Forma exponenţială a formulelor lui Frenet

Forma exponenţială a formulelor lui Frenet

    În materialul anterior am arătat că există trei unităţi imaginare şi că acestea nu pot fi reprezentate decât în spaţiul tridimensional ca fiind segmente reciproc perpendiculare între ele de lungime egală cu unitatea, adică unităţile imaginare sunt tocmai nişte versori. Să ducem acum mai departe acest raţionament.

    Ştim că Euler ne-a dat formula de o rară frumuseţe

,

unde i este unitatea imaginară cunoscută pe vremea sa. Dar acum, după Hamilton, ştim că există trei unităţi imaginare, nu doar una singură. Celelalte două unităţi imaginare sunt notate cu j şi, respectiv, cu k. Aşadar, vom putea scrie formula lui Euler şi pentru restul unităţilor imaginare, adică

,

.

În plus, cum orientarea unei unităţi imaginare nu schimbă valabilitatea formulei lui Euler, vom putea să aplicăm această formulă oricărui versor din spaţiu. Mai precis, vom putea scrie

,

oricare ar fi versorul din spaţiu. Dar asta înseamnă că formula lui Euler este valabilă şi pentru versorii triedrului lui Frenet. Mai precis, putem scrie formulele

,

 

şi

pentru fiecare dintre versorii triedrului lui Frenet.

    Ajunşi aici, ne putem întreba dacă nu cumva am putea utiliza aceste formule pentru a scrie mai elegant şi mai concis formulele lui Frenet. Pentru aceasta ar trebui să analizăm expresii de genul

  ,   sau   ,

precum apar în formulele lui Frenet. Putem scrie sub formă exponenţială o expresie de genul ? Păi, am putea, numai că ne încurcă versorul binormalei din faţa lui cos, căci dacă nu ar fi acest versor în faţa lui cos, atunci expresia ar putea fi scrisă uşor sub formă exponenţială.

    Dar nu cumva şi versorul tangentei poate fi scris cu ajutorul versorului binormalei? Cum să nu? Doar că pentru a putea justifica răspunsul trebuie să ne amintim că marele Hamilton ne-a arătat că între cele trei unităţi imaginare există relaţia ij=k, relaţie valabilă în orice ordine obţinută prin permutări circulare, deci şi în ordinea jk=i sau ki=j. Mai avem şi relaţiile ji=-k, kj=-i şi ik=-j. Asta înseamnă că şi între versorii triedrului Frenet putem scrie aceleaşi relaţii, căci şi aceşti versori sunt unităţi imaginare. Aşadar, avem relaţiile

  ,           şi    ,

respectiv,

  ,           şi    ,

relaţii pe care le putem utiliza pentru a scrie formulele lui Frenet sub forma exponenţială.

    Acum putem reveni asupra expresiilor

  ,   sau  

şi putem înlocui versorul tangentei, respectiv, al binormalei pentru a le scrie în forma care ne convine nouă. În plus, oricare ar fi versorul , avem şi relaţiile

   şi   .

Atunci, cum ştim că formulele lui Frenet în forma lor trigonometrică sunt

   ,

rezultă că, în sfârşit, putem scrie formulele lui Frenet şi în forma lor exponenţială:

 .

De asemenea, mai putem scrie sub forma exponenţială şi vectorul vitezei unghiulare cu care se roteşte triedrul lui Frenet

.