Căutați ceva anume?

duminică, 10 aprilie 2011

Proiecţia unei drepte pe o altă dreaptă perpendiculară este un segment

Imaginaţi-vă două drepte coplanare şi concurente. Dacă unghiul dintre ele nu este un unghi drept, atunci proiecţia unei drepte pe cealaltă dreaptă va fi tot o dreaptă. Dar ne putem întreba şi despre ce formă va avea proiecţia unei drepte pe altă dreaptă atunci când unghiul dintre cele două drepte este tocmai un unghi drept.
Da, ştiu, veţi sări să spuneţi repede că rezultatul proiecţiei unei drepte pe o altă dreaptă perpendiculară pe dreapta dată va fi un punct. Dar oare chiar aşa să fie? Ce mi-aţi putea reproşa dacă v-aş spune că proiecţia unei drepte pe o altă dreaptă perpendiculară este un segment de dreaptă, nu un punct?! Cum m-aţi putea contrazice oare? Cum puteţi voi demonstra că proiecţia dreptei pe o altă dreaptă perpendiculară este un punct, nu un segment?

Ei bine, nu puteţi! Pentru că dacă aţi putea demonstra aşa ceva, atunci aţi putea demonstra şi că printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă la acea dreaptă. Deci, aţi putea demonstra postulatul euclidian al paralelelor şi, implicit, aţi putea demonta toate geometriile neeuclidiene apărute în decursul istoriei datorită acestei imposibilităţi.

Aşa că, va trebui să mă credeţi pe cuvânt şi să acceptaţi măcar pentru moment că proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară este un segment de dreaptă, nu un punct. Şi, la urma urmei, ce aţi avea de pierdut dacă m-aţi crede? Că doar nu v-am spus ce lungime are acel segment. Deci el ar putea avea şi lungime nulă, caz în care am avea dreptate şi eu şi voi.

Atunci, să presupunem liniştiţi că proiecţia unei drepte pe o altă dreaptă perpendiculară este un segment. Ce proprietăţi are acest segment? De exemplu, de ce se află el de o parte a planului şi nu de cealaltă?
Ce proprietate a dreptei face ca acel segment să aibă o anumită orientare şi nu alta? Sau, ce lungime are acest segment? De ce acel segment are un metru şi nu un kilometru?

La prima vedere, răspunsul este imposibil de dat. Din punct de vedere geometric, dreapta este peste tot la fel şi nu are cum să ne prezinte orientări diferite sau lungimi diferite. Matematica, într-adevăr, nu poate răspunde la această problemă şi lasă toată greutatea răspunsului pe umerii... Fizicii. Numai Fizica poate răspunde, căci numai Fizica poate concretiza nedeterminările matematicii şi poate lucra cu repere orientate. Mai exact, Fizica poate face distincţie între două drepte, poate şti care dreaptă ce proiecţie va da pe o altă dreaptă, poate şti care este orientarea şi „densitatea” dreptei. Atunci când stabilim lungimea şi orientarea pe un reper, facem, de fapt, Fizică, pentru că, spre exemplu, matematica nu ne dă nicio informaţie despre scala unui reper cartezian.

Aşadar, proiecţia unei drepte pe o altă dreaptă perpendiculară va fi un segment. Dar ce va fi proiecţia unei drepte pe un plan perpendicular? Va fi tot un segment? Păi, în plan avem o libertate ceva mai mare, o libertate mai mare cu un ordin. Deci, în plan, proiecţia dreptei va fi ceva mai mult decât un segment. Ar putea fi un cerc sau chiar o elipsă. Sau, mai riguros, ar putea fi o pereche de două segmente reciproc perpendiculare aflate în acel plan. Prin aceasta, proiecţia unei drepte pe un plan perpendicular va duce la apariţia pe acel plan a unui reper cartezian orientat şi normat, prin analogie cu faptul că proiecţia pe o dreaptă a produs normarea şi orientarea acelei drepte.
În fine, ne putem imagina atunci că reperul cartezian orientat şi normat din spaţiul tridimensional este rezultatul proiecţiei pe spaţiu a unei drepte perpendiculare pe spaţiu. Iar dacă aici mai introducem şi o mişcare de rotaţie a reperului cartezian, atunci interpretarea spaţio-temporală a proiecţiei unei drepte este completă.

27 de comentarii:

  1. Pleci de la o premiză falsă: dreapta reprezintă o mulţime cu un număr infinit de elemente, iar proiecţia ei pe altă dreaptă nu poate reprezenta o mulţime finită, aşa cum este un segment. Proiecţia unei drepte pe altă dreaptă este tot o mulţime infinită. În cazul particular, a două drepte perpendiculare, proiecţiile punctelor de pe una din drepte pe cealaltă coincid, deci este un punct.
    Pentru ca totuşi proiecţia unei drepte perpendiculare pe alta să fie un segment este necesar ca dreapta respectivă să fie definită într-un spaţiu neeuclidian (eventual eliptic), dar tu n-ai specificat asta.

    RăspundețiȘtergere
  2. Atât dreapta, cât şi segmentul de dreaptă au acelaşi număr de puncte. Mai mult, chiar se poate face o corespondenţă biunivocă între mulţimea punctelor de pe o dreaptă şi mulţimea punctelor de pe un segment. Aşadar, argumentul tău nu demonstrează că pornesc de la o premisă falsă.

    RăspundețiȘtergere
  3. Nu înţeleg de ce afirmi că atât dreapta cât şi segmentul au acelaşi număr de puncte. Prin definiţie, o dreaptă conţine un număr infinit de puncte, iar un segment de dreaptă conţine un număr finit.

    RăspundețiȘtergere
  4. Să presupunem că un segment de dreaptă are, aşa cum zici, un număr finit de puncte, de exemplu, 18. Ce lungime ar avea acest segment?

    Apoi, gândeşte-te şi la următoarea întrebare:
    -Câte puncte sunt între două puncte de pe acest segment?

    RăspundețiȘtergere
  5. “Cum puteţi voi demonstra că proiecţia dreptei pe o altă dreaptă perpendiculară este un punct, nu un segment?”
    Fie două drepte, OX şi OY, care se intersectează în punctul O, sub un unghi α. Proiecţia unui punct M al dreptei OY pe dreapta OX reprezintă perpendiculara dusă din acel punct M pe OX şi care va intersecta OX într-un punct, să zicem N. Deci, măsura segmentului ON este măs OM*cos α. Pentru α=90 grade, observăm că măsura segmentului ON=0, oricare ar fi valoarea măsurii segmentuluin OM, deci punctul N coincide cu punctul O.

    RăspundețiȘtergere
  6. Frumos, frumos raţionament, Răzvane! Mai ales pentru că este cantitativ. Ai dreptate. Pentru toate segmentele OM finite ai dreptate. Dar dreptatea ta dispare pentru un segment OM infinit, cum este o dreaptă. Căci pentru un segment OM infinit, segmentul ON devine produsul dintre infinit şi zero, iar acest produs este nedeterminat, deci nu mai este obligatoriu nul.

    RăspundețiȘtergere
  7. Deci avem cazul infinit ori zero, când x tinde la infinit; pentru asta ne trebuie soluţia la limită.
    Iată ce am găsit pe Wolfram Alpha:
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28x*cos%2890%29%29+as+x-%3E%E2%88%9E

    RăspundețiȘtergere
  8. Raţionamentul tău de calcul este unilateral şi predestinează rezultatul dorit. Ai presupus în mod nejustificat că şi înainte de a trece la limită unghiul este fixat şi drept. Dar nimic nu ne împiedică să presupunem că lungimea dreptei este gata fixată şi modificăm doar unghiul ei.

    Ca să înţelegi şi mai bine, o să-ţi prezint rezultatul alternativ. Avem cazul infinit ori zero nu doar atunci când x tinde la infinit, ci şi atunci când unghiul tinde la 90 de grade, deci când cosinusul nu este încă zero, ci doar tinde la zero. În acest caz, rezultatul este infinit.

    Cum împaci atunci cele două rezultate, primul nul şi al doilea infinit? Ca să le împaci, trebuie să le iei în calcul pe ambele simultan, deci trebuie să consideri că atât lungimea segmentului creşte frumos la infinit, cât şi unghiul creşte frumos către un unghi drept.

    RăspundețiȘtergere
  9. Dacă dreapta OY o considerăm de la bun început a avea o valoare infinită (de fapt aşa şi e definiţia dreptei) şi doar unghiul α tinde către valoarea de 90 grade, dar fără a o atinge niciodată, ajungem la paradoxul lui Zenon. Dar chiar şi aşa, în toate cazurile când α nu este exact 90 de grade, proiecţia lui OY pe OX va fi tot o dreaptă şi deci infinită.
    Putem ajunge la concluzia ta doar dacă atribuim punctelor valori discrete, cuantificabile. Matematic, orice punct este adimensional. Fizic, nu poate fi chiar aşa, orice "punct" are chiar o valoare discretă, dimensiunea lui putând fi apreciată în funcţie de precizia măsurătorii.
    Aşadar, concluzia ta, cum că proiecţia unei drepte perpendiculare pe alta poate fi un segment, cu toate că nu o consider riguros matematic a fi corectă, o pot considera adevărată din punct de vedere fizic.

    RăspundețiȘtergere
  10. Apreciez faptul că ai înţeles o bună parte din ceea ce am vrut să spun. A mai rămas o problemă minoră: nu sunt de acord cu afirmaţia ta: „Putem ajunge la concluzia ta doar dacă atribuim punctelor valori discrete, cuantificabile.”. Eu consider că raţionamentul meu nu depinde de vreo condiţie suplimentară pe care trebuie s-o atribuim punctelor, ci este valabil (doar) pentru punctul simplu aşa cum este el cunoscut astăzi în matematică.

    Deci, hai să clarificăm şi mai mult chestiunea. Articolul meu nu neagă faptul că proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară ar putea fi şi un punct (căci proiecţia poate fi şi un segment de lungime nulă), ci demonstrează că o atare proiecţie nu este cu necesitate un punct, nu este obligatoriu un punct, nu există nicio lege a naturii care ne poate obliga să o considerăm un punct. Deci, el deschide o perspectivă nouă pentru geometria cunoscută astăzi, arătând că ea are mai multe posibilităţi decât s-a crezut până în prezent. Aşadar, pe viitor, când mai vorbiţi despre proiecţia unei drepte pe o altă dreaptă, gândiţi-vă că situaţia este mult mai interesantă decât ştiaţi până acum.

    RăspundețiȘtergere
  11. De ce nu pui pe forum toate astea, poate mai participă şi alţii la discuţie?

    RăspundețiȘtergere
  12. ... abureli de ale lui Abel Cavasi.

    1) Asa si nu am mai inteles ce lungime are acel segment de dreapta?!
    PS.Poate mai corect vei spune: Proectia unei drepte perpendiculare (in
    planul euclidian) pe o alta dreapta reprezinta o dreapta formata din
    n puncte, unde n>1.
    2) Ca sa spui ca proectia unei drepte perpendiculare pe o alta dreapta
    reprezinta un segment de dreapta, si aceasta nu se poate de demonstrat,
    atunci ar fi cazul poate sa te mai obesesti ceva si sa aduci macar ceva
    argumente.

    _ _ _
    meteor.

    RăspundețiȘtergere
  13. Articolul tau tine de domeniul filozofic si nu matematic. In plus, te contrazici singur si contrazici principiile matematice. Pronind de la afirmatia ca intersectia a doua drepte este un punct, s-a demonstrat in totalitate ca proiectia unei drepte perpendiculare pe o alta dreapta, concide cu acel punct. Dupa cum bine se stie, in matematica punctul nu are dimensiune iar daca intersectia este un punct, si proiectia se identifica cu acel punct, deja s-a demonstrat ca nu este vorba de 'tot un segment'. Cel care va trebui sa accepte ceva esti tu, si anume sa accepti ca ai vorbit niste aberatii fara sens care n-au legatura cu matematica ci cu impresiile tale personale. Apoi, daca i-ai dat dreptei tale proprietati fizice si ai spus ca e cuantificabila, inseamna ca poate fi reprezentata intr-un spatiu tridimensional, si intersectia a doua astfel de drepte nu va fi in niciun caz un segment ci va fi corp.

    RăspundețiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Interesant comentariul tău, mai ales pentru că aduce în discuţie intersecţia celor două drepte. Aşa este, mă bucur că ai observat caracterul filozofic al articolului. Este filozofic pentru că nu obligă matematică să-şi modifice conceptele fundamentale, ci doar o completează, aşa cum face geometria neeuclidiană.

      Desigur, nu pot fi de acord cu afirmaţia ta gratuită „Pronind de la afirmatia ca intersectia a doua drepte este un punct, s-a demonstrat in totalitate ca proiectia unei drepte perpendiculare pe o alta dreapta, concide cu acel punct.”. S-a demonstrat în totalitate? Cum aşa? Poţi să-mi indici undeva demonstraţia? Am impresia că faci confuzie între intersecţie şi proiecţie. Dacă ar fi să urmăm acest raţionament, atunci am ajunge la aceeaşi concluzie şi pentru segmente, iar proiecţia segmentelor n-ar mai depinde de unghiul dintre segmente, ci ar rămâne mereu un punct.

      Foarte interesantă observaţia ta privind tridimensionalitatea intersecţiei. Pe această cale, eliminând confuzia dintre intersecţie şi proiecţie, putem completa cunoştinţele din acest material cu presupunerea că intersecţia a două drepte perpendiculare poate fi considerată chiar un corp, dacă nu cumva această concluzie rezultă deja din material. Şi dă-mi atunci voie să duc şi mai departe acest raţionament şi să spun că proiecţia a două drepte perpendiculare poate fi o planetă, o galaxie, un atom. Şi atunci nu cumva dreptele sunt tocmai razele de lumină emise de un corp? Sunt aceste raze emise reciproc perpendicular? Sunt atâtea întrebări grele de pus! Şi poate ne va răspunde la ele Fizica viitorului... Ne mai despart de ea câteva postulate...

      Ștergere
  14. Abel, tu ai pus problema in mod matematic ceea ce cere o demonstratie matematica si cu mijloace matematice. Daca spuneai de la inceput ca proiectia a doi fasciculi de lumina perpendiculari nu este un punct ci este o suprafata care mosteneste sectiunea transversala a fascicolului respectiv (care geometric s-ar traduce prindtr-un PUNCT) atunci ar fi fost foarte clar unde bati cu afirmatia. Matematic tu esti cel care trebuie sa demonstreze pentru ca tu ceri sa fii crezut pe cuvant. Daca vorbesti de geometria Euclidiana si de doua drepte coplanare, atunci demonstreaza pentru toata lumea ca ceea ce spui are o baza ceva mai mult decat filozofica sau subiectiva. Ceea ce ai scris este neclar si lasa loc de interpretari. Imi pare rau dar asta este parerea mea.

    RăspundețiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Filozofia din spatele acestui material ne spune că avem dreptul să construim geometrii în care este valabilă afirmaţia mea. Tocmai de aceea am şi subliniat echivalenţa cu geometriile neeuclidiene. O geometrie neeuclidiană diferă de cea euclidiană prin axiomele sale. Iar axiomele nu se demonstrează, chiar dacă sunt aserţiuni matematice. Altfel spus, dacă vrei, poţi considera că acest material nu spune nimic în plus decât faptul că într-o geometrie neeuclidiană rezultatele proiecţiilor a două drepte perpendiculare nu sunt puncte (precum în geometria euclidiană), ci sunt alte figuri (corpuri) geometrice.

      Ștergere
  15. cum poti spune ca proiectia unei drepte pe un plan perpendicular poate fi ceva mai mult? oare poate fi si un patrat? eu as zice sa revii cu picioarele pe pamant ca bati campii rau de tot si nu oferi nimic palpabil precum sustii.

    RăspundețiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Aş veni mai jos, dar Pământul meu este acolo sus, unde nu poate ajunge oricine, cu toată strădania mea... eu zic să mai încerci, totuşi...

      Ștergere
  16. sincer te-ai scrantit tare:))))))) mai laso moarta punete si dormi si tu ca inebunesti si nu iti dai seama ,deja esti in lumea ta ,traiesti in iluzie in ciuda a tot ce declari si faci referire

    RăspundețiȘtergere
  17. Raționamentul autorului este greșit.
    Fie două drepte de lungimi "D" concurente în punctul "M" și unghiul dintre ele "u" atunci putem scrie că 0,5Dcos(u)=d=0,5D-d' unde "d" este lungimea proiecției unei semidrepte pe cealaltă semidreaptă și evident "d+d'=0,5D".Din formulă se deduce cos(u)=2d:D respectiv cos(u)=(0,5D-d'):(0,5D)=1-2d':D și deci rezultă cos(90 grade sexagesimale)=(2d):D=0 adică d=0 și respectiv cos(90 grade sexagesimale)=1-2d':D=0 de unde obținem d'=0,5D ceea ce este corect deoarece astfel rezultă în final că d+d'=0+0,5D=0,5D ceea ce este adevărat.

    RăspundețiȘtergere
  18. Dacă două drepte se intersectează într-un punct si rotim una dintre ele care va fi al doilea punct care devine punct comun al celor două drepte?

    RăspundețiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Rotația nu presupune apariția celui de-al doilea punct.

      Ștergere
    2. Nu putem nega că o semidreaptă trece peste cealaltă şi că în momentul de trecere se suprapun. Totuşi nu se pot suprapune în acelaşi timp că am găsi contradicţii în teorema lui Thales.

      Ștergere
    3. Teorema lui Thales este valabilă doar în geometria euclidiană.

      Ștergere
    4. În geometria euclidiană, da.

      Ștergere

Comentariile vor fi moderate în măsura timpului meu disponibil, după care vor apărea pe blog. Voi încerca să public doar comentariile consistente sau interesante sau adevărate sau corecte sau la obiect. Voi căuta să le elimin pe cele din care nu avem nimic de învățat sau pe cele care afectează negativ mintea cititorului sau reclamele fără legătură cu blogul. De asemenea, voi face tot posibilul să răspund la comentariile care cer un răspuns. Vă mulţumesc pentru efortul vostru de a scrie în lumina acestor consideraţii!

Postări populare

Arhivă blog

Etichete

Persoane interesate