Există trei unităţi imaginare

Există trei unităţi imaginare

    Există în matematică un număr foarte interesant. Este vorba despre numărul   . Cât este radical din minus unu? Nu ştim cât este. Mai precis, nu există niciun număr cuprins între minus infinit şi plus infinit care să fie radical din minus unu. Atunci care este soluţia? Ce trebuie să facem ca să aflăm cât este acest număr? Matematicienii au inventat o soluţie. Au spus că dacă tot nu ştim cât este acest număr, atunci hai să-l notăm cu o literă anume şi să lucrăm cu el ca şi cu oricare alt număr. Zis şi făcut. Au notat .

    Vă mulţumeşte această soluţie? Păi, chiar dacă nu vă mulţumeşte, n-aveţi ce face, căci nu putem mai mult. Sau, mai ştiţi, poate putem mai mult... Altfel spus, dacă există atâta arbitrarietate legată de acest număr imaginar, atunci nu cumva o putem exploata ca să putem folosi acest număr nu doar pentru o dimensiune, ci chiar pentru trei dimensiuni?

    Eu am gândit cam aşa: Dacă unitatea imaginară nu poate fi găsită nicăieri pe dreapta reală, atunci nu cumva această unitate imaginară este în afara dreptei reale? Cu certitudine, da! Cu certitudine, unitatea imaginară se află undeva în afara dreptei reale. Bine, bine, dar „în afara” unei drepte implică existenţa unui plan. Aşadar, luarea în considerare a unităţii imaginare ne obligă să aducem în discuţie un plan. Mai precis, dacă pentru mulţimea numerelor reale am găsit o analogie perfectă (numită de matematicieni drept „izomorfism”) cu mulţimea punctelor de pe o dreaptă, atunci pentru mulţimea numerelor complexe (adică acele numere care au şi parte imaginară) putem găsi o analogie cu mulţimea punctelor din plan. Acest plan chiar a primit un nume logic: „planul complex”.

    Acestea fiind spuse, unde se află, totuşi, unitatea imaginară? Păi, în planul complex, unitatea imaginară defineşte un segment perpendicular pe dreapta reală. Acest segment porneşte din origine şi are lungimea egală cu unitatea.

    Păi, tot n-am scăpat de arbitrarietate! De ce? Cum „de ce”? Păi dacă ştim că unitatea imaginară este un segment perpendicular pe dreapta reală, tot nu ştim cum este orientat acesta în spaţiu, căci în spaţiu putem duce o infinitate de perpendiculare pe o dreaptă. Altfel spus, în afara dreptei sunt mai multe perpendiculare, nu doar una singură. Atunci cum facem?

    Acum este momentul să ne reamintim cum am început studiul despre unitatea imaginară. Am spus că vom nota pe cu o literă. Dar asta a însemnat din start că noi limităm la una numărul de soluţii pe care le are . Păi, dacă este ceva „în afara” dreptei şi cum în afara unei drepte există mai multe perpendiculare, atunci este firesc să luăm în calcul această alternativă. Mai precis, de ce să nu fie două unităţi imaginare, ambele perpendiculare pe dreapta reală (şi perpendiculare între ele)? Normal că aşa e mai bine! Normal că aşa e mai clar!

    Dar staţi puţin! Ar însemna că într-un punct din spaţiu există o unitate reală şi două unităţi imaginare, reciproc perpendiculare. Nu vi se pare un amestec nenatural de unităţi reale şi imaginare? Dacă am şti care este unitatea reală dintr-un punct (celelalte două fiind imaginare), ar însemna că în spaţiu am putea găsi direcţii privilegiate, cărora să le asociem unitatea reală. Dar noi ştim că într-un spaţiu gol ca şi acela studiat de matematică nu există direcţii privilegiate. Înseamnă că nu e normal să facem un amestec de unităţi imaginare şi unităţi reale.

    Atunci care este soluţia? Păi, dacă arbitrarietatea studiului ne-a permis să descoperim justificarea pentru două unităţi, atunci nimic nu ne mai împiedică să admitem că în spaţiu există, de fapt, trei unităţi imaginare, reciproc perpendiculare.

    Aoleu! Bine, bine, am găsit noi că într-un punct din spaţiu există trei unităţi imaginare, dar unde a dispărut atunci unitatea reală? Ce facem cu ea? Hmmm... Bună întrebare! Păi, ce-ar fi să admitem că tocmai unitatea reală este cea pe care nu o putem găsi în spaţiu şi că tocmai ea este cea „perpendiculară pe spaţiu”? Asta este soluţia! Unitatea reală este perpendiculară pe spaţiu! Dar ce înseamnă „perpendicular pe spaţiu”? Păi, „perpendicular pe spaţiu” nu poate să însemne altceva decât „aflat în timp”!

    Gata! Atât am vrut să vă spun aici. Cam ceea ce v-am spus eu aici a gândit şi marele matematician Hamilton atunci când a descoperit cuaternionii. Eu n-am făcut decât să încerc să aduc la un nivel cât mai inteligibil acest raţionament profund. Totuşi, visez ca într-un articol viitor să arăt la ce concluzii fascinante ajungem dacă luăm ca unităţi imaginare tocmai versorii triedrului Frenet.