Curbura este egală cu torsiunea

Recent, studiind cu Maxima graficele variațiilor curburii și ale torsiunii am avut o revelație crucială în Fizica elicoidală, care îmi clarifică multe aspecte ce nu se lăsau încă înțelese. Mai exact, am descoperit că un corp liber se mișcă, nu doar pe o elice circulară obișnuită, ci pe o elice care are ceva mai special în ea și anume curbura ei este egală cu torsiunea în valoare absolută.

Dar să vă spun mai exact despre ce este vorba. Să luăm un exemplu mai simplu, pentru început. Cred că puteți fi de acord cu faptul că un corp care este constrâns cumva să se miște pe un cerc va avea energie (potențială) mai mare decât același corp lăsat în pace care nu este constrâns să se miște pe cerc. Deci, cu cât curbura cercului va fi mai mare (raza cercului mai mică), cu atât corpul deține mai multă energie potențială. Dar și reciproc, cu cât corpul deține (pentru că este constrâns să dețină) mai multă energie potențială, cu atât cercul pe care a fost constrâns să se deplaseze va avea o curbură mai mare. Așadar, trecerea de la un cerc de curbură mică la un cerc de curbură mai mare se realizează cu lucru mecanic efectuat asupra corpului și absorbție de energie, iar trecerea inversă de la rază mică la rază mare are loc cu degajare de energie și efectuare de lucru mecanic asupra mediului înconjurător. 

Ei bine, așa cum am mai scris de multe ori pe blog, acest raționament este înglobat într-un postulat îndrăzneț al Fizicii elicoidale, postulat care, implicând constanta lui Planck, concretizează cantitativ relația dintre energia potențială a unui corp și forma traiectoriei sale. Este îndrăzneț deoarece afirmă că întreaga masă a unui corp se datorează numai și numai formei traiectoriei sale, ori aceasta este o noutate absolută în Fizică. 

Relația de care vorbesc și pe care am mai prezentat-o, dar mai brutal, mai neintuitiv, mai lipsită de context decât acum, recunosc, este $$m=\frac{\hbar}{c}\sqrt{\kappa^2+\tau^2}.$$

Această relație ne spune că cu cât curbura $\kappa$ și torsiunea $\tau$ a traiectoriei pe care se deplasează un corp sunt mai mari, cu atât corpul va fi mai masiv, mai energic, respectiv, cu cât corpul este mai ușor, cu atât se deplasează pe traiectorii mai simple. 

Sper ca măcar acum să vedeți această relație cu alți ochi, mai limpezi. Ea ne mai spune printre altele că curbura și torsiunea însele au inerție, adică nu le place să fie schimbate ușor, mai ales atunci când ele sunt mari.

Acum, dacă exemplul cu cercul, o curbă plană, deci cu torsiunea nulă, a fost dat doar în spirit didactic, pentru ca tinerii mei cititori să înțeleagă începutul relației dintre energia unui corp și forma traiectoriei sale, voi reveni la curba cea mai completă, care nu are doar curbură nenulă (precum are cercul), ci are și torsiune nenulă și, mai mult de-atât, este și cea mai simplă curbă cu aceste proprietăți: elicea.

Ei bine, atunci un corp liber care duce totuși cu el energie (caz în care corpul nu este absolut liber din moment ce este constrâns să transporte energie) se va mișca pe o elice a cărei formă ne vorbește despre câtă energie duce corpul respectiv.

Astfel, dacă i-am pus acelui corp în cârcă un sac cu energie, el se va deplasa la nesfârșit, bietul, de unul singur, prin Univers, pe o elice perfect circulară și nederanjată de nimic, a căror curbură și torsiune vor depinde de câtă energie l-am obligat pe bietul corp să ducă cu el. Mișcarea trebuie să fie în echilibru stabil.

Dar, de aici încolo lucrurile devin și mai interesante pentru că ne putem pune problema privind alegerea concretă pe care o va face corpul în ceea ce privește curbura și torsiunea elicei pe care să se deplaseze. Dilema corpului este dacă să se deplaseze pe o elice cu curbura mare și torsiunea mică sau pe o elice cu curbura mică și torsiunea mare. Relația dată mai sus $m=\frac{\hbar}{c}\sqrt{\kappa^2+\tau^2}$ ne permite libertatea să alegem ce curbură dorim și ce torsiune dorim, cu condiția ca suma pătratelor lor să fie aceeași. 

Așadar, când se obține echilibrul stabil? Ce curbură va alege corpul în mișcarea sa? Va alege oare corpul să se deplaseze pe un cerc, dând astfel toată energia sa curburii și neglijând torsiunea? Ar fi o asemenea mișcare în echilibru stabil? Nu s-ar supăra oare torsiunea în acest caz? Eu, dacă aș fi torsiune, în acest caz, m-aș revolta și i-aș reproșa corpului că favorizează curbura, deși curbura n-ar trebui să fie cu nimic mai presus decât mine. Așadar, corpul ar trebui să decidă corect între a împăca și capra și varza, fără ca acestea să se mai certe vreodată în infinitatea de timp în care corpul trebuie să-și ducă crucea. 

În absența matematicii, ar trebui să ne mulțumim cu un astfel de raționament filozofic, raționament care ne duce la concluzia că dilema corpului se rezolvă prin mișcarea sa pe o elice având curbura egală cu torsiunea. Din fericire, matematica vine să întărească acest raționament filozofic. Și să vedem cum. 

Se știe că curbura elicei este dată de formula $$\kappa=\frac{a}{a^2+b^2},$$ iar torsiunea este $$\tau=-\frac{b}{a^2+b^2}.$$

Iată și graficele, realizate cu Maxima, care exprimă curbura în funcție de raza elicei (la un anumit pas).

Curba albastră exprimă cum variază curbura când pasul este 3, curba roșie arată cum variază curbura când pasul este 4, iar curba verde arată cum variază curbura când pasul este 5.

Și mai jos aveți graficul torsiunii, în aceleași culori ca și în cazul curburii.

Pentru a înțelege profunzimea informației transmise de aceste grafice, vom face niște calcule.

Derivând curbura în funcție de raza a și presupunând că pasul b rămâne constant, $$\dot\kappa=\frac{\dot a(a^2+b^2)-2a\dot a}{(a^2+b^2)^2},$$

deci obținem minunea asta de formulă: $$\large{\dot\kappa=\frac{b^2-a^2}{(a^2+b^2)^2}\dot a}$$

Ei bine, știți ce ne spune această minune de formulă? Că variația curburii este mai mititică atunci când numărătorul fracției de mai sus este mititel, adică atunci când diferența $b^2-a^2$ este cât de mică se poate, adică atunci când curbura este egală cu torsiunea în valoare absolută. 

Și cum interpretăm atunci această formulă? Astfel: corpurile se deplasează mai liniștit, în echilibru mai stabil, atunci când curbura traiectoriei lor este egală cu torsiunea sau cu minus torsiunea, pentru că atunci variația curburii este mai mică. Corpurilor libere nu le plac variațiile, nu le place să fie deranjate, așa că vor evita variațiile, deci vor căuta să se deplaseze pe o asemenea traiectorie încât curbura să fie egală cu torsiunea.

Observați și pe grafic. Pe măsură ce raza elicei crește, crește și curbura, crește și torsiunea. Torsiunea crește pentru că este negativă, dar valoarea ei absolută scade, de fapt, elicea apropiindu-se de o curbă din ce în ce mai plană. 

Însă, observați vârful graficului curburii. Pe măsură ce raza elicei crește, curbura crește și ea până când ajunge la un vârf în care variația ei dispare. Aici se obține valoarea maximă a curburii. Curbura este maximă și nu mai variază când raza elicei este egală cu pasul acesteia. Aici se obține acel mult dorit echilibru stabil al corpului, în care nu mai există variații ale energiei.

Dincolo de acest vârf curbura elicei începe să scadă pe măsură ce crește raza elicei, întocmai cum scade curbura cercului pe măsură ce crește raza lui. Deci, dincolo de acest vârf, elicea începe să devină din ce în ce mai asemănătoare cu un cerc. De asemenea, aproape de vârf variațiile curburii sunt insesizabile, chiar dacă variațiile razei ar fi mari, deci în vecinătatea vârfului stabilitatea este asigurată. 

Mai mult, în lumina acestor considerații, se poate spune că, așa cum există condensatoare electrice care pot îngloba cât mai multă energie electrică într-o anumită formă, tot astfel, elicea însăși este și ea un „condensator” de energie care „înghite” mai multă energie atunci când curbura este mai apropiată de torsiune în valoare absolută. Astfel, corpurile în care s-a pompat energie și care au fost obligate să conțină cât mai multă energie, vor face cumva să se miște pe o elice având raza cât mai apropiată de pas. Dacă vom micșora raza elicei, energia corpului va fi din ce în ce mai mare, dar numai dacă nu micșorăm prea mult raza elicei. Căci dacă micșorăm raza mai mult decât pasul, atunci curbura începe să scadă, iar capacitatea energetică a elicei scade și ea.

Iar de aici se deschide o nouă lume pentru noua Fizică. Țineți aproape! Cu pandemia asta am și eu, în sfârșit, timp să sap mai adânc în această Fizică elicoidală. Voi veni cu noutăți. Am de gând să vă mai vorbesc despre asemănarea acestor grafice cu acelea ale radiației corpului negru, despre interpretarea „clasică” a efectului fotoelectric, am de gând să vă vorbesc despre rezonanța orbitală a sateliților lui Jupiter, coroborat cu mișcarea electronilor în atom, despre legea Titius-Bode, despre salturi cuantice, despre unda asociată particulelor, despre lichefierea gazelor, despre dezechilibrul dintre materie și antimaterie (antimateria are torsiunea pozitivă), despre turbulență, despre adevărata lege a gravitației, toate în contextul acesta fundamental determinat de mișcarea corpurilor pe elice circulare. 

Am de gând să vă arăt că, pornind de la aceste premize fundamentale prezentate în articol, această Fizică nouă face legătura mult visată între Fizica corpurilor macroscopice (teoria gravitației) și Fizica corpurilor microscopice (Fizica cuantică), prima aflându-se acolo unde raza de curbură a elicei este foarte mare (în dreapta vârfului), iar a doua acolo unde raza este foarte mică (în stânga vârfului).

Nu ezitați să comentați, să întrebați, să adăugați, să criticați. Și nu ezitați să dați de veste, distribuind articolul, dacă v-a pus pe gânduri. Mulțumesc!

Legile Fizicii din interiorul unei găuri negre trebuie să fie echivalente cu cele din exteriorul acesteia

Se știe că intensitatea câmpului gravitațional este direct proporțională cu masa corpului central și invers proporțională cu pătratul distanței până la centrul corpului central. Așadar, intensitatea câmpului gravitațional este direct proporțională cu raportul $$\frac{M}{R^2},$$ unde M este masa corpului central, iar R este distanța până la centrul corpului central.

De asemenea, ne amintim experimentul mental al lui Einstein în care observatorul situat în lift nu putea decide (local) dacă liftul se află în câmp gravitațional sau se află de fapt într-un câmp de accelerații.

Ei bine, același observator al lui Einstein, care nu poate decide dacă se află într-un câmp gravitațional sau într-un câmp de accelerații (căci nu poate determina în principiu neuniformitatea câmpului), nu va putea decide nici dacă intensitatea câmpului gravitațional se datorează unui corp foarte masiv dar situat la distanță uriașă de lift sau se datorează unui corp micuț, dar aflat la o distanță foarte mică de lift.

Această imposibilitate principială a observatorului din lift de a decide dacă se află aproape de un corp ușor sau departe de un corp masiv ne permite să generalizăm principiul echivalenței al lui Einstein, în sensul că:

-nu doar că un câmp gravitațional este echivalent cu un câmp de accelerații, ci, mai mult chiar, un câmp gravitațional din apropierea unui corp ușor poate fi echivalat cu un câmp gravitațional situat departe de un corp masiv.

Acest principiu generalizează principiul echivalenței al lui Einstein, deoarece un câmp de accelerații poate fi considerat un câmp gravitațional măsurat foarte departe de un corp central, deci un asemenea câmp de accelerații este un caz particular de câmp gravitațional, cazul când corpul central se află la distanță infinită de lift.

Odată înțeles acest principiu se va înțelege și faptul că toate legile Fizicii (deci și legile electromagnetismului) trebuie reformulate în așa fel încât să fie echivalente atât în interiorul unei găuri negre, cât și în afara acesteia.

Dar o asemenea consecință ne obligă să revizuim tot ceea ce știm în Fizică, tot ceea ce implică gravitația, inclusiv ceea ce știm despre găurile negre.

Despre eforturile depuse pentru a complica traiectoria unui corp

Deși nu este ceva banal, cred că oricine va fi de acord că pentru a putea complica traiectoria unui corp este necesar să depunem un oarecare efort, deci este necesar să consumăm energie. Altfel spus, traiectoria unui corp nu se complică spontan, de una singură, de capul ei, ci numai cu un oarecare efort depus din exterior. Dacă lăsăm corpul liber, fără să consumăm energie cu complicarea traiectoriei sale, atunci corpul se va deplasa din inerție pe cea mai simplă traiectorie posibilă pentru el.  

Așadar, cred că suntem cu toții de acord că pentru a complica o traiectorie trebuie să consumăm energie. Ar fi interesant de văzut cam câtă energie se consumă pentru a complica o traiectorie. Dar pentru aceasta ar trebui să știm cum putem evalua numeric gradul de complicare a unei traiectorii. Este o problemă dificilă asupra căreia voi mai reveni cu altă ocazie, dar o idee despre rezolvarea ei puteți găsi deja pe acest blog, dacă veți căuta ce am scris despre teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet și elicea generalizată. 

Deci, un corp care se deplasează pe o traiectorie complicată ne transmite informația că el a primit suficientă energie pentru a se deplasa cu o asemenea traiectorie complicată. 

Am spus "a primit", dar de ce nu am spus "primește" din moment ce tendința inerțială  corpului este (mereu), așa cum spuneam mai sus, aceea de a se deplasa pe cea mai simplă traiectorie? Este oare posibil ca un corp să "împacheteze" energia primită la un moment dat și să o transporte cu el mai departe chiar și după ce a încetat să mai primească energie? 

Din fericire, răspunsul este pozitiv. Corpurile pot absorbi energia primită, o împachetează și o transportă astfel cu ele mai departe. Împachetând energia primită, corpul capătă o masă mai mare, devine mai masiv. 

Dar oare prin ce mecanism pot corpurile să împacheteze energia? Prin ce mecanism pot corpurile să ducă cu ele energie? Prin ce mecanism traiectoria corpurilor poate rămâne complicată chiar și departe de sursa care le-a furnizat energia necesară complicării traiectoriei? De ce în unele cazuri energia este împachetată, iar în alte cazuri nu?

Răspunsul este următorul: corpurile împachetează energia doar atunci când traiectoria lor se inchide, adică atunci când pentru un observator care se deplasează "împreună cu corpul" (este solidar cu centrul de simetrie al traiectoriei) traiectoria este închisă. De exemplu, știm că traiectoria unui corp care se deplasează pe un cerc este o traiectorie închisă, deoarece un observator care se află în repaus față de centrul cercului constată că acel corp revine periodic în același loc. 

Închiderea traiectoriei este echivalentă cu fenomenul numit "rezonanță".  Așa cum câmpul electromagnetic se transformă în undă electromagnetică la rezonanță, așa și corpurile ce se deplasează pe traiectorii închise împachetează energia și o transportă cu ele departe de sursa de energie. 

Dar pasul uriaș pe care l-a făcut Fizica elicoidală a fost acela de a postula că întreaga energie pe care o transportă un corp, deci întreaga sa masă, se regăsește în forma traiectoriei acelui corp, în gradul de complicare a traiectoriei sale. Altfel spus, masa unui corp nu este altceva decât o informație despre cât de complicată este traiectoria corpului respectiv.