Antimateria se mișcă pe elice cu torsiunea opusă celei pe care se mișcă materia

An nou minunat! Și la mulți ani!

Antimateria este un material microscopic. Ea este estompată de materie la nivel macroscopic. Mai precis, la nivel macroscopic, deosebirea dintre materie și antimaterie este insesizabilă. 

Aceasta deoarece materia este caracterizată de mișcare pe elice cu torsiunea negativă, iar antimateria este caracterizată de mișcare pe elice cu torsiunea pozitivă (și pentru fiecare dintre ele separat se aplică statistica Fermi-Dirac, iar pentru sisteme amestecate și puțin numeroase se aplică statistica Bose-Einstein). Atunci când sunt foarte multe particule de materie și antimaterie bine amestecate, torsiunea medie este nulă (caz în care se aplică statistica Maxwell-Boltzmann).

Dacă repausul este imposibil, atunci viteza nu trebuie să depindă de observator

Am argumentat deja de ce repausul este imposibil. Vă reamintesc mai detaliat acum aceste argumente și voi extrage concluzii mai clare din acestea. 

Repausul este imposibil

    Este o certitudine matematică faptul că valoarea curburii unei curbe are sens doar pentru curbe regulate, adică pentru curbe a căror „viteză” (primă derivată) este nenulă. În momentul în care viteza se anulează, curbura devine un non-sens, nemaiputând fi determinată. Așadar, curbura traiectoriei unui corp care se oprește din mișcare devine nedefinită.

    Datorită acestei ciudățenii a repausului, Fizica elicoidală postulează că repausul este imposibil, argumentând că natura nu face vreo risipă de informație în acest fel, adică nu permite nicicum trecerea de la curbură definită la curbură nedefinită. Nu există nici o motivație firească pentru care natura ar permite trecerea de la cognoscibilitatea unei mărimi fizice (curbura sau torsiunea traiectoriei) la incognoscibilitatea acesteia. 

Concluzii: viteza corpurilor este invariantă

    Atunci această imposibilitate a repausului trebuie să fie universală! Altfel spus, nici un observator din Univers nu trebuie să poată constata vreodată repaus, căci dacă ar exista măcar un observator pentru care un corp ar putea ajunge în repaus, atunci acest observator ar fi prin aceasta un observator privilegiat în Univers, statut care ar contraveni tuturor legilor universale ale naturii, de exemplu ar contraveni însăși definiției observatorului și universalității acestuia, compromițând legile care permit transferul corect de informație (despre curbură, în exemplul nostru) de la un observator la altul. 

    Iar dacă nici un observator din Univers nu trebuie să poată constata vreodată repaus, înseamnă că însăși valoarea vitezei tuturor corpurilor din Univers trebuie să fie independentă de observator. Căci, dacă viteza corpurilor ar depinde de observator, atunci am putea căuta și găsi un observator privilegiat față de care anumite corpuri să ajungă în repaus, ceea ce ar contraveni legilor naturii, așa cum am arătat.

    Astfel, dacă viteza corpurilor trebuie să aibă aceeași valoare față de orice observator, atunci această viteză n-ar putea fi alta decât tocmai viteza luminii în vid, fiind singura constantă universală cunoscută cu dimensiunile unei viteze. Astfel, putem spune acum că postulatul constanței vitezei luminii din teoria relativității a primit o demonstrație profundă.

Mai există o mărime fizică invariantă

    Desigur, dacă așa cum am văzut, repausul este imposibil din motive bine întemeiate, din aceleași motive bine întemeiate este imposibilă și mișcarea rectilinie, a cărei torsiune este nedefinită. Și cum imposibilitatea repausului implică universalitatea vitezei (deci a modulului primei derivate), tot astfel, imposibilitatea mișcării rectilinii mai trebuie să implice universalitatea unei alte mărimi fizice, a cărei identitate urmează să o stabilim prin cercetări ulterioare (probabil, o fi vorba despre modulul celei de-a doua derivate).

Răspunsul expertului

Pentru cei care mai cred că torsiunea dreptei ar fi nulă, am găsit un expert care arată calculul torsiunii dreptei. Observați cuvântul „undefined”. 

Aceasta ne spune că mișcarea rectilinie (sau repausul) nu poate exista în Fizică față de niciun observator din Univers. 

Așadar, transformările Lorentz trebuie modificate în așa fel încât să nu mai permită existența mișcării rectilinii sau a repausului. 

De asemenea, trebuie modificat principiul inerției. Corpurile libere nu se mai pot deplasa rectiliniu și nici nu mai pot ajunge în repaus.

Mișcarea rectilinie și repausul sunt imposibile

Curbura punctului este nedeterminată. Torsiunea dreptei este nedeterminată.

Dacă există un observator față de care curbura și torsiunea mișcării pot fi determinate, atunci acestea vor putea fi determinate pentru orice observator din Univers.

Astfel, mișcarea rectilinie și repausul sunt imposibile. Nu există vreun observator din Univers față de care un corp să se miște rectiliniu sau să fie în repaus.

Curbura complexă este inversul razei complexe

 Se știe că pentru o elice de rază a și pas b curbura ei este dată de formula $$\kappa=\frac{a}{a^2+b^2},$$ iar torsiunea este $$\tau=-\frac{b}{a^2+b^2}.$$

Nu știu dacă a mai observat cineva, dar dacă considerăm că raza și pasul elicei constituie un număr complex, atunci curbura și torsiunea pot constitui TOCMAI INVERSUL acestui număr complex. 

Altfel spus, dacă admitem că există un număr complex $$r=a+b\textbf{i},$$ unde a și b sunt raza și pasul elicei (număr pe care l-am putea numi „raza complexă”), atunci numărul complex $$\lambda=\kappa+\tau\textbf{i}$$ format cu curbura și torsiunea elicei (număr pe care l-am putea numi „curbura complexă”) este tocmai inversul lui r, adică $$\lambda=\frac 1 r.$$

În engleză.

Curbura este egală cu torsiunea

Recent, studiind cu Maxima graficele variațiilor curburii și ale torsiunii am avut o revelație crucială în Fizica elicoidală, care îmi clarifică multe aspecte ce nu se lăsau încă înțelese. Mai exact, am descoperit că un corp liber se mișcă, nu doar pe o elice circulară obișnuită, ci pe o elice care are ceva mai special în ea și anume curbura ei este egală cu torsiunea în valoare absolută.

Dar să vă spun mai exact despre ce este vorba. Să luăm un exemplu mai simplu, pentru început. Cred că puteți fi de acord cu faptul că un corp care este constrâns cumva să se miște pe un cerc va avea energie (potențială) mai mare decât același corp lăsat în pace care nu este constrâns să se miște pe cerc. Deci, cu cât curbura cercului va fi mai mare (raza cercului mai mică), cu atât corpul deține mai multă energie potențială. Dar și reciproc, cu cât corpul deține (pentru că este constrâns să dețină) mai multă energie potențială, cu atât cercul pe care a fost constrâns să se deplaseze va avea o curbură mai mare. Așadar, trecerea de la un cerc de curbură mică la un cerc de curbură mai mare se realizează cu lucru mecanic efectuat asupra corpului și absorbție de energie, iar trecerea inversă de la rază mică la rază mare are loc cu degajare de energie și efectuare de lucru mecanic asupra mediului înconjurător. 

Ei bine, așa cum am mai scris de multe ori pe blog, acest raționament este înglobat într-un postulat îndrăzneț al Fizicii elicoidale, postulat care, implicând constanta lui Planck, concretizează cantitativ relația dintre energia potențială a unui corp și forma traiectoriei sale. Este îndrăzneț deoarece afirmă că întreaga masă a unui corp se datorează numai și numai formei traiectoriei sale, ori aceasta este o noutate absolută în Fizică. 

Relația de care vorbesc și pe care am mai prezentat-o, dar mai brutal, mai neintuitiv, mai lipsită de context decât acum, recunosc, este $$m=\frac{\hbar}{c}\sqrt{\kappa^2+\tau^2}.$$

Această relație ne spune că cu cât curbura $\kappa$ și torsiunea $\tau$ a traiectoriei pe care se deplasează un corp sunt mai mari, cu atât corpul va fi mai masiv, mai energic, respectiv, cu cât corpul este mai ușor, cu atât se deplasează pe traiectorii mai simple. 

Sper ca măcar acum să vedeți această relație cu alți ochi, mai limpezi. Ea ne mai spune printre altele că curbura și torsiunea însele au inerție, adică nu le place să fie schimbate ușor, mai ales atunci când ele sunt mari.

Acum, dacă exemplul cu cercul, o curbă plană, deci cu torsiunea nulă, a fost dat doar în spirit didactic, pentru ca tinerii mei cititori să înțeleagă începutul relației dintre energia unui corp și forma traiectoriei sale, voi reveni la curba cea mai completă, care nu are doar curbură nenulă (precum are cercul), ci are și torsiune nenulă și, mai mult de-atât, este și cea mai simplă curbă cu aceste proprietăți: elicea.

Ei bine, atunci un corp liber care duce totuși cu el energie (caz în care corpul nu este absolut liber din moment ce este constrâns să transporte energie) se va mișca pe o elice a cărei formă ne vorbește despre câtă energie duce corpul respectiv.

Astfel, dacă i-am pus acelui corp în cârcă un sac cu energie, el se va deplasa la nesfârșit, bietul, de unul singur, prin Univers, pe o elice perfect circulară și nederanjată de nimic, a căror curbură și torsiune vor depinde de câtă energie l-am obligat pe bietul corp să ducă cu el. Mișcarea trebuie să fie în echilibru stabil.

Dar, de aici încolo lucrurile devin și mai interesante pentru că ne putem pune problema privind alegerea concretă pe care o va face corpul în ceea ce privește curbura și torsiunea elicei pe care să se deplaseze. Dilema corpului este dacă să se deplaseze pe o elice cu curbura mare și torsiunea mică sau pe o elice cu curbura mică și torsiunea mare. Relația dată mai sus $m=\frac{\hbar}{c}\sqrt{\kappa^2+\tau^2}$ ne permite libertatea să alegem ce curbură dorim și ce torsiune dorim, cu condiția ca suma pătratelor lor să fie aceeași. 

Așadar, când se obține echilibrul stabil? Ce curbură va alege corpul în mișcarea sa? Va alege oare corpul să se deplaseze pe un cerc, dând astfel toată energia sa curburii și neglijând torsiunea? Ar fi o asemenea mișcare în echilibru stabil? Nu s-ar supăra oare torsiunea în acest caz? Eu, dacă aș fi torsiune, în acest caz, m-aș revolta și i-aș reproșa corpului că favorizează curbura, deși curbura n-ar trebui să fie cu nimic mai presus decât mine. Așadar, corpul ar trebui să decidă corect între a împăca și capra și varza, fără ca acestea să se mai certe vreodată în infinitatea de timp în care corpul trebuie să-și ducă crucea. 

În absența matematicii, ar trebui să ne mulțumim cu un astfel de raționament filozofic, raționament care ne duce la concluzia că dilema corpului se rezolvă prin mișcarea sa pe o elice având curbura egală cu torsiunea. Din fericire, matematica vine să întărească acest raționament filozofic. Și să vedem cum. 

Se știe că curbura elicei este dată de formula $$\kappa=\frac{a}{a^2+b^2},$$ iar torsiunea este $$\tau=-\frac{b}{a^2+b^2}.$$

Iată și graficele, realizate cu Maxima, care exprimă curbura în funcție de raza elicei (la un anumit pas).

Curba albastră exprimă cum variază curbura când pasul este 3, curba roșie arată cum variază curbura când pasul este 4, iar curba verde arată cum variază curbura când pasul este 5.

Și mai jos aveți graficul torsiunii, în aceleași culori ca și în cazul curburii.

Pentru a înțelege profunzimea informației transmise de aceste grafice, vom face niște calcule.

Derivând curbura în funcție de raza a și presupunând că pasul b rămâne constant, $$\dot\kappa=\frac{\dot a(a^2+b^2)-2a\dot a}{(a^2+b^2)^2},$$

deci obținem minunea asta de formulă: $$\large{\dot\kappa=\frac{b^2-a^2}{(a^2+b^2)^2}\dot a}$$

Ei bine, știți ce ne spune această minune de formulă? Că variația curburii este mai mititică atunci când numărătorul fracției de mai sus este mititel, adică atunci când diferența $b^2-a^2$ este cât de mică se poate, adică atunci când curbura este egală cu torsiunea în valoare absolută. 

Și cum interpretăm atunci această formulă? Astfel: corpurile se deplasează mai liniștit, în echilibru mai stabil, atunci când curbura traiectoriei lor este egală cu torsiunea sau cu minus torsiunea, pentru că atunci variația curburii este mai mică. Corpurilor libere nu le plac variațiile, nu le place să fie deranjate, așa că vor evita variațiile, deci vor căuta să se deplaseze pe o asemenea traiectorie încât curbura să fie egală cu torsiunea.

Observați și pe grafic. Pe măsură ce raza elicei crește, crește și curbura, crește și torsiunea. Torsiunea crește pentru că este negativă, dar valoarea ei absolută scade, de fapt, elicea apropiindu-se de o curbă din ce în ce mai plană. 

Însă, observați vârful graficului curburii. Pe măsură ce raza elicei crește, curbura crește și ea până când ajunge la un vârf în care variația ei dispare. Aici se obține valoarea maximă a curburii. Curbura este maximă și nu mai variază când raza elicei este egală cu pasul acesteia. Aici se obține acel mult dorit echilibru stabil al corpului, în care nu mai există variații ale energiei.

Dincolo de acest vârf curbura elicei începe să scadă pe măsură ce crește raza elicei, întocmai cum scade curbura cercului pe măsură ce crește raza lui. Deci, dincolo de acest vârf, elicea începe să devină din ce în ce mai asemănătoare cu un cerc. De asemenea, aproape de vârf variațiile curburii sunt insesizabile, chiar dacă variațiile razei ar fi mari, deci în vecinătatea vârfului stabilitatea este asigurată. 

Mai mult, în lumina acestor considerații, se poate spune că, așa cum există condensatoare electrice care pot îngloba cât mai multă energie electrică într-o anumită formă, tot astfel, elicea însăși este și ea un „condensator” de energie care „înghite” mai multă energie atunci când curbura este mai apropiată de torsiune în valoare absolută. Astfel, corpurile în care s-a pompat energie și care au fost obligate să conțină cât mai multă energie, vor face cumva să se miște pe o elice având raza cât mai apropiată de pas. Dacă vom micșora raza elicei, energia corpului va fi din ce în ce mai mare, dar numai dacă nu micșorăm prea mult raza elicei. Căci dacă micșorăm raza mai mult decât pasul, atunci curbura începe să scadă, iar capacitatea energetică a elicei scade și ea.

Iar de aici se deschide o nouă lume pentru noua Fizică. Țineți aproape! Cu pandemia asta am și eu, în sfârșit, timp să sap mai adânc în această Fizică elicoidală. Voi veni cu noutăți. Am de gând să vă mai vorbesc despre asemănarea acestor grafice cu acelea ale radiației corpului negru, despre interpretarea „clasică” a efectului fotoelectric, am de gând să vă vorbesc despre rezonanța orbitală a sateliților lui Jupiter, coroborat cu mișcarea electronilor în atom, despre legea Titius-Bode, despre salturi cuantice, despre unda asociată particulelor, despre lichefierea gazelor, despre dezechilibrul dintre materie și antimaterie (antimateria are torsiunea pozitivă), despre turbulență, despre adevărata lege a gravitației, toate în contextul acesta fundamental determinat de mișcarea corpurilor pe elice circulare. 

Am de gând să vă arăt că, pornind de la aceste premize fundamentale prezentate în articol, această Fizică nouă face legătura mult visată între Fizica corpurilor macroscopice (teoria gravitației) și Fizica corpurilor microscopice (Fizica cuantică), prima aflându-se acolo unde raza de curbură a elicei este foarte mare (în dreapta vârfului), iar a doua acolo unde raza este foarte mică (în stânga vârfului).

Nu ezitați să comentați, să întrebați, să adăugați, să criticați. Și nu ezitați să dați de veste, distribuind articolul, dacă v-a pus pe gânduri. Mulțumesc!

Care ar fi consecințele negării principiului actual al inerției?

Se știe că de la Galilei încoace nu s-a schimbat nimic în ceea ce privește principiul inerției. În toată Fizica actuală, acest principiu rămâne o piatră de temelie. Conform acestuia, corpurile libere se mișcă rectiliniu uniform sau stau pe loc.

Cum ar arăta o Fizică în care acest principiu ar suna altfel? Măcar un pic altfel... Și cum s-ar putea modifica acesta?

Care ar fi consecințele presupunerii că toate centrele de masă ale corpurilor din Univers se deplasează cu aceeași viteză și pe o traiectorie cu aceeași torsiune? Ar apărea vreo contradicție cu experiența?

Information paradox of the rectilinear motion and the rest state

Despre paradoxul informațional al mișcării rectilinii și al repausului, în română:




About the information paradox of the rectilinear motion and the rest state, in English:

Distincția dintre viteza reală și viteza aparentă

Imaginați-vă un corp care se deplasează pe o elice circulară, adică, un corp ce descrie simultan un cerc și o dreaptă (traiectoria albastră din figura de mai jos). Un corp care se mișcă pe o elice circulară se mișcă de fapt pe suprafața unui cilindru de o anumită rază.

Viteza reală a corpului este exprimată prin săgeata roșie, oblică, tangentă mereu la traiectorie, dar săgeata neagră exprimă viteza aparentă.

Vreau să vorbim puțin și despre această viteză aparentă, oarecum neglijată în Fizica actuală. În desenul de mai sus, distincția dintre viteza reală și cea aparentă este ușor de realizat, deoarece se vede clar că traiectoria albastră diferă de o dreaptă. 

Observați că săgeata neagră este întotdeauna mai mică decât săgeata roșie sau cel mult egală cu ea, adică viteza aparentă este mereu mai mică decât cea reală sau cel mult egală cu ea, niciodată mai mare. Cele două viteze pot fi eventual egale doar în cazul în care corpul s-ar deplasa rectiliniu, dar în general mișcarea nu este rectilinie.

Există și o relație cantitativă între modulul celor două viteze, exprimată prin 
$$v=c\cos\alpha, $$
unde $c$ este modulul vitezei reale, $v$ este modulul vitezei aparente, iar $\alpha$ este unghiul dintre cele două viteze, unghi care, la rândul său, se obține din raportul dintre curbura traiectoriei și torsiunea acesteia sau dintre raza cilindrului și generatoarea sa. 

Dar, imaginați-vă acum că acel corp s-ar mișca pe un cilindru de rază mult mai mică, precum cel din desenul de mai jos

și pe o traiectorie cu mult mai multe spire, traiectorie mult mai „densă”, cu torsiunea mică, deci cu pași mai mici, mai mărunți.

E clar că în această situație, deosebirea dintre viteza reală și viteza aparentă este mult mai greu de realizat. Ba, mai mult, dacă privim această mișcare de la o distanță foarte mare, atunci singura viteză pe care o mai putem constata cu ajutorul mijloacelor noastre de observație este viteza aparentă, adică un fel de viteză medie a corpului.

Așadar, EXISTĂ în Fizică și noțiunea de „viteză aparentă” și este important să știm care este deosebirea dintre cele două viteze și să nu le confundăm. De asemenea, este necesar să acordăm și acestei viteze atenția cuvenită. 

În acest context, dați-mi voie să pun câteva întrebări. Oare de câte ori sunt confundate viteza aparentă cu viteza reală în Fizica actuală? De câte ori credem că viteza reală a unui corp este de fapt viteza lui aparentă? Oare vitezele măsurate ale corpurilor din Sistemul Solar, viteze așezate cu grijă în tabelele specifice, nu sunt de fapt doar viteze aparente, înșelătoare, care ne determină să tragem concluzii greșite privind mișcarea corpurilor în Sistemul Solar și chiar în Galaxie? Nu cumva deosebirea dintre legea vitezelor în Sistemul Solar și a celor de la periferia galaxiilor se datorează de fapt tocmai deosebirii dintre viteza reală și cea aparentă și nu unei presupuse materii întunecate? Nu cumva vitezele stelelor de la periferia galaxiilor sunt mai mari pentru că sunt mai apropiate de viteza reală a stelelor (unghiul $\alpha$ este mai mic pentru stele) decât pentru corpurile din Sistemul Solar? Nu cumva viteza reală a tuturor corpurilor din Univers este una și aceeași și doar vitezele aparente ale acestora diferă?

Încă nu cunosc răspunsul la aceste întrebări, dar mă preocupă. Voi ce spuneți?

Torsiunea totală și dimensiunile

Din cele spuse în articolul precedent, rezultă că torsiunea totală a unei elice este ${\tau_2=\sqrt{\tau^2+\kappa^2}}$.

Și mai rezultă că torsiunea totală a unei curbe de precesie constantă (elice în jurul altei elice, adică elice de ordinul doi) este $\tau_3=\sqrt{\tau_2^2+\kappa_2^2}$.

Acum, dacă înlocuim pe $\tau_2$ cu $\sqrt{\tau^2+\kappa^2}$, deci pe $\tau_2^2$ cu $\tau^2+\kappa^2$, atunci obținem

$$\tau_3=\sqrt{\tau_2^2+\kappa_2^2}=\sqrt{\tau^2+\kappa^2+\kappa_2^2}.$$

Desigur, am avea și $\tau_4=\sqrt{\tau_3^2+\kappa_3^2}=\sqrt{\tau^2+\kappa^2+\kappa_2^2+\kappa_3^2}$

sau și

$$\tau_5=\sqrt{\tau_4^2+\kappa_4^2}=\sqrt{\tau^2+\kappa^2+\kappa_2^2+\kappa_3^2+\kappa_4^2}$$.

Dar radicalul acela ne sugerează că ar fi vorba de modulul unui vector într-un spațiu cu mai multe dimensiuni, în funcție de câte curburi avem. Deci, ar cam trebui meditat și la asemenea chestii interesante.

Torsiunea totală

În Fizica elicoidală nu există altceva decât (o mulțime numărabilă de) centre de masă care se deplasează cu viteza luminii în vid.

Masa asociată acestor centre de masă este proporțională cu torsiunea totală. Torsiunea totală este o noțiune nouă pe care o vom defini aici.

Dacă traiectoria este o elice de curbură $\kappa$ și torsiune $\tau$, atunci torsiunea totală a acestei traiectorii este $\tau_2=\sqrt{\kappa^2+\tau^2}$.

Dacă traiectoria este o curbă de precesie constantă (elice în jurul altei elice sau, echivalent, elice de ordinul doi), atunci torsiunea totală este $\tau_3=\sqrt{\kappa_2^2+\tau_2^2}$, unde $\kappa_2=\frac{\kappa'\tau-\kappa\tau'}{\kappa^2+\tau^2}$, derivarea făcându-se în raport cu parametrul canonic. Cum centrul de masă se mișcă cu viteza luminii în vid, derivarea în raport cu parametrul canonic este echivalentă cu derivarea în raport cu timpul propriu al centrului de masă.

Observăm că curbura de ordinul doi definită mai sus poate fi scrisă mai simplu în funcție de parametrul $l=\frac{\kappa}{\tau}$, numit „lancretian”. În funcție de lancretian și derivata acestuia, curbura de ordinul doi poate fi scrisă ca $$\kappa_2=\frac{l'}{1+l^2}.$$

Prin recurență, se poate defini astfel torsiunea de ordin superior. Acest ordin crește atât timp cât lancretianul are derivata nenulă. În momentul în care un lancretian are derivata nulă, curbura de ordinul respectiv se anulează și ea, astfel încât nu mai contribuie la creșterea torsiunii. Prin urmare, torsiunea de orice ordin superior devine egală cu torsiunea maximă. Această torsiune maximă este torsiunea totală pe care am definit-o aici. Notăm această torsiune totală cu $\tau_{tot}$.

Astfel, masa centrului de masă care se deplasează pe o anumită traiectorie este dată de $m=\frac{\hbar}{c}\tau_{tot}$, unde constantele ce apar în formulă sunt cele binecunoscute (constanta lui Planck barată și viteza luminii în vid).

Helical impulse and Darboux vector

A corollary of the theorem of recurrence

Nature does not make undeterminations

Nature does not make undeterminations

Nature is a logically coherent system, without internal contradictions and without undeterminations. In nature there is no dilemmas. Nature does not need to choose between possible solutions. Therefore, if would however be as nature to choose between two possibilities, one involving a determination and one that does not involve such a determination, would certainly choose the last one, because nature prefers determinism, prefer uniqueness of solutions. If we do not know something about what happens in nature, then that ignorance due to us, those who want to understand the nature, not to nature. If we think that something is indeterminate in nature, then we have some gaps in her understanding.

Therefore, if for the movement of a body from one point to another nature might choose between two paths, one that involves a determination and one that does not involve determination, surely that nature would choose the one that does not involve indeterminacy.

Let us analyze now from the people's point of view which would be the variants that nature has available to choose the path between two points. From Galileo onwards we have the temptation to believe that all free bodies moving rectilinearly. In other words, we believe that all free bodies moving on the shortest path possible, namely on a straight line.

But, from Frenet onwards we know that the straight line contains a nasty undetermination: we can not establish hers Frenet trihedral! We can not establish hers torsion! We only know that the straight line has zero curvature, but we do not know what torsion has. Namely, in the infinite multitude of curves for which the Frenet trihedral and, implicitly, the torsion, are well determined, the straight line is a strange curve which not only has zero curvature, but we can not even determine hers torsion. So, the right has two unnatural oddities: not only we can not determine hers torsion, but also has just zero curvature. But, Frenet has taught us that torsion and curvature are universal and intrinsic parameters for curves, generally. Curvature and torsion determines unequivocally the shape of a curve, and this result is so important, that he is the essence of the fundamental theorem of the theory of curves in differential geometry.

So why should we believe that nature would choose to base all movements a curve about whose torsion we can know nothing and whose curvature is zero? Why delude ourselves us with the impression that nature would choose a curve about whose shape we can not pronounce? Why not we search another possibility, one that take into account the universality of curvature and torsion, the pithiness of these two very important parameters, the determinism that must characterize the nature?

Then another possibility would be to eliminate from our thoughts all indeterminations and shift to the study of path between two points which contains no determination. What would be this path? Well, first of all, respective path should have, as we have seen, both curvature and torsion, both to be well determined. Secondly, the path to be the most simple possible. In other words, the curvature and torsion to have the slightest variations, namely to be constant. The only path that satisfies these conditions is a circular helix. The simplest possible curve is the circular helix.

So, if nature would be forced to choose between a strange curve, without curvature and with the torsion undetermined, and a simple curve with the constant torsion and constant curvature, then surely she would pick the latter. Therefore, in the motion of a free body between two points, nature will choose to carry the body on the easiest possible path well determined: a circular helix.

Natura nu face nedeterminări

Natura este un sistem logic coerent, fără contradicţii interne şi fără nedeterminări. În natură nu există dileme. Natura nu are nevoie de alegeri între mai multe soluţii posibile. Prin urmare, dacă ar fi totuşi ca natura să aleagă între două posibilităţi, una care implică o nedeterminare şi alta care nu implică o asemenea nedeterminare, în mod sigur ar alege-o pe ultima, pentru că natura preferă determinismul, preferă unicitatea soluţiilor. Dacă nu ştim ceva despre ce se petrece în natură, atunci acea neştiinţă ni se datorează nouă, celor care vor să înţeleagă natura, nu naturii. Dacă avem impresia că ceva este nedeterminat în natură, atunci avem nişte lacune în înţelegerea ei.

Prin urmare, dacă pentru mişcarea unui corp de la un punct la altul natura ar putea alege între două drumuri, unul care implică o nedeterminare şi altul care nu implică nedeterminare, în mod sigur că natura l-ar alege pe cel care nu implică nedeterminarea.

Să analizăm acum din punctul oamenilor de vedere care ar fi variantele pe care le are natura la dispoziţie pentru a alege drumul dintre două puncte. De la Galilei încoace avem tentaţia să credem că toate corpurile libere se deplasează rectiliniu. Altfel spus, credem că toate corpurile libere se deplasează pe cel mai scurt drum posibil, adică pe o dreaptă.

Dar, de la Frenet încoace noi ştim că dreapta conţine o nedeterminare urâtă: nu-i putem stabili triedrul lui Frenet! Nu-i putem stabili torsiunea! Ştim doar că dreapta are curbura nulă, dar nu ştim ce torsiune are. Adică, în noianul infinit de curbe pentru care triedrul lui Frenet şi, implicit, torsiunea, sunt bine determinate, dreapta este o curbă ciudată care nu doar că are curbura nulă, dar nici măcar nu-i putem determina torsiunea. Deci, dreapta are două ciudăţenii nenaturale: nu numai că nu-i putem determina torsiunea, dar are şi curbură tocmai nulă. Ori, Frenet ne-a învăţat că torsiunea şi curbura sunt parametri universali şi intrinseci pentru curbe în general. Curbura şi torsiunea determină fără echivoc forma unei curbe, iar acest rezultat este atât de important, încât el constituie esenţa teoremei fundamentale a teoriei curbelor în geometria diferenţială.

Şi atunci de ce să credem că natura ar alege să pună la baza tuturor mişcărilor o curbă despre a cărei torsiune nu putem şti nimic şi a cărei curbură este nulă? De ce să ne mai amăgim cu impresia că natura ar alege o curbă despre a cărei formă nu ne putem pronunţa? De ce să nu căutăm altă posibilitate, una care să ţină seama de universalitatea curburii şi a torsiunii, de pregnanţa acestor doi parametri extrem de importanţi, de determinismul ce trebuie să caracterizeze natura?

Atunci altă posibilitate ar fi să eliminăm din gândurile noastre toate nedeterminările şi să ne orientăm spre studiul unui drum între două puncte care nu ar conţine nicio nedeterminare. Care ar fi acest drum? Păi, în primul rând, drumul respectiv ar trebui să aibă, după cum am văzut, şi curbură şi torsiune, ambele să fie bine determinate. În al doilea rând, drumul să fie cel mai simplu posibil. Altfel spus, curbura şi torsiunea să aibă cele mai mici variaţii, adică să fie constante. Singurul drum care îndeplineşte aceste condiţii este elicea circulară. Cea mai simplă curbă posibilă este elicea circulară.

Aşadar, dacă natura ar fi obligată să aleagă între o curbă ciudată, fără curbură şi cu torsiunea nedeterminată şi o curbă simplă cu torsiunea şi curbura constante, în mod sigur ar alege-o pe acesta din urmă. De aceea, în mişcarea unui corp liber între două puncte natura va alege să transporte corpul pe cel mai simplu drum bine determinat şi posibil: o elice circulară.

The helix is the simplest curve in space! Not the straight line!

The helix is the simplest curve in space! Not the straight line!

Talking at the Scientia forum about the helical model of gases, I realized today which is the problem with the understanding of the Helical Physics. It seems that our whole current Physics is created on the preconception that the simplest curve in space is the straight line. Probably, this preconception was us inoculated from Galileo onwards, whose rudimentary experiments have revealed some straightness of the trajectories. But Galileo had no idea about the Frenet formulas and their consequences, formulas that were discovered long after his death. So we can not impute to this great physicist other than that it succeeded to instill for centuries in the minds of his followers a certain divinization of the straight line.

I believe, however, that time has come for things to change. The time has come that after so many years of the Frenet discoveries to give to the helix which it deserves. It's time to deeply understand that not the straight line is the curve preferred by nature, but helix! Those who know little differential geometry know that the circular helix is the simplest curve in space, being the only curve with constant torsion and curvature.

Here are some references that confirm this:

http://ci.nii.ac.jp/naid/110008690106

„A helix is the most simple curve in the sense that it has constant curvature and torsion.”

http://talks.cam.ac.uk/talk/index/31919

„The simplest possible self-assembled structure is a uniform helix, or spiral: repeated addition of identical building-blocks in a regular pattern make a uniform helix, which is the simplest space-curve.”

http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/visbook/ogawa/index.html

„A circular helix is the simplest essentially three-dimensional curve”

Also do ye searches. And think about what you lose believing that the straight line is the God of movements.

Elicea este cea mai simplă curbă din spaţiu! Nu dreapta!

Discutând pe forumul Scientia despre modelul elicoidal al gazelor, azi mi-am dat seama care este problema cu înţelegerea Fizicii elicoidale. Se pare că întreaga noastră Fizică actuală este creată pe prejudecata că cea mai simplă curbă din spaţiu este dreapta. Probabil, această prejudecată ne-a fost inoculată de la Galilei încoace, ale cărui experimente rudimentare au relevat o oarecare rectiliniaritate a traiectoriilor. Însă Galilei habar nu avea de formulele lui Frenet şi de consecinţele lor, formule care au fost descoperite mult după moartea sa. Deci nu-i putem imputa marelui fizician altceva decât că a reuşit să planteze pentru secole în mintea urmaşilor săi o oarecare divinizare a dreptei.

Consider însă că a venit vremea ca lucrurile să se schimbe. A venit vremea ca după atâţia ani de la descoperirile lui Frenet să-i dăm elicei ceea ce cuvine. A venit vremea să înţelegem profund că nu dreapta este curba pe care o preferă natura, ci elicea! Cei care cunosc puţină geometrie diferenţială ştiu că elicea circulară este cea mai simplă curbă din spaţiu, fiind singura curbă cu torsiunea şi curbura constante.

Iată câteva trimiteri care confirmă aceasta:

http://ci.nii.ac.jp/naid/110008690106

„A helix is the most simple curve in the sense that it has constant curvature and torsion.”

Traducere: „O elice este cea mai simplă curbă, în sensul că ea are curbura şi torsiunea constante.”

http://talks.cam.ac.uk/talk/index/31919

„The simplest possible self-assembled structure is a uniform helix, or spiral: repeated addition of identical building-blocks in a regular pattern make a uniform helix, which is the simplest space-curve.”

Traducere: „Cea mai simplă structură naturală este elicea circulară, sau spirala: adăugarea repetată a cărămizilor identice într-un model regulat duce la o elice circulară, care este cea mai simplă curbă din spaţiu.”

http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/visbook/ogawa/index.html

„A circular helix is the simplest essentially three-dimensional curve”

Traducere: „O elice circulară este cea mai simplă curbă fundamentală din spaţiul tridimensional.”

Mai căutaţi şi voi. Şi gândiţi-vă ce pierdeţi crezând că dreapta e dumnezeul mişcărilor.

Alte legi de mişcare a planetelor

Legile lui Kepler presupun că planetele se mișcă pe traiectorii plane, lucru extraordinar de improbabil și împotriva tuturor rezultatelor matematice fundamentale din teoria curbelor care spun că, alături de curbură, traiectoriile mai trebuie să aibă un parametru indispensabil, numit „torsiune”. Din acest motiv, consider că este necesar să formulăm cu totul alte legi de mișcare a planetelor, izvorâte numai și numai din considerente matematice imbatabile. Am convingerea fermă că matematica nu poate fi contrazisă de niciun experiment, de nicio observaţie. În consecinţă, am şi convingerea că planetele nu se mișcă pe curbe plane, ci pe curbe strâmbe, cu torsiune nenulă. În spiritul acestor convingeri vă voi arăta cum pot fi modificate legile lui Kepler astfel încât acestea să nu fie în contradicţie cu necesitatea firească a existenţei torsiunii, aşa cum rezultă în teoria curbelor din geometria diferenţială.

Înainte de a formula aceste legi de mișcare, este necesar să inițiem cititorul în ceea ce am numit „viteză volumică”. Pentru a înțelege mai ușor această noțiune, vom rememora modul în care a fost definită noțiunea de „viteză areolară”. Astfel, știm că viteza areolară este aria pe care o descrie vectorul de poziție în unitatea de timp. Prin analogie, viteza volumică este volumul pe care îl descrie vectorul de poziție în unitatea de timp.

Mai precis, pentru a determina aria măturată de vectorul de poziție în unitatea de timp am fixat un punct de referință O undeva în spațiu și am ales un punct fix A pe traiectorie. Astfel s-a format un segment de referință, segmentul fix OA. Acum se poate defini un triunghi instantaneu format de punctele fixe O, A și un al treilea punct oarecare variabil X de pe traiectorie la un moment dat. Cele trei puncte formează triunghiul instantaneu OAX a cărui arie ne poate furniza viteza areolară în punctul X, ca fiind derivata în raport cu timpul a ariei triunghiului OAX.

În mod analog, pentru a stabili viteza volumică mai alegem un punct fix B pe traiectorie, pe lângă punctele O şi A. Astfel s-a format un triunghi de referință, triunghiul fix OAB. Acum se poate defini un tetraedru instantaneu format de punctele fixe O, A, B și un al patrulea punct oarecare variabil X la un moment dat. Tetraedrul astfel format va fi OABX, iar volumul său ne poate furniza viteza volumică în punctul X, ca fiind derivata în raport cu timpul a volumului tetraedrului OABX.

Acum putem formula legile propriu-zise:

-1). Planetele descriu elice închise, astfel încât centrul de masă al Sistemului Solar se găseşte pe axa comună a elicelor planetelor.
-2). Viteza volumică a fiecărei planete este constantă.

Legea a treia nu ştiu cum ar trebui adaptată noii teorii, aşa că studiul ei rămâne pe viitor.

Ce părere aveţi, putem construi o nouă teorie a gravitaţiei, pornind de la aceste considerente matematice? O fi ea în acord cu datele experimentale?

Despre primele patru puncte ale traiectoriei unui mobil

Frământat fiind încă de o problemă lansată de omuldinluna pe forumul pentru cercetare (problemă pe care, din păcate, am catalogat-o drept banală), am deschis un drum pentru înţelegerea mai profundă a ceea ce înseamnă o traiectorie, drum pe care îl aduc şi pe blog.

Pentru a determina pe cale experimentală traiectoria unui mobil suntem nevoiţi să facem măsurători ale poziţiilor succesive pe care le ocupă de-a lungul timpului acel mobil în mişcarea sa prin spaţiu. 

Dacă vom determina un singur punct P0 al traiectoriei, aceasta va rămâne totuşi nedeterminată, deşi vom avea o informaţie suplimentară preţioasă prin care am eliminat o groază de îndoieli. Mai exact, având determinat un punct, putem şti deja măcar pe unde trece traiectoria, chiar dacă prin acel punct pot trece o infinitate de alte traiectorii.

Dacă vom mai găsi un punct P1 în care se află mobilul la un moment ulterior, vom fi în situaţia în care cunoaştem deja două puncte distincte ale traiectoriei mobilului. În această situaţie am mai eliminat una dintre nedeterminările noastre privind traiectoria mobilului (nedeterminări în număr infinit). Mai exact, în porţiunea în care am găsit cele două puncte, traiectoria poate fi aproximată cu dreapta unică ce trece prin acele două puncte, dreapta P0P1. Aşadar, cunoscând două puncte distincte ale traiectoriei, cunoaştem dreapta pe care se deplasează mobilul în acea regiune şi chiar şi viteza (medie) cu care se deplasează. Dacă cele două puncte determinate la momente diferite de timp coincid, atunci putem trage concluzia că viteza mobilului este nulă.

Dar, desigur, două puncte nu vor fi suficiente pentru a putea decide care este forma traiectoriei într-o anumită porţiune a ei. Aceasta deoarece între cele două puncte mobilul se poate deplasa într-o infinitate de moduri, pe o infinitate de drumuri ce trec prin acele două puncte. Aşadar, vom purcede la determinarea a încă unui punct ulterior P2 al traiectoriei. Fiind acum în posesia a trei puncte distincte, precizia cu care am determinat traiectoria a crescut. Acum avem nu doar o singură dreaptă ce aproximează traiectoria (dreapta P0P1), ci chiar două asemenea drepte, P0P1 şi P0P2. Dacă cele două drepte sunt distincte (caz în care cele trei puncte P0, P1 şi P2 sunt necoliniare), atunci cunoaştem deja chiar şi planul în care se află traiectoria în acea regiune. Mai exact, cum prin trei puncte distincte trece un unic cerc, dacă cunoaştem trei puncte distincte şi necoliniare ale traiectoriei, atunci traiectoria poate fi aproximată cu cercul unic care trece prin cele trei puncte. Acest cerc are o anumită curbură, deci putem spune că trei puncte distincte ale traiectoriei ne furnizează deja nu doar viteza (cum ne furnizau primele două puncte), ci chiar şi curbura traiectoriei. Dacă cele două drepte determinate la momente diferite de timp coincid, atunci putem trage concluzia că curbura traiectoriei mobilului este nulă.

Evident, nici trei puncte nu vor fi suficiente pentru a ne putea elimina complet orice îndoială privind traiectoria mobilului. Aşadar, determinarea celui de-al patrulea punct P3 nu poate fi decât binevenită. Dar să vedem ce informaţie suplimentară ne aduce acest al patrulea punct. În primul rând, vom presupune că (aşa cum se întâmplă în general) al patrulea punct nu se află în planul primelor trei puncte. Altfel spus, punctele P0, P1, P2 şi P3 sunt necoplanare. În acest caz, cercurile unice P0P1P2 şi P0P1P3 determinate de primele trei puncte şi de primele două cu al patrulea vor fi necoplanare. Din acest motiv, dreptele perpendiculare pe planele celor două cercuri vor face un unghi nenul. Dar acest unghi nenul este tocmai unghiul dintre binormalele la traiectorie. Ori, acest unghi ne dă tocmai torsiunea traiectoriei. Dacă cele două cercuri determinate la momente diferite de timp coincid, atunci putem trage concluzia că torsiunea traiectoriei mobilului este nulă. Dar atunci cu ce poate fi aproximată traiectoria când cunoaştem patru puncte distincte necoplanare (deci şi neconciclice) ale ei?

Înainte de a trece mai departe, voi aştepta o vreme răspunsul la această ultimă întrebare, pentru a mă asigura că s-a înţeles până aici demersul meu. Căci mai încolo am să vă duc pe un tărâm complet nou şi virgin pe care n-a mai călcat nimeni până în prezent: tărâmul de după cele patru puncte, văzut ca o continuare a raţionamentelor anterioare.

O altă formulare a principiului elicoidal al inerţiei

Datorită faptului că formularea anterioară a principiului elicoidal al inerţiei dată prin "orice corp liber se deplasează pe o elice circulară" nu a permis aprofundarea acestuia de către comunitate, încerc acum o altă formulare, despre care sper că va fi mai intuitivă.

Înainte de formularea propriu-zisă, aş dori să amintesc cititorului câteva elemente din geometria diferenţială a curbelor. În geometria diferenţială a curbelor se demonstrează că în fiecare punct al unei curbe obişnuite există doi parametri foarte importanţi, numiţi "curbură" şi, respectiv, "torsiune". Aceşti doi parametri au nişte proprietăţi remarcabile:

-1). Nu depind de sistemul de coordonate ales pentru a descrie curba.
-2). Sunt suficienţi pentru a construi întreaga curbă.

Aceste proprietăţi spun că tot ceea ce poate avea mai scump o curbă nu este altceva decât curbura şi torsiunea. O curbă nu "duce" cu ea nimic mai relevant decât curbura şi torsiunea ei în fiecare punct. Curbura şi torsiunea caracterizează curba. Toate celelalte lucruri diferite de curbură şi torsiune sunt dependente de factori neesenţiali pentru curba dată şi astfel nu contează în raţionamentele fundamentale pe care le-am putea formula în legătură cu acea curbă. Astfel, curbura şi torsiunea sunt parametri intrinseci curbei şi reprezintă tot ceea ce ne poate spune natura despre curba respectivă. Altfel spus, curbura şi torsiunea sunt singurii parametri obiectivi ai unei curbe. Dacă toate curbele din Univers ar fi pornit dintr-unul şi acelaşi punct (aşa cum spune cosmologia actuală), atunci singurele două elemente (sau singurul element) care mai fac distincţie între curbe sunt tocmai curbura şi torsiunea curbelor, ca funcţii de timp, de exemplu.

Aşadar, curbura şi torsiunea nu sunt doi parametri banali oarecare, ci au o însemnătate fundamentală, incomparabilă cu a altor parametri ce nu pot fi derivaţi din curbură şi torsiune.

Acestea fiind spuse despre curbură şi torsiune, consider că am pregătit terenul pentru o nouă formulare a principiului elicoidal al inerţiei, centrată de data aceasta pe aceşti doi parametri importanţi pe care i-am evidenţiat mai sus.

Mai exact, vă propun următoarea formulare a principiului elicoidal al inerţiei (echivalentă, desigur, cu formularea iniţială):

-Corpurile libere se deplasează pe curbe care au curbura şi torsiunea constante.

Observaţi, în special, legătura dintre libertatea corpurilor şi constanţa curburii şi torsiunii curbelor pe care se deplasează corpurile libere! Oare nu este firesc să presupunem că un corp liber se caracterizează tocmai prin faptul că se mişcă pe o curbă la care nu se modifică nimic esenţial, deci la care nu se modifică nici curbura şi nici torsiunea? Nu este oare firesc să tragem concluzia că un corp este supus unor influenţe externe doar dacă curbura sau torsiunea traiectoriei sale suferă modificări? Pentru mine este...