Ştim că vectorul lui Darboux asociat unei curbe cu torsiunea şi curbura date este 
, el reprezentând viteza areolară totală a triedrului Frenet. Să observăm atunci pentru început că dacă curbura curbei este nulă, atunci vectorul lui Darboux are doar componenta pe tangentă, iar curba dată este o dreaptă, dacă torsiunea este nulă, atunci curba este o curbă în plan, iar dacă nici curbura şi nici torsiunea nu sunt nule, atunci curba este o curbă în spaţiu.
, el reprezentând viteza areolară totală a triedrului Frenet. Să observăm atunci pentru început că dacă curbura curbei este nulă, atunci vectorul lui Darboux are doar componenta pe tangentă, iar curba dată este o dreaptă, dacă torsiunea este nulă, atunci curba este o curbă în plan, iar dacă nici curbura şi nici torsiunea nu sunt nule, atunci curba este o curbă în spaţiu.
Aşadar, mai putem spune că dacă o curbă are doar torsiune, atunci ea este o dreaptă, iar vectorul său Darboux este coliniar cu această dreaptă, iar dacă o curbă are doar curbură, atunci ea este o curbă plană, iar vectorul său Darboux este perpendicular pe planul curbei. În ambele aceste cazuri particulare, direcţia vectorului Darboux este mereu aceeaşi.
Dar, aşa cum a demonstrat însuşi Lancret, mai există un caz special în care direcţia vectorului Darboux este mereu aceeaşi: cazul special al elicei! Mai precis, direcţia vectorului Darboux se menţine neschimbată şi în cazul special în care raportul dintre curbură şi torsiune (lancretianul curbei) este constant.
Să mai observăm acum încă o proprietate interesantă a vectorului lui Darboux. Pentru aceasta vom calcula derivata sa în raport cu parametrul natural. Avem 
. Însă, din formulele lui Frenet ştim că 
şi 
. Din acestea rezultă că 
. Ce observăm? Haideţi să punem una lângă alta relaţia care ne dă valoarea vectorului lui Darboux şi relaţia care ne dă derivata acestuia. Adică, şi . Constatăm că derivata vectorului lui Darboux se obţine din acesta prin simpla derivare a componentelor sale, întocmai cum se obţine derivata unui vector în coordonate carteziene. Asta ne spune că, pentru vectorul lui Darboux, triedrul lui Frenet poate fi considerat un reper fix în spaţiu.
. Însă, din formulele lui Frenet ştim că şi . Din acestea rezultă că . Ce observăm? Haideţi să punem una lângă alta relaţia care ne dă valoarea vectorului lui Darboux şi relaţia care ne dă derivata acestuia. Adică, şi . Constatăm că derivata vectorului lui Darboux se obţine din acesta prin simpla derivare a componentelor sale, întocmai cum se obţine derivata unui vector în coordonate carteziene. Asta ne spune că, pentru vectorul lui Darboux, triedrul lui Frenet poate fi considerat un reper fix în spaţiu.
Mai mult, cum vectorul lui Darboux se găseşte mereu în planul format de tangentă şi binormală (numit plan rectificant) putem interpreta vectorul lui Darboux ca fiind un număr complex în planul rectificant, versorul tangentei triedrului Frenet fiind versorul axei OX a acestui plan complex, iar versorul binormalei Frenet fiind versorul axei OY a planului complex. Astfel, am ajuns să identificăm vectorul lui Darboux cu însăşi torsiunea complexă a curbei!
Fie ca toate aceste minunăţii să răscolească adânc în mintea voastră!
Apreciez în mod deosebit următoarele: "Asta ne spune că, pentru vectorul lui Darboux, triedrul lui Frenet poate fi considerat un reper fix în spaţiu."
RăspundețiȘtergereMulţumesc pentru mărturisire, Răzvan! Într-adevăr, şi mie mi se pare a fi ceva interesant acolo, ceva ce ar mai trebui aprofundat...
RăspundețiȘtergere