Legea a treia a lui Kepler dedusă în Fizica elicoidală, fără a face apel la gravitație!

Legea a treia a lui Kepler ne spune că pătratul perioadei de revoluție a unei planete este proporțional cu cubul semiaxei mari a orbitei, adică $$\dfrac{T^2}{a^3}=constant.$$


Numai Newton a reușit să explice această lege, emițând ipoteza existenței unei forțe de atracție între planete și Soare care forță este invers proporțională cu pătratul distanței de la planetă la Soare.



Astăzi voi arăta că și Fizica elicoidală explică această lege, pe baza ipotezei că planetele se mișcă pe elice, adică pe curbe pentru care, așa cum a demonstrat în 1806 dragul matematician francez Michel Ange Lancret, raportul dintre curbură și torsiune este constant.


Fizica elicoidală admite (susține, postulează) că toate corpurile libere din Univers, deci și planetele, se mișcă pe elice, adică pe curbe care fac un unghi constant cu o dreaptă fixă.




De asemenea, în Fizica elicoidală, energia totală a unui corp este proporțională cu darbuzianul traiectoriei sale, adică $$E_{tot}=C\cdot d=C\cdot\sqrt{\kappa^2+\tau^2},$$ unde $C$ trebuie să fie o constantă universală.


Dacă în ultima relație torsiunea este nulă, rămâne energia datorată curburii traiectoriei, adică energia potențială, invers proporțională cu raza elicei $$E_p=C\cdot\kappa=\dfrac{C}{r}.$$


Iar dacă se anulează curbura în această relație, atunci rămâne energia datorată doar torsiunii, care este energia cinetică $$E_c=C\cdot|\tau|=\dfrac{1}{2}mv^2,$$

unde am folosit aproximația nerelativistă pentru expresia energiei cinetice, aproximație valabilă într-o primă etapă de studiu al planetelor.


Din aceste considerente rezultă că Fizica elicoidală mai spune (postulează) ceva echivalent și anume că în mișcarea planetelor raportul dintre energia potențială și energia cinetică este constant.


Dar constanța acestui raport este echivalentă cu legea a treia a lui Kepler! Pentru că din $$\dfrac{E_p}{E_c}=constant,$$

adică

$$\dfrac{\dfrac{C}{r}}{\dfrac{1}{2}mv^2}=\dfrac{2C}{m}\dfrac{1}{\omega^2 r^3}=\dfrac{C}{2\pi^2 m}\dfrac{T^2}{r^3}=constant,$$

ultima egalitate fiind echivalentă tocmai cu legea a treia a lui Kepler! Dumnezeule, ce concluzie! Ce Fizică bogată în consecințe! Fără să aducem în discuție gravitația, am reușit să explicăm cea de-a treia lege a lui Kepler!

Viteză medie și lancretian mediu

Un corp care se deplasează pe o elice are viteza medie mai mică decât viteza cu care se deplasează el efectiv pe elice. Pentru că degeaba are el sute de kilometri pe oră de-a lungul elicei, din moment ce elicea are spire multe și corpul aproape că nu înaintează deloc.

Avem o formulă pentru viteza medie, în funcție de parametrii elicei. Dacă elicea are curbura $\kappa$ și torsiunea $\tau$, iar corpul se deplasează de-a lungul elicei cu viteza $c$, atunci viteza medie pe care o are corpul este 

$$v=\frac{c}{\sqrt{1+l^2}}.$$

Am notat cu $l=\frac{\kappa}{\tau}$ raportul dintre curbură și torsiune, adică „lancretianul” elicei.

Dacă un corp se deplasează cu viteza $c$ pe o traiectorie mult mai întortocheată decât elicea și are viteza medie $v$, atunci putem vorbi de un lancretian mediu, care rezultă din aplicarea formulei de mai sus. Adică, avem

$$l=\sqrt{\frac{c^2}{v^2}-1}.$$ 

Precizări pentru principiul elicoidal al inerției

Știți deja că, spre deosebire de Fizica actuală, în Fizica elicoidală este valabil următorul principiu al inerției:

-un corp liber se mișcă pe o elice circulară (deci, nu pe o dreaptă).

Acum sunt în măsură să aduc precizări suplimentare, cantitative, în legătură cu acest principiu. Astfel, principiul elicoidal al inerției poate fi formulat și mai precis în modul următor:

Un corp liber care se mișcă într-un mediu omogen descrie o elice circulară, al cărei lancretian este dictat de mediu, iar al cărei darbuzian este dictat de corp. Lancretianul depinde de indicele de refracție al mediului, iar darbuzianul depinde de masa corpului.

Reamintesc aici că lancretianul este raportul dintre curbură și torsiune, iar darbuzianul este modulul vectorului lui Darboux. Adică, lancretianul este $$l=\frac{\kappa}{\tau}$$ și darbuzianul este $$d=\sqrt{\kappa^2+\tau^2}.$$

Principiul relativității în Fizica elicoidală

Am bucuria să vin cu o noutate deosebită privind Fizica elicoidală: principiul relativității.

Astăzi s-a ridicat ceața pe care o mai aveam în minte privitor la acest aspect și am posibilitatea să formulez acest principiu pentru Fizica elicoidală.

În Fizica elicoidală, un sistem este inerțial dacă lancretianul său este constant. Ei bine, principiul relativității în Fizica elicoidală spune următoarele:
-Prin nicio experiență efectuată în interiorul unui sistem inerțial nu se poate determina valoarea lancretianului.

Începe adevărata revoluție în Fizică! Încep să mi se clarifice din ce în ce mai multe lucruri.

A corollary of the theorem of recurrence

Deosebirea fundamentală între Fizica elicoidală şi Fizica actuală

Există o singură mare diferenţă între Fizica elicoidală şi Fizica actuală. Din aceasta derivă toate celelalte. Voi discuta mai jos despre ea.

Ştim că unei traiectorii îi putem asocia triedrul lui Frenet (dat de versorii tangentă, normală şi binormală) şi îi mai putem asocia vectorul lui Darboux (dat de ). În acest context, Fizica actuală consideră că impulsul unui corp este proporţional (şi deci paralel) cu tangenta la traiectorie, adică cu versorul .

 
Ei bine, Fizica elicoidală spune că, dimpotrivă, impulsul unui corp nu este proporţional cu tangenta la traiectorie, ci tocmai cu vectorul lui Darboux! Mai exact, în Fizica elicoidală, impulsul unui corp (pe care îl putem numi impuls elicoidal) este tocmai produsul dintre constanta lui Planck şi vectorul lui Darboux. Adică, avem . Aceasta este singura deosebire fundamentală dintre cele două teorii! Toate celelalte noţiuni trebuie adaptate la această deosebire. De exemplu, forţa elicoidală va fi derivata în raport cu timpul a impulsului elicoidal.

 
Observăm că dacă torsiunea traiectoriei este uriaşă (sau curbura foarte mică), atunci impulsul elicoidal devine aproape paralel cu impulsul (neelicoidal), iar distincţia dintre cele două mărimi fizice vectoriale devine imposibilă. Acesta este cazul corpurilor macroscopice, a căror masă este uriaşă. Pentru corpurile microscopice, distincţia începe să capete contur din ce în ce mai evident, pe măsură ce unghiul dintre versorul tangentă şi vectorul lui Darboux creşte.


Să mai observăm că forţa elicoidală este de două tipuri: forţă care modifică numai modulul impulsului elicoidal (deci numai darbuzianul , constanta lui Planck fiind o constantă) şi forţă care modifică numai direcţia impulsului elicoidal, deci forţă care abate traiectoria de la forma ei de elice (fapt care se poate obţine numai modificând lancretianul, adică ). Aşadar, forţele elicoidale sunt doar de două tipuri: forţe darbuziene şi forţe lancretiene.

Lancretianul leagă modulul vitezei de direcţia ei

După cum am arătat într-un material anterior, ambele viteze elicoidale (deci, atât viteza longitudinală, cât şi viteza transversală) depind numai de lancretian şi sunt complet independente de darbuzian. Mai exact, dacă o bilă se deplasează pe o elice circulară, atunci modulul proiecţiei vitezei sale reale pe axa elicei, adică viteza ei longitudinală (deci, viteza medie a bilei) depinde de lancretianul elicei după formula cunoscută

  .

Aşadar, modulul vitezei medii depinde de lancretian. Dacă lancretianul creşte (scade), atunci modulul vitezei medii scade (creşte), în ipoteza că viteza reală pe elice rămâne desigur constantă. Reciproc, dacă modulul vitezei medii se modifică (în timp ce modulul vitezei reale pe elice este constantă), atunci lancretianul se modifică şi el (în sens opus).

Hmmm... Deci modificarea modulului vitezei medii implică modificarea lancretianului. Dar, vai! Noi ştim din teorema lui Lancret că axa elicei este fixă în spaţiu dacă şi numai dacă lancretianul este constant. Aşadar, dacă lancretianul se modifică, atunci axa "elicei" nu mai este fixă în spaţiu. Numai dacă lancretianul este constant, numai atunci axa elicei este fixă în spaţiu. Altfel această axă precesează şi nu mai putem spune despre corp că se deplasează pe o elice, ci doar că se deplasează eventual pe o curbă de precesie constantă (acesta fiind motivul pentru care am folosit ghilimelele mai sus). 

Acum să combinăm cele două concluzii, ca să vedem ce iese. Prima concluzie a fost că dacă modificăm modulul vitezei medii, trebuie să se modifice şi lancretianul. A doua concluzie a fost că dacă modificăm lancretianul, atunci se modifică inevitabil axa "elicei". Aşadar, ce rezultă de fapt? Rezultă că dacă se modifică modulul vitezei medii, atunci se modifică şi direcţia ei! Şi reciproc, evident, dacă modificăm direcţia vitezei medii, atunci modificăm inevitabil şi modulul acestei viteze medii!

Această însuşire fundamentală a lancretianului de a lega solidar modulul de direcţie scoate în evidenţă proprietăţi noi ale mişcării corpurilor, proprietăţi care în mod sigur nu au fost încă valorificate în practică. De exemplu, din raţionamentele noastre ar putea rezulta că un mediu mai dens are lancretianul mai mare decât un mediu mai puţin dens. Şi poate tocmai de aceea, viteza luminii ar scădea la intrarea ei într-un mediu mai dens şi ar creşte la ieşirea într-un mediu mai rarefiat. S-ar deschide astfel noi porţi pentru ipoteza corpusculară a luminii aşa cum şi-a imaginat-o încă Newton (dar care n-a putut s-o susţină, căci n-a putut explica la vremea aceea de ce viteza luminii scade la intrarea în mediul dens, lui ieşindu-i o viteză mai mare decât în mediul rarefiat).

Amănunte privind observaţia lui AdiJapan cu jgheabul

Într-o discuţie recentă de pe ScientiaQA în legătură cu întrebarea lansată de costinel privind cauza rotaţiei Pământului şi a altor corpuri din Univers, cunoscutul administrator al Wikipediei româneşti, AdiJapan, fizician foarte educat, cu un simţ didactic de invidiat, a făcut o observaţie importantă şi firească adusă ca obiecţie împotriva principiului elicoidal al inerţiei.

Mai exact, el a formulat următoarea problemă: dacă toate corpurile libere se deplasează pe elice circulare, aşa cum stipulează principiul elicoidal al inerţiei, atunci o bilă aruncată printr-un jgheab elicoidal ar trebui ca la ieşire din jgheab să se deplaseze în continuare pe o elice circulară cu forma impusă de parametrii jgheabului respectiv, ceea ce (susţine AdiJapan) nu se observă, din moment ce la ieşire din jgheab bila se mişcă "rectiliniu".

Voi arăta mai jos ce se întâmplă de fapt. Răspunsul pe scurt l-am dat deja atunci când am spus că jgheabul macroscopic nu modifică mult (deci vizibil) parametrii pe care îi are deja traiectoria bilei şi că un asemenea jgheab ar putea modifica vizibil eventual doar traiectoria corpurilor microscopice uşoare. Se pare că acest răspuns, destul de laconic de altfel (dată fiind importanţa fenomenului discutat ), nu a fost suficient pentru AdiJapan, motiv pentru care am creat acest articol mai consistent.

Pentru un răspuns mai elaborat trebuie să ne reamintim că ceea ce considerăm a fi linie dreaptă ar putea să fie mai degrabă o elice circulară foarte groasă, foarte subţire sau foarte înaltă, aşa cum am arătat în materialul precedent. Asta înseamnă că bila aruncată spre jgheab poate avea o traiectorie elicoidală încă înainte de a intra în jgheab. Şi, de fapt, principiul  elicoidal al inerţiei tocmai asta spune, că bila liberă se deplasează netulburată, mereu pe o elice circulară.

Ne rămâne acum să înţelegem în amănunt de ce bila trecută prin jgheabul elicoidal al lui AdiJapan nu urmează totuşi traiectoria impusă de jgheab, ci continuă să se deplaseze pe o traiectorie foarte asemănătoare celei iniţiale (care pare a fi o dreaptă). Pentru aceasta să presupunem (aşa cum, cred că, a presupus în mod tacit şi AdiJapan atunci când a formulat obiecţia) că bila se deplasează fără frecare prin jgheab. Presupunem astfel că jgheabul este atât de alunecos, încât nu poate modifica modulul vitezei bilei, ci numai direcţia acesteia. În termenii Fizicii elicoidale, jgheabul nu produce forţe de viteză, ci numai forţe darbuziene sau lancretiene. Aşadar, jgheabul nu încetineşte bila, ci doar o deviază de la traiectoria iniţială. Desigur, această presupunere are doar menirea de a simplifica studiul problemei, ea nefiind obligatorie. Dată fiind problema pusă de AdiJapan, scopul nostru acum nu este altul decât să înţelegem în ce măsură poate să contribuie jgheabul la deformarea traiectoriei bilei, fără să ne complicăm cu forţele de frecare.

Cum deformarea traiectoriei bilei este exprimată de valorile curburii şi torsiunii (deci, ale lancretianului (raportul dintre curbură şi torsiune) şi darbuzianului (radicalul sumei pătratelor curburii şi torsiunii)) traiectoriei, nouă nu ne rămâne atunci decât să studiem cât de mult poate modifica jgheabul valoarea iniţială a curburii şi torsiunii. Mai precis, jgheabul se comportă ca un "transformator" de lancretian şi darbuzian care modifică setul de valori iniţiale în setul de valori finale. Aşadar, se pune problema de a stabili cât de "puternic" este "transformatorul" nostru, deci cât de mult poate modifica el lancretianul şi darbuzianul bilei (prin abuz de limbaj, vorbim uneori despre lancretianul şi darbuzianul bilei, referindu-ne de fapt la lancretianul şi darbuzianul traiectoriei bilei).

Să observăm acum că bila care pătrunde în jgheab nu mai poate fi considerată un corp liber din moment ce acţionăm asupra ei cu o constrângere din exterior. Altfel spus, asupra bilei acţionează forţe lancretiene şi darbuziene care modifică lancretianul şi darbuzianul bilei. 

Dar, ca orice altă forţă, şi forţele lancretiene sau darbuziene au nevoie de timp ca să-şi facă efectul! Lancretianul şi darbuzianul bilei nu pot ajunge instantaneu la valorile impuse de jgheab, ci, aşa cum spune principiul elicoidal al inerţiei, există tendinţa ca aceste mărimi să se conserve în orice moment. Nici un corp din Univers nu poate suferi variaţii infinite în forma traiectoriei, valorile curburii şi torsiunii fiind, cu alte cuvinte, funcţii continue şi indefinit derivabile, ele neputând trece brusc de la o valoare la alta fără să treacă lin prin toate valorile intermediare. 

În consecinţă, jgheabul lui AdiJapan nu va putea modifica instantaneu valorile iniţiale pe care le aveau curbura şi torsiunea traiectoriei bilei. Dimpotrivă, trecerea de la valorile iniţiale la cele ale jgheabului se face treptat, în timp, pe măsură ce bila avansează prin jgheab. Cu cât jgheabul este mai lung, cu atât bila va petrece mai mult timp în interiorul jgheabului şi astfel cu atât va fi mai mică diferenţa dintre valorile finale ale parametrilor traiectoriei şi valorile parametrilor jgheabului.

Totuşi, nu este suficient ca jgheabul să fie doar lung pentru ca acesta să aibă un efect vizibil asupra traiectoriei bilei. Mai trebuie ceva. Ceva prin care jgheabul îşi manifestă prezenţa, diferind de vid. Ce este acest ceva, din moment ce el nu este frecarea? Ce este acest ceva care se manifestă, nu prin forţe tangente la traiectorie, ci prin forţe perpendiculare? Ei bine, acest ceva este un alt fel de frecare, o frecare ce se manifestă prin forţe lancretiene şi forţe darbuziene. Această "frecare" depinde de secţiunea jgheabului (în mod asemănător depinde rezistenţa electrică de lungime şi de secţiune!). Gândiţi-vă la faptul că un jgheab cu secţiune mare nu poate avea acelaşi efect asupra mişcării unei bile precum ar avea un jgheab cu secţiunea mai mică. Printr-un jgheab larg bila se poate deplasa mai liber decât printr-un jgheab mai strâmt, deci un jgheab mai strâmt este mai coercitiv decât un jgheab mai larg. Putem spune astfel, prin analogie cu fenomenul electric, că jgheabul introduce o rezistenţă în mişcarea bilei, proporţională cu lungimea jgheabului şi invers proporţională cu secţiunea acestuia! În treacăt, putem spune că existenţa unei asemenea analogii interesante între mişcarea elicoidală şi fenomenul electric prevesteşte deja încă o dată puterea de care va da dovadă în viitor Fizica elicoidală. Nu este exclus ca viitorii fizicieni ce vor aprofunda această Fizică să descopere chiar o identitate, nu doar o analogie, între cele două fenomene.

Aşadar, am putea distinge deja trei tipuri de frecare prin care se opune un mediu înaintării unei bile, tipuri cărora să le spunem frecare tangenţială, frecare lancretiană şi frecare darbuziană. Fiecare dintre aceste tipuri de frecare micşorează parametrul la care se referă. Mai exact, frecarea tangenţială micşorează modulul vitezei, frecarea lancretiană micşorează lancretianul traiectoriei, iar frecarea darbuziană micşorează darbuzianul traiectoriei. Micşorând valorile acestor trei parametri, mediul absoarbe energie de la bilă. Astfel, se nasc în mod inevitabil alte noţiuni corespunzătoare energiei: energie tangenţială, energie lancretiană şi energie darbuziană.

Revenind acum la jgheabul lui AdiJapan de la scurta noastră incursiune în fenomenul frecării, putem spune că răspunsul nostru este complet. Mai exact, am arătat că jgheabul nu poate modifica instantaneu curbura şi torsiunea traiectoriei bilei pentru a le aduce tocmai la valorile corespunzătoare jgheabului, ci are nevoie de un oarecare timp pentru aceasta. Astfel, am arătat de fapt că obiecţia lui AdiJapan nu este bine fondată.

Viteza longitudinală şi viteza transversală

Forţe de viteză, forţe darbuziene şi forţe lancretiene

Cercetări privind legătura dintre indicele de refracţie şi lancretian

Interacţiunea dintre radiaţie şi substanţă înseamnă interacţiune dintre un flux de luxoni şi un mediu cu proprietăţi uniforme. Mediul are o frontieră de o anumită grosime. Frontiera are nişte proprietăţi specifice. Dar şi frontiera unui mediu este ea însăşi un mediu anume. Cu cât are grosime mai mare, cu atât produce efecte mai importante. Reciproc, cu cât frontiera este mai îngustă, cu atât variaţiile produse de aceasta traiectoriilor sunt mai mici.

O analiză ceva mai amănunţită a acestor chestiuni poate fi regăsită în documentul următor:

Lancretianul este independent de scală

Am făcut nişte calcule cu Maxima care arată că lancretianul asociat unei curbe este independent de scală, de „dimensiunile reperului”. Vedeţi mai jos instantaneele luate după efectuarea calculelor.

Desigur, calculele pot fi reproduse de către oricine doreşte, prin simpla copiere în Maxima a formulelor următoare pe care le-am folosit eu în acest caz:

vectorial(x,y):=[x[2]*y[3]-x[3]*y[2],x[3]*y[1]-x[1]*y[3],x[1]*y[2]-x[2]*y[1]];
scalar(x,y):=x[1]*y[1]+x[2]*y[2]+x[3]*y[3];
mixt(x,y,z):=scalar(x,vectorial(y,z));
modul(x):=sqrt(x[1]^2+x[2]^2+x[3]^2);
curbura(x,t):=modul(vectorial(diff(x,t),diff(x,t,2)))/modul(diff(x,t))^3;
torsiune(x,t):=mixt(diff(x,t),diff(x,t,2),diff(x,t,3))/modul(vectorial(diff(x,t),diff(x,t,2)))^2;
lancret(x,t):=curbura(x,t)/torsiune(x,t);
darbuz(x,t):=sqrt(curbura(x,t)^2+torsiune(x,t)^2);
 

curba:[a(t),b(t),c(t)];
 

ratsimp(curbura(curba,t)/curbura(curba*u,t));
ratsimp(torsiune(curba,t)/torsiune(curba*u,t));
ratsimp(darbuz(curba,t)/darbuz(curba*u,t));
ratsimp(lancret(curba,t)/lancret(curba*u,t));

Faptul că lancretianul nu depinde de dilatarea reperului face posibil studiul în laborator al comportării avioanelor sau al navelor maritime. De asemenea, acest fapt foarte important ne arată că lancretianul este un invariant relativist. Această ultimă proprietate sugerează că lancretianul are astfel cel puţin o asemănare cu sarcina electrică. 

Curbura, torsiunea şi darbuzianul asociate curbei depind toate de parametrul u folosit aici pentru a dilata reperul, spre deosebire de lancretian, singurul care nu este afectat de valoarea absolută a parametrului u, ci doar de semnul acestuia.

Ecuaţiile naturale ale unei traiectorii

​Ca o rectificare la articolul anterior în care spuneam greşit că lancretianul este o funcţie polinomială de parametrul canonic, vin astăzi să vă spun că, de fapt, lancretianul traiectoriei pe care o poate descrie un corp este tangenta unei funcţii polinomiale de parametrul canonic. Până când voi reuşi să demonstrez aceasta, luaţi-o deocamdată ca pe un postulat al Fizicii elicoidale.

Pornind de la acest postulat, putem scrie că ecuaţiile naturale ale traiectoriei pe care o descrie un corp din Univers sunt următoarele:

şi

,

unde

este o funcţie polinomială de parametrul canonic, iar  este, pentru început, o constantă, deşi ar fi interesant de studiat ce se întâmplă dacă şi aceasta depinde de parametrul canonic. În aceste condiţii, lancretianul este 

.

Aşadar, în Fizica elicoidală nu există altfel de traiectorii, decât de această formă. Ele sunt elice de ordinul n+1. Mai precis, pentru o dreaptă, funcţia polinomială de mai sus este polinomul nul, pentru o elice propriu-zisă (care este elicea de ordinul întâi) funcţia polinomială este polinomul constant, iar pentru elicea de ordinul doi (care este o curbă de precesie constantă) funcţia polinomială este un binom. Şi aşa mai departe.
Rămâne de văzut în ce mod se poate aplica aici analiza armonică pentru a implica în studiu şi seriile Fourier.

Lancretianul este o funcţie polinomială de parametrul canonic?

Ştim că lancretianul unei elice este constant. Mai ştim că lancretianul nu poate să depindă decât de parametrul canonic, căci în fiecare punct al unei traiectorii curbura şi torsiunea sunt bine definite. Dependenţa de timp a lancretianului este inclusă în parametrul canonic, deoarece se consideră că traiectoria a fost parcursă în totalitatea ei şi nu se mai poate schimba în viitor. Aşadar, un lancretian variabil depinde de parametrul canonic.

Dar, din teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet rezultă că dacă traiectoria are un anumit lancretian, atunci traiectoria la care este tangent vectorul lui Darboux este mai simplă şi are ordinul mai mic cu o unitate. Cum o elice are lancretianul constant, rezultă că pentru o traiectorie cu un ordin mai complicată decât o elice lancretianul traiectoriei va fi variabil, în timp ce lancretianul elicei la care este tangent vectorul lui Darboux este constant.

Deci, complicarea unei curbe se manifestă prin creşterea ordinului derivatei funcţiei de parametrul canonic, ce defineşte lancretianul. Şi cum acest raţionament este recursiv, rezultă că lancretianul unei traiectorii este o funcţie polinomială de parametrul canonic.

Să observăm acum încă ceva. Am arătat că întotdeauna putem găsi un reper faţă de care lancretianul traiectoriei să fie o funcţie polinomială de parametrul canonic. Dar noi ştim că aceasta este doar o aproximaţie, căci, de pildă, dacă admitem că Soarele se deplasează pe o dreaptă, atunci concluzionăm că Pământul are lancretianul constant, pe când dacă admitem că Galaxia se deplasează rectiliniu, atunci trebuie să admitem că Soarele are lancretianul constant şi că Pământul are lancretianul variabil. Deci, gradul polinomului este relativ şi depinde de reperul pe care îl considerăm că se deplasează rectiliniu.

Probabil că, faţă de un reper absolut (dacă ar exista aşa ceva), corpurile ar avea un lancretian dat de o funcţie polinomială de grad infinit, precum sunt sinus, cosinus sau exponenţiala. De asemenea, nu este exclus ca pentru corpurile foarte mici şi foarte uşoare precum sunt particulele elementare, atomii şi moleculele (pentru care lancretianul este o funcţie polinomială de grad foarte mare) să fie mai convenabil să considerăm că lancretianul este o funcţie infinit de complicată, precum e cosinus, sinus sau exponenţiala, caz în care am putea obţine nişte concluzii interesante. În acest caz ar apărea o analogie între traiectoriile corpurilor microscopice de lângă noi şi traiectoriile corpurilor mai mari dar aflate foarte departe, în alte sisteme de galaxii, analogie care ar putea explica însăşi abundenţa elementelor uşoare în Univers. Dar asta vă rămâne vouă să verificaţi, deocamdată...

Cercetări privind relaţia dintre inerţie, lancretian şi câmpuri

-(1101042114) Pornim de la un sistem finit de puncte materiale. Ne interesează mişcarea baricentrelor sale, energiile implicate, restricţiile care se impun într-o asemenea mişcare. În ce măsură elicele de mişcare au curbura egală cu torsiunea? Ce câmpuri apar dacă această condiţie nu este îndeplinită?
-(1101042119) Probabil, torsiunea tinde să se anuleze. De fapt, cu siguranţă, torsiunea tinde să se anuleze, deoarece acesta este un efect al inerţiei. Atunci ar exista două tipuri de tendinţe de anulare a torsiunii, una care să mărească raportul dintre curbură şi torsiune (lancretianul), iar cealaltă care să micşoreze lancretianul. Tendinţa de mărire a lancretianului s-ar manifesta ca o atracţie, iar tendinţa de micşorare a lancretianului s-ar manifesta ca o respingere. Din acest motiv, probabil că tendinţa de anulare a torsiunii are efecte electromagnetice. Mai precis, în absenţa câmpurilor electromagnetice, torsiunea este instantaneu nulă. Asta înseamnă că valoarea torsiunii ne spune totul despre câmpul care o produce.
-(1101042125) Dar nu doar torsiunea trebuie să tindă să se anuleze, ci şi curbura. În absenţa câmpurilor (gravitaţionale?), curbura este instantaneu nulă. Asta înseamnă că valoarea curburii spune totul despre câmpul care o produce.
-(1101042144) Înseamnă că într-un sistem liber de particule, curbura totală şi torsiunea totală trebuie să fie ambele nule. Trebuie văzut ce înseamnă curbură totală şi torsiune totală. Oare curbura totală este suma curburilor, iar torsiunea totală este suma torsiunilor?
-(1101042147) Probabil, un corp cu torsiunea mai mare decât curbura este încărcat electric opus faţă de un corp cu torsiunea mai mică decât curbura. Asta ar putea însemna că un corp este neutru din punct de vedere electric dacă torsiunea este strict egală cu curbura. Altfel spus, corpurile sunt încărcate electric într-un sens dacă lancretianul lor este supraunitar şi sunt încărcate electric în sens opus dacă lancretianul lor este subunitar, în valoare absolută. Semnul lancretianului ne dă probabil distincţia dintre materie şi antimaterie.
-(1101042159) Atât curbura, cât şi torsiunea pot fi anulate ambele prin mărirea la infinit a pasului elicei tangente. Înseamnă că tendinţa generală de mişcare va fi ca pasul elicei tangente să crească necontenit. Următoarea tendinţă va fi ca raza elicei tangente să devină egală cu pasul ei. Prin aceasta, în mişcarea sa, corpul va fi însoţit de două tendinţe, una de mărire a pasului şi alta de menţinere a razei egală cu pasul.

Chiar şi vectorul de poziţie trebuie să respecte formulele lui Frenet

-(1010172019) Dacă poziţia este un vector, atunci poziţiei i se poate asocia un triedru (Frenet) care respectă formulele lui Frenet.​ Iar dacă triedrul Frenet asociat poziţiei respectă formulele lui Frenet, atunci el respectă şi recurenţa formulelor lui Frenet. Să vedem atunci ce concluzii pot fi trase din asemenea condiţii.

-(1010172023) Dacă poziţiei i se poate asocia un triedru Frenet, atunci tangenta poziţiei este versorul acesteia, normala este versorul coliniar cu derivata tangentei, iar binormala este produsul vectorial al tangentei şi normalei. Recurenţa formulelor lui Frenet ne spune că cea mai simplă variaţie posibilă pentru vectorul de poziţie este aceea în care raportul dintre parametrul de curbură şi parametrul de torsiune asociaţi poziţiei (deci, lancretianul poziţiei) este constant. Următoarea variaţie posibilă este aceea în care acest raport este constant pentru parametrii triedrului Frenet de ordin imediat superior (numit uneori triedru complementar al lui Frenet). Şi aşa mai departe.

-(1010172034) Interesant este că aceste condiţii impuse pentru variaţia poziţiei ne furnizează o clasificare stranie a sistemelor de referinţă posibile. De exemplu, conform acestor condiţii, primul sistem de referinţă ce trebuie luat în considerare este acela în care toate poziţiile variază în aşa fel încât lancretianul poziţiei este constant. Dar când este constant lancretianul poziţiei? Atunci când unghiul dintre poziţie şi o dreaptă fixă este constant. Dreapta fixă este suportul tangentei triedrului complementar al lui Frenet asociat poziţiei.

-(1010172046) Vreau să înţeleg cum variază (toate) poziţiile în acest prim caz, ca să-mi fac o idee despre ce mişcare trebuie să imprimăm sistemului de referinţă pentru a constata asemenea variaţii ale poziţiilor. Trebuie să avem în vedere faptul că toate poziţiile încep prin a avea aceeaşi origine şi nicio variaţie posibilă nu le mai schimbă ulterior originea, căci, prin definiţie, poziţia în sistemul de referinţă porneşte din originea acelui sistem.

-(1010172058) Ne putem întreba mai simplu întâi (ca să fim şi mai bine înţeleşi) cum se poate mişca un mobil prin spaţiu astfel încât lancretianul poziţiei sale să rămână constant. Apoi va trebui să vedem cum se vor mişca două mobile astfel încât lancretianul poziţiilor lor să rămână constant. Apoi vom încerca să înţelegem cum trebuie să se mişte toate punctele reperului astfel încât lancretianul tuturor poziţiilor să rămână constant.

-(1010172105) Să începem, deci, cu primul mobil. Dacă mobilul stă pe loc, atunci poziţia sa nu variază. Deci, va trebui să considerăm pentru început că mobilul nu stă pe loc, ci se mişcă. Mai simplificăm puţin mişcarea mobilului şi spunem că acesta se mişcă în aşa fel încât nu variază direcţia poziţiei, ci doar modulul acesteia. Într-un asemenea caz, triedrul lui Frenet asociat poziţiei este nedeterminat. Deci, această situaţie nu permite progresul cunoaşterii, motiv pentru care vom amâna şi studiul ei până când vom fi capabili ca, din rezultatele precise obţinute ulterior, să putem concretiza ce se întâmplă când direcţia poziţiei nu variază. Aşadar, trebuie să studiem doar cazul când variază şi direcţia poziţiei.

-(1010172114) Dacă n-am putut să ne bazăm pe simplificarea problemei considerând că variază doar modulul poziţiei, să vedem dacă putem în schimb să deducem ceva relevant în celălalt caz simplu, şi anume, în acela în care variază doar direcţia poziţiei mobilului. Aşadar, studiem cazul în care variază numai direcţia poziţiei, dar în aşa fel încât lancretianul acesteia să rămână constant. Care este legea de mişcare a mobilului în acest caz?

-(1010172119) Dacă modulul poziţiei nu variază, atunci mobilul nu se poate nici apropia şi nici îndepărta de origine, fiind nevoit să se mişte pe suprafaţa unei sfere cu centrul în originea reperului. Ştim deci cel puţin că în acest caz mobilul descrie o curbă sferică. Cum şi lancretianul este constant (nu doar modulul), mai trebuie să ţinem seama că există o dreaptă fixă în reper faţă de care poziţia păstrează un unghi constant. Această dreaptă trebuie să se afle în planul format de tangentă şi binormală. Trece ea obligatoriu prin originea reperului?

-(1010172135) Mamăăăă! Şi când te gândeşti că acesta este abia studiul pentru un singur mobil şi pentru cazul simplu al mişcării pe o curbă sferică! Când vom trece mai departe? Stai aşa! Oare n-am putea să găsim prin calcul aceste legi de mişcare? În cel mai general caz, ar trebui să găsim legea de mişcare ştiind că lancretianul este constant. Hmmm... Asta ar însemna să integrăm nişte ecuaţii diferenţiale. Pare greu, dar merită.

-(1010172147) Important este să înţeleg ce schimbare aduce în forma generală a legii de mişcare faptul că lancretianul poziţiei este constant. Pentru aceasta va trebui să scriem cât mai detaliat legea de mişcare posibilă. Dar oare n-am putea face o transformare prin care vectorului de poziţie să-i asociem un punct ce descrie o elice? Ştim că în cazul mişcării unui punct pe o elice, viteza punctului are lancretianul constant. Deci ar trebui să vedem prin ce transformare trecem de la viteză la poziţie şi cum afectează această transformare calculele. Dar, vai! Nu cunosc nici măcar ecuaţia generală a unei elice! Se pare că va trebui atunci să mă las păgubaş pentru o vreme. Şi să mă mulţumesc cu un obiectiv mai modest (cu care chiar am şi pornit în minte atunci când am început să scriu acest articol): acela de a arăta că translaţia uniformă cu viteză finită este imposibilă.

-(1010172203) Aşadar, este translaţia uniformă cu viteză finită posibilă? Satisface ea formulele lui Frenet şi recurenţa lor? Legea de mişcare a unui mobil care se translatează uniform este  . Cât este lancretianul acestui vector de poziţie?

-(1010172229) De fapt, pentru a arăta că translaţia uniformă cu viteză finită este imposibilă, este suficient să arăt că, nu neapărat lancretianul poziţiei, ci măcar lancretianul traiectoriei are valori ciudate, imposibile în realitate.

-(1010172232) Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet a arătat că lancretianul unei traiectorii nu poate avea orice valoare şi nu poate varia oricum. Mai precis, a arătat că pentru orice curbă diferită de o dreaptă, oricât de complicată ar fi acea curbă, lancretianul poate fi determinat şi există o dreaptă fixă în spaţiu care poate fi asociată în mod unic acelei traiectorii. Problema este cu ceea ce se întâmplă faţă de un alt observator.

-(1010172308) Pentru un alt observator, mobilul trebuie să descrie o asemenea traiectorie încât şi faţă de acest nou observator să existe o dreaptă fixă şi unică în spaţiu ce poate fi asociată traiectoriei mobilului. De exemplu, dacă în reperul iniţial mobilul a descris o dreaptă, atunci faţă de un observator care se translatează uniform şi cu viteză finită dar neparalel cu acea dreaptă, va trebui ca traiectoria mobilului să fie mai complicată decât o dreaptă, dar să fie doar cu un ordin mai complicată decât o dreaptă, deci va trebui să fie o elice. Dar aşa ceva nu mi se pare posibil. Vă las acum şi pe voi să vă gândiţi la asta...

Lancretianul unui cerc poate fi variabil

-(1010082143) Este foarte important să înţeleg ce formă pot avea traiectoriile din spaţiu, mai ales cele închise. Am înţeles că cea mai simplă curbă închisă din spaţiu este un cerc. Care-i următoarea? Care este a doua curbă simplă închisă din spaţiu, după cerc? Aş putea să găsesc o metodă matematică pentru a determina aşa ceva?

-(1010082235) În primul rând, o curbă este mai complicată decât o altă curbă dacă expresia curburii şi torsiunii este mai complicată în cazul ei. S-ar părea că, de fapt, contează cât de complicat este numai raportul dintre curbură şi torsiune (lancretianul), nu şi altceva. Lancretianul cercului este infinit, iar al unui punct poate fi considerat finit.

-(1010082243) Ştim că orice traiectorie posibilă din spaţiu este o elice de un oarecare ordin. Asta înseamnă că şi cercul trebuie să fie o elice de un oarecare ordin. Dreapta este o elice de lancretian nul, iar cercul este o elice de lancretian infinit. Astfel, acum ştim ce caracterizează o curbă închisă de o anumită complicaţie (ordin): faptul că lancretianul (de ordinul respectiv) este infinit.

-(1010082249) Aici intervine ceva interesant. Despre zero ştim sigur că este constant, dar despre infinit nu ştim sigur asta. Înseamnă că în cazul cercului avem posibilitatea să considerăm că lancretianul său poate fi variabil, chiar dacă este infinit. Dar ştim că un lancretian variabil al unei traiectorii înseamnă că traiectoria respectivă face un unghi variabil (nu constant, cum era în cazul elicei) cu o dreaptă fixă.

-(1010082305) Putem spune atunci că un cerc de lancretian constant va fi mereu (cu planul său) perpendicular pe aceeaşi direcţie. Iar un cerc de lancretian variabil va fi perpendicular pe o direcţie variabilă. Aşadar, următoarea curbă simplă închisă după cerc pare a fi cercul de lancretian uniform variabil. Planul acestui cerc trebuie să fie mereu perpendicular pe o direcţie care variază cu viteza unghiulară constantă.