Există trei tipuri de influențe externe: liniare, areolare și volumice

Despre viteza liniară a unui corp ați auzit cu toții. Un automobil pe șosea are viteză liniară. Acestă viteză poate fi definită ca fiind derivata în raport cu timpul a vectorului de poziție și ne spune ce lungime străbate un corp în unitatea de timp. Corespunzător, produsul dintre masă și viteza liniară este impulsul liniar.

Apoi, despre viteza areolară ați auzit mai puțini, dar există și ea, fiind (jumătate din) derivata în raport cu timpul a produsului vectorial dintre poziție și viteza liniară și ne spune ce arie mătură vectorul de poziție al unui corp în unitatea de timp. Corespunzător, produsul dintre masă și viteza areolară este impulsul areolar (momentul cinetic).

Dar despre viteza volumică n-ați auzit decât cei care mai bâjbâie printre cercetările mele pe care le-am publicat deja. Ei bine, viteza volumică se definește ca fiind (o treime din) derivata în raport cu timpul a produsului scalar dintre poziție și viteza areolară și ne spune ce volum mătură în unitatea de timp triunghiul de poziție (format de vectorul de poziție și vectorul viteză liniară). Corespunzător, produsul dintre masă și viteza volumică este impulsul volumic.

Cu aceste noțiuni în minte, principiul elicoidal al inerției poate fi reformulat astfel:

-corpurile libere se mișcă în așa fel încât impulsul lor liniar, areolar și volumic se conservă în timp și sunt toate nenule.

Așadar, am putea clasifica și influențele externe în funcție de aceste trei tipuri de impulsuri. Influențele care pot modifica doar impulsul liniar ar putea fi influențele gravitaționale, influențele care pot modifica doar impulsul areolar ar putea fi influențele electrice, iar influențele care pot modifica doar impulsul volumic ar putea fi influențele magnetice.

Curbura este egală cu torsiunea

Recent, studiind cu Maxima graficele variațiilor curburii și ale torsiunii am avut o revelație crucială în Fizica elicoidală, care îmi clarifică multe aspecte ce nu se lăsau încă înțelese. Mai exact, am descoperit că un corp liber se mișcă, nu doar pe o elice circulară obișnuită, ci pe o elice care are ceva mai special în ea și anume curbura ei este egală cu torsiunea în valoare absolută.

Dar să vă spun mai exact despre ce este vorba. Să luăm un exemplu mai simplu, pentru început. Cred că puteți fi de acord cu faptul că un corp care este constrâns cumva să se miște pe un cerc va avea energie (potențială) mai mare decât același corp lăsat în pace care nu este constrâns să se miște pe cerc. Deci, cu cât curbura cercului va fi mai mare (raza cercului mai mică), cu atât corpul deține mai multă energie potențială. Dar și reciproc, cu cât corpul deține (pentru că este constrâns să dețină) mai multă energie potențială, cu atât cercul pe care a fost constrâns să se deplaseze va avea o curbură mai mare. Așadar, trecerea de la un cerc de curbură mică la un cerc de curbură mai mare se realizează cu lucru mecanic efectuat asupra corpului și absorbție de energie, iar trecerea inversă de la rază mică la rază mare are loc cu degajare de energie și efectuare de lucru mecanic asupra mediului înconjurător. 

Ei bine, așa cum am mai scris de multe ori pe blog, acest raționament este înglobat într-un postulat îndrăzneț al Fizicii elicoidale, postulat care, implicând constanta lui Planck, concretizează cantitativ relația dintre energia potențială a unui corp și forma traiectoriei sale. Este îndrăzneț deoarece afirmă că întreaga masă a unui corp se datorează numai și numai formei traiectoriei sale, ori aceasta este o noutate absolută în Fizică. 

Relația de care vorbesc și pe care am mai prezentat-o, dar mai brutal, mai neintuitiv, mai lipsită de context decât acum, recunosc, este $$m=\frac{\hbar}{c}\sqrt{\kappa^2+\tau^2}.$$

Această relație ne spune că cu cât curbura $\kappa$ și torsiunea $\tau$ a traiectoriei pe care se deplasează un corp sunt mai mari, cu atât corpul va fi mai masiv, mai energic, respectiv, cu cât corpul este mai ușor, cu atât se deplasează pe traiectorii mai simple. 

Sper ca măcar acum să vedeți această relație cu alți ochi, mai limpezi. Ea ne mai spune printre altele că curbura și torsiunea însele au inerție, adică nu le place să fie schimbate ușor, mai ales atunci când ele sunt mari.

Acum, dacă exemplul cu cercul, o curbă plană, deci cu torsiunea nulă, a fost dat doar în spirit didactic, pentru ca tinerii mei cititori să înțeleagă începutul relației dintre energia unui corp și forma traiectoriei sale, voi reveni la curba cea mai completă, care nu are doar curbură nenulă (precum are cercul), ci are și torsiune nenulă și, mai mult de-atât, este și cea mai simplă curbă cu aceste proprietăți: elicea.

Ei bine, atunci un corp liber care duce totuși cu el energie (caz în care corpul nu este absolut liber din moment ce este constrâns să transporte energie) se va mișca pe o elice a cărei formă ne vorbește despre câtă energie duce corpul respectiv.

Astfel, dacă i-am pus acelui corp în cârcă un sac cu energie, el se va deplasa la nesfârșit, bietul, de unul singur, prin Univers, pe o elice perfect circulară și nederanjată de nimic, a căror curbură și torsiune vor depinde de câtă energie l-am obligat pe bietul corp să ducă cu el. Mișcarea trebuie să fie în echilibru stabil.

Dar, de aici încolo lucrurile devin și mai interesante pentru că ne putem pune problema privind alegerea concretă pe care o va face corpul în ceea ce privește curbura și torsiunea elicei pe care să se deplaseze. Dilema corpului este dacă să se deplaseze pe o elice cu curbura mare și torsiunea mică sau pe o elice cu curbura mică și torsiunea mare. Relația dată mai sus $m=\frac{\hbar}{c}\sqrt{\kappa^2+\tau^2}$ ne permite libertatea să alegem ce curbură dorim și ce torsiune dorim, cu condiția ca suma pătratelor lor să fie aceeași. 

Așadar, când se obține echilibrul stabil? Ce curbură va alege corpul în mișcarea sa? Va alege oare corpul să se deplaseze pe un cerc, dând astfel toată energia sa curburii și neglijând torsiunea? Ar fi o asemenea mișcare în echilibru stabil? Nu s-ar supăra oare torsiunea în acest caz? Eu, dacă aș fi torsiune, în acest caz, m-aș revolta și i-aș reproșa corpului că favorizează curbura, deși curbura n-ar trebui să fie cu nimic mai presus decât mine. Așadar, corpul ar trebui să decidă corect între a împăca și capra și varza, fără ca acestea să se mai certe vreodată în infinitatea de timp în care corpul trebuie să-și ducă crucea. 

În absența matematicii, ar trebui să ne mulțumim cu un astfel de raționament filozofic, raționament care ne duce la concluzia că dilema corpului se rezolvă prin mișcarea sa pe o elice având curbura egală cu torsiunea. Din fericire, matematica vine să întărească acest raționament filozofic. Și să vedem cum. 

Se știe că curbura elicei este dată de formula $$\kappa=\frac{a}{a^2+b^2},$$ iar torsiunea este $$\tau=-\frac{b}{a^2+b^2}.$$

Iată și graficele, realizate cu Maxima, care exprimă curbura în funcție de raza elicei (la un anumit pas).

Curba albastră exprimă cum variază curbura când pasul este 3, curba roșie arată cum variază curbura când pasul este 4, iar curba verde arată cum variază curbura când pasul este 5.

Și mai jos aveți graficul torsiunii, în aceleași culori ca și în cazul curburii.

Pentru a înțelege profunzimea informației transmise de aceste grafice, vom face niște calcule.

Derivând curbura în funcție de raza a și presupunând că pasul b rămâne constant, $$\dot\kappa=\frac{\dot a(a^2+b^2)-2a\dot a}{(a^2+b^2)^2},$$

deci obținem minunea asta de formulă: $$\large{\dot\kappa=\frac{b^2-a^2}{(a^2+b^2)^2}\dot a}$$

Ei bine, știți ce ne spune această minune de formulă? Că variația curburii este mai mititică atunci când numărătorul fracției de mai sus este mititel, adică atunci când diferența $b^2-a^2$ este cât de mică se poate, adică atunci când curbura este egală cu torsiunea în valoare absolută. 

Și cum interpretăm atunci această formulă? Astfel: corpurile se deplasează mai liniștit, în echilibru mai stabil, atunci când curbura traiectoriei lor este egală cu torsiunea sau cu minus torsiunea, pentru că atunci variația curburii este mai mică. Corpurilor libere nu le plac variațiile, nu le place să fie deranjate, așa că vor evita variațiile, deci vor căuta să se deplaseze pe o asemenea traiectorie încât curbura să fie egală cu torsiunea.

Observați și pe grafic. Pe măsură ce raza elicei crește, crește și curbura, crește și torsiunea. Torsiunea crește pentru că este negativă, dar valoarea ei absolută scade, de fapt, elicea apropiindu-se de o curbă din ce în ce mai plană. 

Însă, observați vârful graficului curburii. Pe măsură ce raza elicei crește, curbura crește și ea până când ajunge la un vârf în care variația ei dispare. Aici se obține valoarea maximă a curburii. Curbura este maximă și nu mai variază când raza elicei este egală cu pasul acesteia. Aici se obține acel mult dorit echilibru stabil al corpului, în care nu mai există variații ale energiei.

Dincolo de acest vârf curbura elicei începe să scadă pe măsură ce crește raza elicei, întocmai cum scade curbura cercului pe măsură ce crește raza lui. Deci, dincolo de acest vârf, elicea începe să devină din ce în ce mai asemănătoare cu un cerc. De asemenea, aproape de vârf variațiile curburii sunt insesizabile, chiar dacă variațiile razei ar fi mari, deci în vecinătatea vârfului stabilitatea este asigurată. 

Mai mult, în lumina acestor considerații, se poate spune că, așa cum există condensatoare electrice care pot îngloba cât mai multă energie electrică într-o anumită formă, tot astfel, elicea însăși este și ea un „condensator” de energie care „înghite” mai multă energie atunci când curbura este mai apropiată de torsiune în valoare absolută. Astfel, corpurile în care s-a pompat energie și care au fost obligate să conțină cât mai multă energie, vor face cumva să se miște pe o elice având raza cât mai apropiată de pas. Dacă vom micșora raza elicei, energia corpului va fi din ce în ce mai mare, dar numai dacă nu micșorăm prea mult raza elicei. Căci dacă micșorăm raza mai mult decât pasul, atunci curbura începe să scadă, iar capacitatea energetică a elicei scade și ea.

Iar de aici se deschide o nouă lume pentru noua Fizică. Țineți aproape! Cu pandemia asta am și eu, în sfârșit, timp să sap mai adânc în această Fizică elicoidală. Voi veni cu noutăți. Am de gând să vă mai vorbesc despre asemănarea acestor grafice cu acelea ale radiației corpului negru, despre interpretarea „clasică” a efectului fotoelectric, am de gând să vă vorbesc despre rezonanța orbitală a sateliților lui Jupiter, coroborat cu mișcarea electronilor în atom, despre legea Titius-Bode, despre salturi cuantice, despre unda asociată particulelor, despre lichefierea gazelor, despre dezechilibrul dintre materie și antimaterie (antimateria are torsiunea pozitivă), despre turbulență, despre adevărata lege a gravitației, toate în contextul acesta fundamental determinat de mișcarea corpurilor pe elice circulare. 

Am de gând să vă arăt că, pornind de la aceste premize fundamentale prezentate în articol, această Fizică nouă face legătura mult visată între Fizica corpurilor macroscopice (teoria gravitației) și Fizica corpurilor microscopice (Fizica cuantică), prima aflându-se acolo unde raza de curbură a elicei este foarte mare (în dreapta vârfului), iar a doua acolo unde raza este foarte mică (în stânga vârfului).

Nu ezitați să comentați, să întrebați, să adăugați, să criticați. Și nu ezitați să dați de veste, distribuind articolul, dacă v-a pus pe gânduri. Mulțumesc!

Cum explică Fizica elicoidală fulgerele din vulcani

Dacă sarcina electrică este dată de viteza de variație a torsiunii și dacă masa este proporțională cu torsiunea totală (așa cum am sugerat în Fizica elicoidală), atunci la transferuri de masă cu debit uriaș (cum are loc în cazul ploilor de vară sau al vulcanilor sau al golirii rezervoarelor mari) trebuie să apară tensiuni electrice și implicit descărcări electrice manifestate prin fulgere și tunete, datorită variațiilor mari de masă (și implicit de torsiune) . 

Nu știu cum explică Fizica actuală asemenea fenomene, dar, după cum vedeți, Fizica elicoidală le poate explica deocamdată cel puțin calitativ. 

Triedrul ortogonal al lui Frenet şi traiectoria ortogonală

Ştim că, dată fiind o traiectorie oarecare netedă şi continuă, putem defini un triedru drept format cu versorii tangentă (), normală () şi binormală (), care triedru să satisfacă următoarele formule, stabilite de Frenet:

 ,

,

 ,

unde şi sunt curbura şi, respectiv, torsiunea traiectoriei date.


Să arătăm acum că, alături de triedrul lui Frenet asociat unei traiectorii, mai putem construi un alt triedru special asociat traiectoriei date, format tot cu versorii triedrului lui Frenet, astfel încât şi noul triedru să satisfacă formulele lui Frenet.

Pentru aceasta, vom demonstra următoarea

Teoremă:
Triedrul drept format cu versorii , şi satisface şi el formulele lui Frenet corespunzătoare

 ,

,

 ,

unde  şi  .

Demonstraţie.

Făcând înlocuirile necesare şi folosindu-ne de formulele lui Frenet asociate triedrului (, , ), obţinem

 ,

,

 ,
ceea ce trebuia demonstrat.


Definiţia 1. Numim triedru ortogonal al lui Frenet, triedrul (, , ) .
Definiţia 2. Numim traiectorie ortogonală, acea traiectorie care ar fi parcursă de un mobil aflat în originea triedrului ortogonal al lui Frenet.

Să vă fie cu folos!

Forţe de viteză, forţe darbuziene şi forţe lancretiene

Principiul inerţiei în mecanica elicoidală

Vectorii şi dimensiunile

Derivata normalei este (proporţională cu) normala de ordinul doi

Cea mai simplă traiectorie posibilă este elicea închisă

Formulez aici prima teoremă implicată de „postulatul luxonilor”:
 

Teoremă: cea mai simplă traiectorie pe care se poate deplasa un corp este elicea închisă. 

Demonstraţie: Să arătăm întâi că cea mai simplă traiectorie pe care se poate deplasa un corp trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:
-1). Să fie diferită de un punct.
Dacă traiectoria corpului ar fi un punct, atunci corpul nu s-ar putea deplasa cu viteza luminii în vid, căci pe un punct nu poţi fi decât în repaus, iar, după cum am văzut, postulatul luxonilor interzice repausul.
-2). Să fie diferită de un segment de dreaptă.
Dacă traiectoria corpului ar fi un segment de dreaptă, atunci corpul ar trebui să fie în repaus la extremităţile segmentului de dreaptă, deci ajungem din nou la un efect interzis de postulatul luxonilor.
-3). Să fie cea mai simplă curbă posibilă (evident, diferită de un punct sau de un segment de dreaptă).
Cea mai simplă curbă posibilă este, după cum se ştie deja astăzi, o elice. Elicea face mereu un unghi constant cu o dreaptă fixă.
-4). Să existe cel puţin un observator care poate urmări întreaga evoluţie a corpului.
Această condiţie este impusă de consistenţa noţiunii de „corp”, precum şi de principiul ştiinţific al cognoscibilităţii lumii. Aceasta înseamnă că traiectoria nu poate veni de la infinit şi nici nu poate ajunge la infinit. Prin urmare, lungimea traiectoriei trebuie să fie finită şi nenulă. Altfel spus, traiectoria trebuie să fie închisă.

Acestea fiind spuse, rezultă ceea ce trebuia demonstrat.

Explicaţia anomaliei Pioneer

Multă lume ştie că navele spaţiale Pioneer lansate de NASA în 1972 şi 1973 sunt supuse unei forţe suplimentare spre Soare, forţă care nu poate fi explicată doar cu gravitaţia, iar acest efect este numit „efectul Pioneer” sau „anomalia Pioneer”. 

Recent, rusul Turyshev a propus o explicaţie care mie mi se pare cel puţin bizară: cică, vezi dom'le, din construcţie, navele emit mai multă căldură pe o parte. Şi se pare că navele stau cuminţi taman cu partea necesară pentru a emite mai multă căldură în direcţia opusă Soarelui. Pe mine nu mă mulţumeşte această explicaţie şi voi încerca aici să arăt că efectul Pioneer are o explicaţie mecanică simplă.

Ştim că un sistem izolat are energia constantă, impulsul constant şi momentul cinetic constant. Aşadar, centrul de masă al unui sistem izolat se deplasează netulburat, pe o linie dreaptă (într-o aproximaţie suficientă, echivalentă cu gradul de izolare a sistemului). Aşadar, un sistem izolat are tendinţa să-şi păstreze energia constantă. Orice pierdere cât de mică a energiei unui sistem trebuie pusă neapărat pe prezenţa unui alt sistem, capabil să absoarbă energia pe care o pierde sistemul dat în aşa fel încât noul sistem format de cele două sisteme să aibă energia constantă, căci este sistem izolat.

Să concretizăm şi mai mult legea asta interesantă de conservare a energiei. Am stabilit că un sistem izolat nu poate pierde energie. Cum aşa? Sistemul izolat nu pierde energie nici chiar dacă este fierbinte? Păi, nici chiar dacă este fierbinte! Pentru că aşa spune legea de conservare a energiei unui sistem izolat. Singura cale prin care un sistem poate pierde energie este ca în jurul său să se afle obligatoriu un alt sistem care să poată absorbi energia cedată! Dacă energia nu are unde să se ducă, atunci ea nu pleacă nicăieri! Să ne fie clar asta! Asta spune legea de conservare a energiei! Mai concret, dacă în jurul Soarelui nu ar exista nimic, atunci Soarele nu ar pierde energie! Pentru că ar fi un sistem izolat, iar sistemele izolate nu pierd energie.

Să vedem acum ce se întâmplă dacă energia are totuşi unde să se ducă. Să presupunem că în Univers există numai două sisteme A şi B; sistemul A are multă energie de cedat, iar lângă el se află sistemul B avid de energie care abia aşteaptă să sugă ceva de la sistemul A. Atât sistemul A, cât şi sistemul B se deplasează ambele prin Univers, iar impulsul lor total trebuie să se conserve, ceea ce înseamnă că centrul lor de masă se deplasează rectiliniu şi uniform, indiferent ce se petrece în sistemul izolat format de cele două subsisteme A şi B. Aşadar, centrul de masă comun se va deplasa nestingherit, chiar dacă sistemul A cedează energie sistemului B. 

Ok, dar orice transport de energie presupune şi un transport de masă, căci energia este echivalentă cu masa. Aceasta înseamnă că, odată cu transferul energiei de la sistemul A la sistemul B, se transferă şi masă. Mai precis, masa sistemului A scade, în timp ce masa sistemului B creşte. Dar centrul de masă comun al celor două sisteme se deplasează în continuare nestingherit, chiar dacă masa sistemului A scade şi masa sistemului B creşte. Asta înseamnă că, pe măsură ce continuă transferul de energie (şi de masă), sistemul A se îndepărtează de centrul de masă comun, în timp ce sistemul B se apropie de centrul de masă comun. Desigur, dacă masa sistemului A este uriaşă în raport cu cea a sistemului B (cum e în cazul Soarelui şi al sondei Pioneer), mişcarea lui A faţă de centrul de masă va fi insesizabilă, rămânând sesizabilă doar mişcarea lui B faţă de centrul de masă comun, centru aflat foarte aproape de A în acest caz.

Aceste raţionamente pot fi transpuse uşor sistemului format de Soare şi sondele Pioneer, căci ştim că putem admite că sistemul solar este un sistem izolat, într-o aproximaţie suficientă, de-a lungul zecilor de ani de când se deplasează sondele, căci traiectoria Soarelui în Galaxie are o rază de curbură foarte mare, motiv pentru care câteva zeci de ani sunt neglijabile faţă de perioada de revoluţie a Soarelui în jurul Galaxiei. Prin urmare, explicaţia anomaliei Pioneer este tocmai transferul de masă ce are loc de la Soare la sonde prin încălzirea acestora. Acest efect nu are legătură cu efectul de zbor razant despre care voi vorbi cu altă ocazie.

Elicea închisă are torsiunea variabilă

În general, o curbă definită prin ecuaţiile ei naturale (deci în funcţie de parametrul canonic) ca fiind  se numeşte închisă dacă există o valoare minimă nenulă şi finită  a parametrului canonic pentru care avem . Desigur, dacă este îndeplinită această relaţie, atunci este îndeplinită şi relaţia şi relaţia  şi, în general, pentru orice număr întreg , avem îndeplinită relaţia . Cum  este parametrul canonic, adică o lungime, putem defini o lungime a curbei închise ca fiind tocmai valoarea . Aşadar, o curbă închisă are lungimea nenulă şi finită.

Acum ştim că elicea este o curbă de lancretian constant şi vrem să determinăm ce proprietăţi are o elice închisă, adică o elice care ajunge înapoi de unde a plecat deşi îşi menţine în acelaşi timp lancretianul constant.

Dacă lancretianul elicei se menţine constant, atunci singurul parametru care poate varia este darbuzianul ei, adică radicalul sumei pătratelor curburii şi torsiunii. Mai precis, darbuzianul este modulul vectorului lui Darboux, adică

. 

Putem observa că darbuzianul mai poate fi scris şi , unde  este lancretianul curbei, constant în cazul elicei, motiv pentru care radicalul  este deja şi el o mărime constantă în cazul elicei. Aşadar, darbuzianul elicei este proporţional cu torsiunea ei, ceea ce înseamnă că dacă torsiunea elicei este constantă, atunci şi darbuzianul elicei este constant, iar dacă torsiunea elicei este variabilă, atunci şi darbuzianul elicei este variabil.

Să arătăm întâi că:

Teoremă: o elice cu darbuzianul constant nu poate fi închisă.

Demonstraţie:

Am văzut că darbuzianul elicei este proporţional cu torsiunea ei. Aşadar, dacă darbuzianul elicei este constant, atunci atât torsiunea elicei este constantă, cât şi curbura ei, ceea ce înseamnă că elicea dată este circulară. Prin urmare, elicea de darbuzian constant este circulară. Să arătăm atunci că elicea circulară nu este închisă.

Ştim că ecuaţiile carteziene ale elicei circulare  definite în funcţie de parametrul canonic sunt 

.

Dacă elicea circulară ar fi închisă, ar trebui să existe o valoare nenulă şi finită  astfel încât să avem . Deci ar trebui să avem îndeplinite simultan toate cele trei condiţii următoare 

.

Să arătăm acum că ultima condiţie nu poate fi îndeplinită. Din egalitatea 

rezultă că trebuie să avem

ceea ce implică relaţia . Dar această relaţie contravine definiţiei curbei închise care cere ca lungimea curbei închise să fie nenulă şi finită. Aşadar, prin reducere la absurd, teorema este demonstrată.

În consecinţă, teorema ne arată că elicea închisă trebuie să aibă darbuzianul variabil, iar asta înseamnă că elicea închisă are şi torsiunea variabilă. Desigur, aceasta este doar o condiţie necesară, nu şi una suficientă, căci nu orice elice cu torsiune variabilă este închisă.

Parametrii intrinseci nu se schimbă prin permutări circulare

În aceleaşi condiţii de calcul precum sunt acelea din materialul anterior (condiţii pe care voi începe să nu le mai precizez în materialele viitoare, ele fiind subînţelese) arătăm aici că parametrii intrinseci ai unei curbe (sau, echivalent, ai unui câmp vectorial) definite într-un reper cartezian nu se modifică dacă aplicăm permutări circulare componentelor curbei.

Aşadar, dacă definim curbura, torsiunea, darbuzianul şi lancretianul pe „înţelesul” minunatului program Maxima

, atunci Maxima ne arată că aceşti parametri nu depind de permutările circulare pe care le facem asupra componentelor (pentru că raportul dintre parametrul asociat curbei iniţiale şi parametrul asociat curbei permutate este egal cu unitatea):

.