Curbura este egală cu torsiunea

Recent, studiind cu Maxima graficele variațiilor curburii și ale torsiunii am avut o revelație crucială în Fizica elicoidală, care îmi clarifică multe aspecte ce nu se lăsau încă înțelese. Mai exact, am descoperit că un corp liber se mișcă, nu doar pe o elice circulară obișnuită, ci pe o elice care are ceva mai special în ea și anume curbura ei este egală cu torsiunea în valoare absolută.

Dar să vă spun mai exact despre ce este vorba. Să luăm un exemplu mai simplu, pentru început. Cred că puteți fi de acord cu faptul că un corp care este constrâns cumva să se miște pe un cerc va avea energie (potențială) mai mare decât același corp lăsat în pace care nu este constrâns să se miște pe cerc. Deci, cu cât curbura cercului va fi mai mare (raza cercului mai mică), cu atât corpul deține mai multă energie potențială. Dar și reciproc, cu cât corpul deține (pentru că este constrâns să dețină) mai multă energie potențială, cu atât cercul pe care a fost constrâns să se deplaseze va avea o curbură mai mare. Așadar, trecerea de la un cerc de curbură mică la un cerc de curbură mai mare se realizează cu lucru mecanic efectuat asupra corpului și absorbție de energie, iar trecerea inversă de la rază mică la rază mare are loc cu degajare de energie și efectuare de lucru mecanic asupra mediului înconjurător. 

Ei bine, așa cum am mai scris de multe ori pe blog, acest raționament este înglobat într-un postulat îndrăzneț al Fizicii elicoidale, postulat care, implicând constanta lui Planck, concretizează cantitativ relația dintre energia potențială a unui corp și forma traiectoriei sale. Este îndrăzneț deoarece afirmă că întreaga masă a unui corp se datorează numai și numai formei traiectoriei sale, ori aceasta este o noutate absolută în Fizică. 

Relația de care vorbesc și pe care am mai prezentat-o, dar mai brutal, mai neintuitiv, mai lipsită de context decât acum, recunosc, este $$m=\frac{\hbar}{c}\sqrt{\kappa^2+\tau^2}.$$

Această relație ne spune că cu cât curbura $\kappa$ și torsiunea $\tau$ a traiectoriei pe care se deplasează un corp sunt mai mari, cu atât corpul va fi mai masiv, mai energic, respectiv, cu cât corpul este mai ușor, cu atât se deplasează pe traiectorii mai simple. 

Sper ca măcar acum să vedeți această relație cu alți ochi, mai limpezi. Ea ne mai spune printre altele că curbura și torsiunea însele au inerție, adică nu le place să fie schimbate ușor, mai ales atunci când ele sunt mari.

Acum, dacă exemplul cu cercul, o curbă plană, deci cu torsiunea nulă, a fost dat doar în spirit didactic, pentru ca tinerii mei cititori să înțeleagă începutul relației dintre energia unui corp și forma traiectoriei sale, voi reveni la curba cea mai completă, care nu are doar curbură nenulă (precum are cercul), ci are și torsiune nenulă și, mai mult de-atât, este și cea mai simplă curbă cu aceste proprietăți: elicea.

Ei bine, atunci un corp liber care duce totuși cu el energie (caz în care corpul nu este absolut liber din moment ce este constrâns să transporte energie) se va mișca pe o elice a cărei formă ne vorbește despre câtă energie duce corpul respectiv.

Astfel, dacă i-am pus acelui corp în cârcă un sac cu energie, el se va deplasa la nesfârșit, bietul, de unul singur, prin Univers, pe o elice perfect circulară și nederanjată de nimic, a căror curbură și torsiune vor depinde de câtă energie l-am obligat pe bietul corp să ducă cu el. Mișcarea trebuie să fie în echilibru stabil.

Dar, de aici încolo lucrurile devin și mai interesante pentru că ne putem pune problema privind alegerea concretă pe care o va face corpul în ceea ce privește curbura și torsiunea elicei pe care să se deplaseze. Dilema corpului este dacă să se deplaseze pe o elice cu curbura mare și torsiunea mică sau pe o elice cu curbura mică și torsiunea mare. Relația dată mai sus $m=\frac{\hbar}{c}\sqrt{\kappa^2+\tau^2}$ ne permite libertatea să alegem ce curbură dorim și ce torsiune dorim, cu condiția ca suma pătratelor lor să fie aceeași. 

Așadar, când se obține echilibrul stabil? Ce curbură va alege corpul în mișcarea sa? Va alege oare corpul să se deplaseze pe un cerc, dând astfel toată energia sa curburii și neglijând torsiunea? Ar fi o asemenea mișcare în echilibru stabil? Nu s-ar supăra oare torsiunea în acest caz? Eu, dacă aș fi torsiune, în acest caz, m-aș revolta și i-aș reproșa corpului că favorizează curbura, deși curbura n-ar trebui să fie cu nimic mai presus decât mine. Așadar, corpul ar trebui să decidă corect între a împăca și capra și varza, fără ca acestea să se mai certe vreodată în infinitatea de timp în care corpul trebuie să-și ducă crucea. 

În absența matematicii, ar trebui să ne mulțumim cu un astfel de raționament filozofic, raționament care ne duce la concluzia că dilema corpului se rezolvă prin mișcarea sa pe o elice având curbura egală cu torsiunea. Din fericire, matematica vine să întărească acest raționament filozofic. Și să vedem cum. 

Se știe că curbura elicei este dată de formula $$\kappa=\frac{a}{a^2+b^2},$$ iar torsiunea este $$\tau=-\frac{b}{a^2+b^2}.$$

Iată și graficele, realizate cu Maxima, care exprimă curbura în funcție de raza elicei (la un anumit pas).

Curba albastră exprimă cum variază curbura când pasul este 3, curba roșie arată cum variază curbura când pasul este 4, iar curba verde arată cum variază curbura când pasul este 5.

Și mai jos aveți graficul torsiunii, în aceleași culori ca și în cazul curburii.

Pentru a înțelege profunzimea informației transmise de aceste grafice, vom face niște calcule.

Derivând curbura în funcție de raza a și presupunând că pasul b rămâne constant, $$\dot\kappa=\frac{\dot a(a^2+b^2)-2a\dot a}{(a^2+b^2)^2},$$

deci obținem minunea asta de formulă: $$\large{\dot\kappa=\frac{b^2-a^2}{(a^2+b^2)^2}\dot a}$$

Ei bine, știți ce ne spune această minune de formulă? Că variația curburii este mai mititică atunci când numărătorul fracției de mai sus este mititel, adică atunci când diferența $b^2-a^2$ este cât de mică se poate, adică atunci când curbura este egală cu torsiunea în valoare absolută. 

Și cum interpretăm atunci această formulă? Astfel: corpurile se deplasează mai liniștit, în echilibru mai stabil, atunci când curbura traiectoriei lor este egală cu torsiunea sau cu minus torsiunea, pentru că atunci variația curburii este mai mică. Corpurilor libere nu le plac variațiile, nu le place să fie deranjate, așa că vor evita variațiile, deci vor căuta să se deplaseze pe o asemenea traiectorie încât curbura să fie egală cu torsiunea.

Observați și pe grafic. Pe măsură ce raza elicei crește, crește și curbura, crește și torsiunea. Torsiunea crește pentru că este negativă, dar valoarea ei absolută scade, de fapt, elicea apropiindu-se de o curbă din ce în ce mai plană. 

Însă, observați vârful graficului curburii. Pe măsură ce raza elicei crește, curbura crește și ea până când ajunge la un vârf în care variația ei dispare. Aici se obține valoarea maximă a curburii. Curbura este maximă și nu mai variază când raza elicei este egală cu pasul acesteia. Aici se obține acel mult dorit echilibru stabil al corpului, în care nu mai există variații ale energiei.

Dincolo de acest vârf curbura elicei începe să scadă pe măsură ce crește raza elicei, întocmai cum scade curbura cercului pe măsură ce crește raza lui. Deci, dincolo de acest vârf, elicea începe să devină din ce în ce mai asemănătoare cu un cerc. De asemenea, aproape de vârf variațiile curburii sunt insesizabile, chiar dacă variațiile razei ar fi mari, deci în vecinătatea vârfului stabilitatea este asigurată. 

Mai mult, în lumina acestor considerații, se poate spune că, așa cum există condensatoare electrice care pot îngloba cât mai multă energie electrică într-o anumită formă, tot astfel, elicea însăși este și ea un „condensator” de energie care „înghite” mai multă energie atunci când curbura este mai apropiată de torsiune în valoare absolută. Astfel, corpurile în care s-a pompat energie și care au fost obligate să conțină cât mai multă energie, vor face cumva să se miște pe o elice având raza cât mai apropiată de pas. Dacă vom micșora raza elicei, energia corpului va fi din ce în ce mai mare, dar numai dacă nu micșorăm prea mult raza elicei. Căci dacă micșorăm raza mai mult decât pasul, atunci curbura începe să scadă, iar capacitatea energetică a elicei scade și ea.

Iar de aici se deschide o nouă lume pentru noua Fizică. Țineți aproape! Cu pandemia asta am și eu, în sfârșit, timp să sap mai adânc în această Fizică elicoidală. Voi veni cu noutăți. Am de gând să vă mai vorbesc despre asemănarea acestor grafice cu acelea ale radiației corpului negru, despre interpretarea „clasică” a efectului fotoelectric, am de gând să vă vorbesc despre rezonanța orbitală a sateliților lui Jupiter, coroborat cu mișcarea electronilor în atom, despre legea Titius-Bode, despre salturi cuantice, despre unda asociată particulelor, despre lichefierea gazelor, despre dezechilibrul dintre materie și antimaterie (antimateria are torsiunea pozitivă), despre turbulență, despre adevărata lege a gravitației, toate în contextul acesta fundamental determinat de mișcarea corpurilor pe elice circulare. 

Am de gând să vă arăt că, pornind de la aceste premize fundamentale prezentate în articol, această Fizică nouă face legătura mult visată între Fizica corpurilor macroscopice (teoria gravitației) și Fizica corpurilor microscopice (Fizica cuantică), prima aflându-se acolo unde raza de curbură a elicei este foarte mare (în dreapta vârfului), iar a doua acolo unde raza este foarte mică (în stânga vârfului).

Nu ezitați să comentați, să întrebați, să adăugați, să criticați. Și nu ezitați să dați de veste, distribuind articolul, dacă v-a pus pe gânduri. Mulțumesc!

Singura Știință este Matematica, restul sunt protoștiințe

Domnul Cristian Român, un respectabil apărător al Științei, a scris recent un articol interesant în care m-am simțit oarecum vizat. Așa că mi-am permis să îmi ofer dreptul la replică, cu speranța vie că nu voi supăra pe nimeni dacă îmi voi exprima punctul de vedere.

Eu consider că Știința nu are nevoie de scepticism, căci, prin definiție, Știința ar trebui să fie (dacă nu cumva chiar și este deja) o colecție de cunoștințe indubitabile, pe care omenirea se poate baza. Căci dacă nu avem cunoștințe indubitabile, atunci nu putem spune că avem Știință, ci, eventual, protoștiință, adică, știință în formare. Ceea ce nu este indubitabil, nu poate fi considerat Știință. 

Acuma se pune problema dacă există astfel de cunoștințe indubitabile și unde pot fi găsite acestea. Da, ele există și le putem găsi doar în Matematică.  Tot ceea ce este indubitabil este parte integrantă a Matematicii și tot ceea ce este parte integrantă a Matematicii este indubitabil. Altfel spus, tot și numai ceea ce a fost clarificat pentru eternitate face cumva parte din Matematică. 

Iar acolo unde domnește indubitabilul, scepticismul nu mai are loc. Că doar n-o să fiu sceptic în privința teoremei lui Pitagora.

Desigur, există și în Matematică ipoteze despre care nu știm dacă sunt adevărate sau false, dar de la a ne îndoi de câteva propoziții până la a ne îndoi de tot și toate (căci asta înseamnă a fi sceptic) este o cale prea lungă.  

Așadar, scepticismul nu caracterizează Știința. Nu știu cine ne-a băgat în cap ideea asta cu scepticismul, dar, după cum vedeți, nu e bună. Ba, dimpotrivă, eu cred că este dăunătoare pentru generația tânără, care nu mai știe în ce să mai aibă încredere. 

Sper să nu se supere pe mine nimeni (căci și eu mă consider un apărător al Științei), dar eu așa văd lucrurile. 

Cunoscând un număr prim, putem cunoaşte ordinalul său

Vă prezint mai jos o funcţie care leagă un număr prim p de ordinalul său n, mai precis, o funcţie care ne permite să calculăm al câtelea număr prim este p. Ea a fost dedusă în 1994 pe fişa mea cu numărul 610.

​

Aşadar, dat fiind un număr prim p>1 funcţia următoare ne calculează ordinalul acestui număr prim:

​,

unde

 

este numărul de divizori ai lui k, iar parantezele drepte semnifică funcţia „parte întreagă”.

​

Demonstraţia este simplă, fiind suficient să observăm că funcţia​ se incrementează doar atunci când k este prim.

​

Problema fundamentală a numerelor prime ar putea fi rezolvată dacă am putea inversa această funcţie şi puteţi vedea pe aceeaşi fişă nişte încercări inocente în această direcţie, continuate pe fişa cu numărul 616.

În schimb, pe fişa cu numărul 671 (în continuarea fişei 616) am emis chiar pretenţia că aş fi găsit o asemenea funcţie inversă.

​

În natură nu există altceva decât puncte fizice

-(1009212223) Dezideratul fundamental ce trebuie să-mi îndrume paşii cercetărilor este axiomatizarea Fizicii. Această axiomatizare este echivalentă cu matematizarea Fizicii, deci cu aducerea Fizicii pe tărâmul riguros al matematicii. Un fizician dornic să axiomatizeze Fizica ar trebui să se mulţumească cu un asemenea demers de matematizare, chiar dacă matematica însăşi nu este axiomatizată perfect. N-avem decât să lăsăm greul axiomatizării exhaustive pe spinarea matematicienilor.

-(1009212227) În acest context al axiomatizării se pune problema dacă matematica este coerentă şi completă şi dacă asemenea proprietăţi pot fi transferate Fizicii. De la Gödel încoace ştim că matematica nu este completă, dar asta nu înseamnă că ea n-ar fi coerentă. Apoi, pe măsură ce un sistem coerent este din ce în ce mai vast, putem spune că şi cunoaşterea bazată pe acel sistem este din ce în ce mai cuprinzătoare.

-(1009212236) Rămâne să vedem ce înseamnă a extinde un sistem coerent şi în ce măsură o asemenea extindere ar putea intersecta domeniile Fizicii. Altfel spus, putem căuta în matematică diverse noţiuni ale căror proprietăţi să modeleze din ce în ce mai bine proprietăţile corpurilor reale.

-(1009212241) Bazându-mă numai pe intuiţie şi deci cu riscul de a face o mulţime de greşeli, aş încerca să presupun că noţiunea de „punct” din geometrie căruia să-i asociem viteză infinită (noţiune numită „punct fizic”) ar putea satisface toate cerinţele axiomatizării Fizicii. Prin aceasta ar trebui să postulez ceva extrem de bizar, dar în acelaşi timp şi eficient prin bogăţia de consecinţe logice rezultate dintr-un număr redus de axiome: în natură nu există altceva decât puncte fizice.

-(1009212249) Odată acceptată această afirmaţie bizară, restul e treaba geometriei. N-are decât să ne spună geometria ce se întâmplă mai departe şi ce structuri noi se pot crea datorită diversităţii traiectoriilor pe care le pot urma punctele fizice. Aşa mă gândesc eu acum, dar, cine ştie, poate nu este chiar atât de simplu...

Forma exponenţială a formulelor lui Frenet

Forma exponenţială a formulelor lui Frenet

    În materialul anterior am arătat că există trei unităţi imaginare şi că acestea nu pot fi reprezentate decât în spaţiul tridimensional ca fiind segmente reciproc perpendiculare între ele de lungime egală cu unitatea, adică unităţile imaginare sunt tocmai nişte versori. Să ducem acum mai departe acest raţionament.

    Ştim că Euler ne-a dat formula de o rară frumuseţe

,

unde i este unitatea imaginară cunoscută pe vremea sa. Dar acum, după Hamilton, ştim că există trei unităţi imaginare, nu doar una singură. Celelalte două unităţi imaginare sunt notate cu j şi, respectiv, cu k. Aşadar, vom putea scrie formula lui Euler şi pentru restul unităţilor imaginare, adică

,

.

În plus, cum orientarea unei unităţi imaginare nu schimbă valabilitatea formulei lui Euler, vom putea să aplicăm această formulă oricărui versor din spaţiu. Mai precis, vom putea scrie

,

oricare ar fi versorul din spaţiu. Dar asta înseamnă că formula lui Euler este valabilă şi pentru versorii triedrului lui Frenet. Mai precis, putem scrie formulele

,

 

şi

pentru fiecare dintre versorii triedrului lui Frenet.

    Ajunşi aici, ne putem întreba dacă nu cumva am putea utiliza aceste formule pentru a scrie mai elegant şi mai concis formulele lui Frenet. Pentru aceasta ar trebui să analizăm expresii de genul

  ,   sau   ,

precum apar în formulele lui Frenet. Putem scrie sub formă exponenţială o expresie de genul ? Păi, am putea, numai că ne încurcă versorul binormalei din faţa lui cos, căci dacă nu ar fi acest versor în faţa lui cos, atunci expresia ar putea fi scrisă uşor sub formă exponenţială.

    Dar nu cumva şi versorul tangentei poate fi scris cu ajutorul versorului binormalei? Cum să nu? Doar că pentru a putea justifica răspunsul trebuie să ne amintim că marele Hamilton ne-a arătat că între cele trei unităţi imaginare există relaţia ij=k, relaţie valabilă în orice ordine obţinută prin permutări circulare, deci şi în ordinea jk=i sau ki=j. Mai avem şi relaţiile ji=-k, kj=-i şi ik=-j. Asta înseamnă că şi între versorii triedrului Frenet putem scrie aceleaşi relaţii, căci şi aceşti versori sunt unităţi imaginare. Aşadar, avem relaţiile

  ,           şi    ,

respectiv,

  ,           şi    ,

relaţii pe care le putem utiliza pentru a scrie formulele lui Frenet sub forma exponenţială.

    Acum putem reveni asupra expresiilor

  ,   sau  

şi putem înlocui versorul tangentei, respectiv, al binormalei pentru a le scrie în forma care ne convine nouă. În plus, oricare ar fi versorul , avem şi relaţiile

   şi   .

Atunci, cum ştim că formulele lui Frenet în forma lor trigonometrică sunt

   ,

rezultă că, în sfârşit, putem scrie formulele lui Frenet şi în forma lor exponenţială:

 .

De asemenea, mai putem scrie sub forma exponenţială şi vectorul vitezei unghiulare cu care se roteşte triedrul lui Frenet

.

Există trei unităţi imaginare

Există trei unităţi imaginare

    Există în matematică un număr foarte interesant. Este vorba despre numărul   . Cât este radical din minus unu? Nu ştim cât este. Mai precis, nu există niciun număr cuprins între minus infinit şi plus infinit care să fie radical din minus unu. Atunci care este soluţia? Ce trebuie să facem ca să aflăm cât este acest număr? Matematicienii au inventat o soluţie. Au spus că dacă tot nu ştim cât este acest număr, atunci hai să-l notăm cu o literă anume şi să lucrăm cu el ca şi cu oricare alt număr. Zis şi făcut. Au notat .

    Vă mulţumeşte această soluţie? Păi, chiar dacă nu vă mulţumeşte, n-aveţi ce face, căci nu putem mai mult. Sau, mai ştiţi, poate putem mai mult... Altfel spus, dacă există atâta arbitrarietate legată de acest număr imaginar, atunci nu cumva o putem exploata ca să putem folosi acest număr nu doar pentru o dimensiune, ci chiar pentru trei dimensiuni?

    Eu am gândit cam aşa: Dacă unitatea imaginară nu poate fi găsită nicăieri pe dreapta reală, atunci nu cumva această unitate imaginară este în afara dreptei reale? Cu certitudine, da! Cu certitudine, unitatea imaginară se află undeva în afara dreptei reale. Bine, bine, dar „în afara” unei drepte implică existenţa unui plan. Aşadar, luarea în considerare a unităţii imaginare ne obligă să aducem în discuţie un plan. Mai precis, dacă pentru mulţimea numerelor reale am găsit o analogie perfectă (numită de matematicieni drept „izomorfism”) cu mulţimea punctelor de pe o dreaptă, atunci pentru mulţimea numerelor complexe (adică acele numere care au şi parte imaginară) putem găsi o analogie cu mulţimea punctelor din plan. Acest plan chiar a primit un nume logic: „planul complex”.

    Acestea fiind spuse, unde se află, totuşi, unitatea imaginară? Păi, în planul complex, unitatea imaginară defineşte un segment perpendicular pe dreapta reală. Acest segment porneşte din origine şi are lungimea egală cu unitatea.

    Păi, tot n-am scăpat de arbitrarietate! De ce? Cum „de ce”? Păi dacă ştim că unitatea imaginară este un segment perpendicular pe dreapta reală, tot nu ştim cum este orientat acesta în spaţiu, căci în spaţiu putem duce o infinitate de perpendiculare pe o dreaptă. Altfel spus, în afara dreptei sunt mai multe perpendiculare, nu doar una singură. Atunci cum facem?

    Acum este momentul să ne reamintim cum am început studiul despre unitatea imaginară. Am spus că vom nota pe cu o literă. Dar asta a însemnat din start că noi limităm la una numărul de soluţii pe care le are . Păi, dacă este ceva „în afara” dreptei şi cum în afara unei drepte există mai multe perpendiculare, atunci este firesc să luăm în calcul această alternativă. Mai precis, de ce să nu fie două unităţi imaginare, ambele perpendiculare pe dreapta reală (şi perpendiculare între ele)? Normal că aşa e mai bine! Normal că aşa e mai clar!

    Dar staţi puţin! Ar însemna că într-un punct din spaţiu există o unitate reală şi două unităţi imaginare, reciproc perpendiculare. Nu vi se pare un amestec nenatural de unităţi reale şi imaginare? Dacă am şti care este unitatea reală dintr-un punct (celelalte două fiind imaginare), ar însemna că în spaţiu am putea găsi direcţii privilegiate, cărora să le asociem unitatea reală. Dar noi ştim că într-un spaţiu gol ca şi acela studiat de matematică nu există direcţii privilegiate. Înseamnă că nu e normal să facem un amestec de unităţi imaginare şi unităţi reale.

    Atunci care este soluţia? Păi, dacă arbitrarietatea studiului ne-a permis să descoperim justificarea pentru două unităţi, atunci nimic nu ne mai împiedică să admitem că în spaţiu există, de fapt, trei unităţi imaginare, reciproc perpendiculare.

    Aoleu! Bine, bine, am găsit noi că într-un punct din spaţiu există trei unităţi imaginare, dar unde a dispărut atunci unitatea reală? Ce facem cu ea? Hmmm... Bună întrebare! Păi, ce-ar fi să admitem că tocmai unitatea reală este cea pe care nu o putem găsi în spaţiu şi că tocmai ea este cea „perpendiculară pe spaţiu”? Asta este soluţia! Unitatea reală este perpendiculară pe spaţiu! Dar ce înseamnă „perpendicular pe spaţiu”? Păi, „perpendicular pe spaţiu” nu poate să însemne altceva decât „aflat în timp”!

    Gata! Atât am vrut să vă spun aici. Cam ceea ce v-am spus eu aici a gândit şi marele matematician Hamilton atunci când a descoperit cuaternionii. Eu n-am făcut decât să încerc să aduc la un nivel cât mai inteligibil acest raţionament profund. Totuşi, visez ca într-un articol viitor să arăt la ce concluzii fascinante ajungem dacă luăm ca unităţi imaginare tocmai versorii triedrului Frenet.

O metodă elementară pentru calculul sumelor

În această lucrare prezint cititorilor într-o manieră simplă, un procedeu care permite calcularea sumelor de forma altfel decât apelând la artificii matematice dictate de forma particulară a şirului . Printre lucrările pe care am avut răgazul să le consult – lucrări de istorie a matematicii, dicţionare, enciclopedii matematice, precum şi culegeri de probleme – nu am găsit prezentată sau folosită această metodă, fapt pentru care am considerat utilă publicarea ei. Deoarece sunt la prima încercare de acest gen, rog să-mi fie tratate cu îngăduinţă notaţiile şi denumirile inedite utilizate aici, precum şi eventualele scăpări datorate strădaniei mele de a nu îngreuna textul.

Ideea metodei mi-a venit când am observat că operaţia de însumare este foarte asemănătoare integrării. Iată câteva asemănări care mi-au atras atenţia:

şi

şi

şi

(unde, pentru claritate, am considerat constanta de integrare nulă).

Atunci mi-am pus problema dacă această analogie poate fi dusă mai departe şi, spre satisfacţia mea, am găsit că răspunsul este afirmativ, adică am reuşit să creez un calcul „infinitezimal” aplicat sumelor – numit simplu calculul sumelor – care mi-a permis determinarea elegantă a unor sume obţinute până atunci nesistematic, fără o regulă general valabilă. Daţi-mi voie să vă prezint în continuare aceste rezultate.

DEFINIŢIA 1. Fie un şir definit pentru orice număr natural . Formăm şirul definit de asemenea pentru orice număr natural . Numim şirul coborâtul şirului sau coborât şi notăm sau , sau dacă nu există pericol de confuzie , iar operaţia prin care obţinem şirul o numim coborâre. Denumirea poate fi justificată de faptul că prin coborâre scade gradul unui polinom.

EXEMPLE.

a) , unde este o constantă;

b) ;

c) ;

d) .

Astfel, putem forma un mic tablou cu coborâtele unor şiruri elementare în care presupunem subînţeles domeniul lor de definiţie

	0	1

În continuare, iată câteva dintre proprietăţile operaţiei de coborâre a şirurilor:

1. Dacă şi sunt două şiruri definite pe atunci

deoarece

.

2. Dacă c este o constantă, atunci

căci

.

3)

deoarece

.

4) Dacă , oricare ar fi , atunci

deoarece

.

OBSERVAŢIE. Proprietăţile 1), 2) şi 4) se găsesc, de pildă şi în lucrarea domnului N.Mihăileanu „Istoria matematicii”, volumul II, editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1981, pagina 607, deci nu pot fi considerate noutăţi, chiar dacă acolo nu este evidenţiată valoarea lor în teoria sumelor.

Până în acest punct am prezentat cele mai relevante rezultate privind calculul „diferenţial” aplicat sumelor, numit calcul descendent, iar mai departe voi descrie la fel de sumar calculul ascendent.

DEFINIŢIA 2. Fie şirul , definit pe . Numim ridicatul şirului sau ridicat şirul , definit şi el pe , cu proprietatea .

Notăm sau , sau dacă nu există pericol de confuzie , iar operaţia prin care obţinem şirul o numim ridicare.

EXEMPLE.

a) căci ;

b) căci;

c)

căci

;

d)

căci

;

e) deoarece .

OBSERVAŢIE. Dacă şirul are un ridicat, atunci el are o infinitate de ridicate, căci

oricare ar fi . Mulţimea ridicatelor lui o putem numi ridicatul nedefinit al lui . Se poate, de asemenea, demonstra că două ridicate ale aceluiaşi şir diferă printr-o constantă.

Iată acum tabloul cu ridicatele unor şiruri elementare

	0	1

Printre proprietăţile mai utilizate ale operaţiei de ridicare sunt următoarele:

5)

căci

.

6)

căci

.

7) (Formula de ridicare prin părţi)

deoarece

.

8) Dacă , oricare ar fi natural, atunci

căci

8’) Făcând în 8) , obţinem

.

8’’) Făcând în 8) , obţinem

.

9)

căci

.

Din acest moment se poate evidenţia utilitatea calculului arătând cum poate fi folosit la determinarea sumelor. Pentru aceasta voi demonstra următoarea teoremă, corespunzătoare teoremei cu acelaşi nume din calculul infinitezimal:

TEOREMA LEIBNIZ — NEWTON. Dacă este un şir definit pe , şi sunt două numere naturale cu , iar este unul dintre ridicatele acestui şir, atunci

.

Demonstraţie. Fie o constantă oarecare. Avem

.

Dar, conform proprietăţii 9),

,

iar

.

Aşadar

.

Teorema poate fi demonstrată şi prin inducţie.

APLICAŢII.

1. Să se calculeze suma . Avem, conform teoremei,

. (Am utilizat simbolistica din calculul integral). Folosind formula de ridicare prin părţi, obţinem

,

deci

,

adică

.

Folosind acest ridicat (pe care îl regăsim și în tabel), avem

.

2. Să se calculeze suma .

Din tabel, aflăm că , deci

.

3. Demonstraţi că .

Din tabel știm că , deci

.

4. Calculaţi .

Observăm că şi, utilizând proprietatea 8’), obţinem

,

deci

.

În încheiere vreau să subliniez faptul că nu am avut intenţia şi nici posibilitatea să tratez aici toate aspectele pe care le generează calculul sumelor şi, de aceea, au rămas de studiat multe lucruri importante cum ar fi: coborâtul şirului compus, ridicarea prin schimbare de variabilă, coborâte de ordin superior, aportul teoriei diferenţelor finite, legătura dintre natura şirurilor şi coborâtele lor, coborâte parţiale sau ridicate multiple, etc. De asemenea, în ciuda strădaniilor mele, nu am reuşit să descopăr noi proprietăţi ale combinărilor (care sunt convins că există) sugerate de misterioasa relaţie , iar analogia, căutată cu pasiune, dintre ridicatul şirului şi primitiva funcţiei , mi-a rămas în continuare nedezvăluită. Însă aş fi bucuros să ştiu că şi în această formă lapidară, calculul prezentat aici a reuşit să stârnească interesul, şi că alţii, mai competenţi decât mine, îl vor înţelege mai profund.

Notă: acest articol a fost redactat cu mulţi ani în urmă (să tot fie vreo 15?) şi, din câte îmi amintesc, l-am trimis la câteva instituţii despre care credeam atunci că-l vor lua în considerare. Astăzi ştiu deja că societatea funcţionează complet diferit de cum îmi imaginam eu atunci şi mulţumesc nespus celor care ne dau ocazia să publicăm în acest mod idei originale.

-(1404071448) Având în vedere faptul că formulele nu se văd întotdeauna, am adăugat azi (8 aprilie 2014) acest iframe cu documentul de la gdocs care conţine materialul: .