem astfel posibilitatea şi libertatea să valorificăm din nou ipoteza că nu există masă de repaus, ci doar masă de mişcare şi că această masă de mişcare nu este altceva decât manifestarea proprietăţilor electromagnetice ale corpurilor, fapt ce ne aminteşte de ideea conform căreia nu există tardioni în sens fundamental, ci doar luxoni, iar aceştia nu au decât sarcină electrică, masa lor fiind doar masă de mişcare, electromagnetică.
Am speranţa că formularea acestui postulat vă va stimula puternic următoarele idei ale Fizicii viitorului.
În acest material ne propunem să determinăm expresiile curburilor şi torsiunilor de ordinul 2. Va trebui pentru început să vedem ce se înţelege prin curbură sau torsiune de ordinul 2.
Presupunem că ştim ce înseamnă curbură sau torsiune (de ordinul 1) şi vrem să vedem care este expresia celor de ordinul 2. Pentru aceasta să ne reamintim ce sunt parametrii de ordinul 2, după care vom determina şi cât sunt aceştia.
Desigur, avem şi aici nevoie de teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet. Mai precis, această teoremă ne spune că vectorul lui Darboux este mereu tangent la o curbă cu un ordin mai mic decât curba dată. Curbura şi torsiunea (de ordinul 1 ale) acestei curbe mai simple sunt tocmai curbura şi torsiunea de ordinul 2 ale curbei iniţiale. Aşadar, vom fi nevoiţi să determinăm curbura şi torsiunea curbei la care este tangent vectorul lui Darboux.
Ştim că vectorul lui Darboux are drept componente tocmai torsiunea şi curbura curbei al cărei vector Darboux este. Atunci, pentru a determina torsiunea şi curbura de ordinul 2 am putea proceda la determinarea directă a vectorului Darboux asociat curbei mai simple, vector căruia îi vom spune vectorul lui Darboux de ordinul 2, după care să-i studiem componentele sau putem să le calculăm direct folosindu-ne de formulele lui Frenet. Abordăm cea de-a doua metodă.
Din prima formulă a lui Frenet aplicată triedrului complementar al lui Frenet (adică, acelui triedru a cărui tangentă (care este, de fapt, tangenta de ordinul 2 a curbei iniţiale) este tocmai versorul vectorului lui Darboux) trebuie să avem că modulul derivatei tangentei (de ordinul 2) în raport cu parametrul canonic este tocmai curbura (de ordinul 2), căci prima formulă a lui Frenet arată că derivata tangentei este coliniară cu normala şi modulul acestei derivate este curbura.
Să trecem atunci la calcule. Vectorul lui Darboux este , iar versorul său (adică, prin definiţie, tangenta de ordinul 2) va fi
.
Calculăm acum derivata acestui versor în raport cu parametrul canonic, după care vom extrage modulul rezultatului ca să îl identificăm cu curbura de ordinul 2.
Aşadar, derivata tangentei de ordinul 2 va fi
.
Dar ştim că derivata vectorului lui Darboux este . Mai rămâne să calculăm atunci derivata modulului vectorului lui Darboux. Avem
.
Prin urmare, combinând aceste relaţii, derivata tangentei de ordinul 2 va fi
.
Mai departe, dând numitor comun, grupând pe componente, eliminând termenii asemenea şi dând apoi factorii comuni, obţinem
.
Să notăm acum cu lancretianul (de ordinul 1 al) curbei date şi să observăm că
.
Atunci, derivata tangentei de ordinul 2 devine
.
Ajunşi aici, nu ne mai rămâne decât să extragem modulul acestui rezultat şi să îl identificăm cu curbura de ordinul 2 a curbei date. Aşadar, avem
.
Înainte de a calcula şi torsiunea de ordinul 2, vrem să subliniem acest rezultat sublim
.
El ne arată cum un lancretian (de ordinul 1) constant anulează curbura de ordinul 2 a curbei. De asemenea, el ne mai spune că un lancretian infinit (corespunzător unei curbe plane) este echivalent cu un lancretian constant (corespunzător unei elice). Deci, o curbă plană este la rândul ei şi o elice.
Uimiţi de frumuseţea acestor rezultate copleşitoare, vom merge mai departe şi vom calcula torsiunea de ordinul 2 a curbei. Cum am putea calcula torsiunea de ordinul 2? Nicicum altfel decât, prin analogie cu modul în care am calculat curbura, folosind cea de-a treia formulă a lui Frenet care ne spune că derivata binormalei (de ordinul 2) este coliniară cu normala (de ordinul 2), iar modulul acestei derivate este tocmai torsiunea (de ordinul 2 a) curbei. Altfel spus, avem de determinat care este binormala de ordinul 2, apoi trebuie s-o derivăm în raport cu parametrul canonic, după care, în fine, vom extrage modulul rezultatului, identificându-l cu torsiunea de ordinul 2.
Atunci să determinăm întâi care este binormala de ordinul 2 a curbei. Deşi teorema de recurenţă ne spune de-a gata că binormala de ordin ierarhic superior este tocmai opusul normalei curente, noi nu vom folosi gratuit acest rezultat, ci îl vom obţine din nou aici. Vom porni de la faptul că binormala de ordinul 2 trebuie să fie produsul vectorial dintre tangenta de ordinul 2 şi normala de ordinul 2.
Să revedem atunci care este tangenta de ordinul 2 şi care este normala de ordinul 2, după care vom face produsul lor vectorial pentru a obţine binormala de ordinul 2. Prin definiţie, tangenta de ordinul 2 este versorul vectorului lui Darboux, adică
.
De asemenea, după cum rezultă din prima formulă a lui Frenet pe care am aplicat-o mai sus la determinarea curburii de ordinul 2, derivata tangentei de ordinul 2 este produsul dintre curbura de ordinul 2 şi normala de ordinul 2. Aşadar, pentru a vedea cum arată normala de ordinul 2 este suficient să facem raportul dintre derivata tangentei de ordinul 2 şi curbura de ordinul 2. Derivata tangentei de ordinul 2 o avem şi avem şi curbura de ordinul 2, deci avem toate ingredientele necesare pentru a determina şi normala de ordinul 2. Mai exact, avem
.
Să facem acum produsul vectorial necesar pentru a determina binormala de ordinul 2. Avem
,
deci
,
adică
,
ceea ce este echivalent cu
şi astfel am demonstrat, încă o dată şi independent de teorema de recurenţă, faptul că binormala de ordinul 2 este tocmai opusul normalei.
De aici încolo totul este mult mai simplu. Ce a fost mai greu a trecut. Mai greu a fost să determinăm binormala de ordinul 2. Acum, derivata ei ne sare în ochi, fiind o simplă aplicare a celei de-a doua formule a lui Frenet la derivarea normalei. Mai concret, avem
.
Ne reamintim acum că din cea de-a treia formulă a lui Frenet rezultă că torsiunea (de ordinul 2) este modulul derivatei binormalei (de ordinul 2). Aşadar
.
Subliniem şi acest rezultat tulburător, căci el trebuie să se întipărească adânc în mintea dragilor mei cititori
.
În concluzie, torsiunea de ordinul 2 este tocmai modulul vectorului lui Darboux.
Mai departe îşi spune cuvântul recurenţa şi totul devine doar o joacă cu indicii noţiunilor utilizate aici, joacă ce poate fi transferată cu uşurinţă calculatorului electronic pentru a determina curbura şi torsiunea de ordine din ce în ce mai mari.
Pe porţiuni suficient de mici, o curbă din spaţiu poate fi aproximată cu o dreaptă. Apoi, dacă dorim precizie mai mare, va trebui să aproximăm curba cu o elice. Mai departe, va trebui să aproximăm curba cu o curbă de precesie constantă (care este, prin definiţie, o elice de ordinul 2). Şi aşa mai departe...
Dar cum justificăm asemenea aproximaţii? Cu ajutorul teoremei de recurenţă. Mai precis, teorema ne spune că, dacă presupunem că derivatele de un anumit ordin superior (mai mare decât, să zicem, n) ale curburii şi ale torsiunii sunt nule, atunci obţinem o curbă mult mai simplă decât curba dată (adică, obţinem o curbă de ordinul n), curbă simplă pe care o putem considera că aproximează suficient de bine curba dată (al cărei ordin este probabil mult mai mare decât al curbei simple).
La fel e şi cu traiectoriile corpurilor. La prima vedere, un corp liber se deplasează rectiliniu şi uniform, deci pe o traiectorie de curbură nulă (ceea ce implică un lancretian nul). Dar, dacă facem observaţii mai amănunţite, constatăm că, de fapt, traiectoria corpului respectiv este deviată de la o linie dreaptă. Această constatare ne obligă să admitem că lancretianul traiectoriei corpului nu este nul (ceea ce implică, printre altele, faptul că acel corp este în interacţiune cu un alt corp vecin care îi influenţează traiectoria).
Evident, pentru început, proaspătul lancretian descoperit în traiectoria corpului şi abia vizibil nu poate fi considerat altfel decât constant şi mic, ceea ce înseamnă că acel corp descrie o elice de unghi mic. Ulterior, pe măsură ce aparatele noastre de detecţie devin şi mai performante, avem şanse din ce în mai mari să descoperim variaţii ale lancretianului, iar aceasta ne va spune că traiectoria descrisă de corp este şi mai complicată decât simpla traiectorie elicoidală (de ordinul 1).
Oricare ar fi traiectoria descoperită a corpului şi oricare ar fi maniera, treptată sau nu, în care descoperim variaţiile de ordin din ce în ce mare ale curburii şi ale torsiunii, regula de aur a Fizicii elicoidale rămâne: orice curbă din spaţiu poate fi suficient de bine aproximată prin elice de ordin mic.
Ştim că vectorul lui Darboux asociat unei curbe cu torsiunea şi curbura date este , el reprezentând viteza areolară totală a triedrului Frenet. Să observăm atunci pentru început că dacă curbura curbei este nulă, atunci vectorul lui Darboux are doar componenta pe tangentă, iar curba dată este o dreaptă, dacă torsiunea este nulă, atunci curba este o curbă în plan, iar dacă nici curbura şi nici torsiunea nu sunt nule, atunci curba este o curbă în spaţiu.
Aşadar, mai putem spune că dacă o curbă are doar torsiune, atunci ea este o dreaptă, iar vectorul său Darboux este coliniar cu această dreaptă, iar dacă o curbă are doar curbură, atunci ea este o curbă plană, iar vectorul său Darboux este perpendicular pe planul curbei. În ambele aceste cazuri particulare, direcţia vectorului Darboux este mereu aceeaşi.
Dar, aşa cum a demonstrat însuşi Lancret, mai există un caz special în care direcţia vectorului Darboux este mereu aceeaşi: cazul special al elicei! Mai precis, direcţia vectorului Darboux se menţine neschimbată şi în cazul special în care raportul dintre curbură şi torsiune (lancretianul curbei) este constant.
Să mai observăm acum încă o proprietate interesantă a vectorului lui Darboux. Pentru aceasta vom calcula derivata sa în raport cu parametrul natural. Avem . Însă, din formulele lui Frenet ştim că şi . Din acestea rezultă că . Ce observăm? Haideţi să punem una lângă alta relaţia care ne dă valoarea vectorului lui Darboux şi relaţia care ne dă derivata acestuia. Adică, şi . Constatăm că derivata vectorului lui Darboux se obţine din acesta prin simpla derivare a componentelor sale, întocmai cum se obţine derivata unui vector în coordonate carteziene. Asta ne spune că, pentru vectorul lui Darboux, triedrul lui Frenet poate fi considerat un reper fix în spaţiu.
Mai mult, cum vectorul lui Darboux se găseşte mereu în planul format de tangentă şi binormală (numit plan rectificant) putem interpreta vectorul lui Darboux ca fiind un număr complex în planul rectificant, versorul tangentei triedrului Frenet fiind versorul axei OX a acestui plan complex, iar versorul binormalei Frenet fiind versorul axei OY a planului complex. Astfel, am ajuns să identificăm vectorul lui Darboux cu însăşi torsiunea complexă a curbei!
Fie ca toate aceste minunăţii să răscolească adânc în mintea voastră!
şi 
. Cu aceste notaţii să rescriem ecuaţiile naturale care definesc curba de precesie constantă
,
.
,
?
