Triedrul Frenet al unui vector oarecare

Ne propunem aici să demonstrăm că unui vector oarecare îi putem asocia un ansamblu de trei vectori unitari reciproc perpendiculari, ale căror derivate satisfac importantele formule ale lui Frenet.

Tangenta vectorului

Să presupunem că avem dat un vector oarecare variabil atât în direcție cât și în modul, unde este modulul vectorului , iar este un vector unitar pe care îl vom numi tangenta vectorului . Din relația de definiție a tangentei rezultă .

Notând cu un punct situat deasupra derivata în raport cu timpul și, folosind formula derivatei produsului, avem .

Să determinăm acum cât este derivata tangentei. Deoarece tangenta este un vector de modul constant, rezultă că derivata tangentei este perpendiculară pe tangentă! Să demonstrăm riguros aceasta.

Deoarece modulul tangentei este 1, produsul scalar al tangentei cu ea însăși trebuie să fie tot 1, adică . Derivând în raport cu timpul această expresie, obținem . Cum produsul scalar este comutativ, mai rezultă . Așadar, produsul scalar al vectorilor și este nul. Dar . Cum modulul tangentei este 1, iar modulul derivatei tangentei este și el în general nenul (fiind nul doar în cazul particular în care direcția vectorului nu se modifică, ceea ce nu contrazice rezultatul final), rezultă că produsul scalar numai când . Asta înseamnă că unghiul dintre tangentă și derivata ei este drept, deci cei doi vectori sunt mereu reciproc perpendiculari, așa cum trebuia să demonstrăm.

Normala vectorului

Dar, dacă derivata tangentei este mereu perpendiculară pe tangentă, înseamnă că, în plus față de tangentă, putem asocia vectorului încă un vector unitar, perpendicular pe tangentă, notat cu și numit normala vectorului definit prin relația, în care scalarul a va fi numit parametrul de curbură al vectorului .

Cu aceste elemente putem rescrie expresia primei derivate a vectoruluisub forma

.

Binormala vectorului

Fiind în posesia celor doi vectori unitari și asociați vectorului , numiți tangenta și, respectiv, normala vectorului, putem construi un al treilea vector unitar notat cu, perpendicular atât pe tangentă, cât și pe normală, pe care îl vom numi binormala vectorului , dat de relația .

Ansamblul format de cei trei vectori unitari reciproc perpendiculari formează un triedru drept care poate fi asociat vectorului .

Triedrul satisface formulele lui Frenet

Să arătăm acum că acești trei versori reciproc perpendiculari asociați unui vector oarecare satisfac formulele lui Frenet.

Pentru aceasta să arătăm întâi că derivata binormalei este paralelă cu normala. Cum binormala este perpendiculară pe tangentă, produsul lor scalar este nul, deci avem . Derivând acest produs scalar, obținem , adică . Dar mai sus am stabilit că , deci rezultă mai departe că . Dar deoarece binormala este perpendiculară pe normală. Așadar , ceea ce înseamnă că derivata lui este perpendiculară pe . Dar este un vector unitar, deci, așa cum am arătat mai sus, derivata lui este perpendiculară și pe . Cum este perpendicular atât pe cât și pe , rezultă că el trebuie să fie coliniar cu versorul , adică există un număr real , pe care îl vom numi parametrul de torsiune al vectorului , în așa fel încât să putem scrie .

Putem acum să scriem formulele lui Frenet pentru un vector oarecare.

Cum , rezultă că , deci

. Așadar, grupând rezultatele noastre, putem scrie

,

,

Aceste relații sunt tocmai formulele lui Frenet aplicate vectorului !

În consecință, am demonstrat nu doar că oricărui vector îi putem asocia un triedru ortonormat, ci și că un asemenea triedru ortonormat asociat unui vector oarecare satisface formulele lui Frenet!

Dacă vectorul este viteza unitară pe traiectorie

În cazul particular în care vectorul este tocmai derivata poziției în raport cu elementul de arc, obținem formulele lui Frenet particulare din teoria curbelor, caz în care parametrii a și b sunt tocmai curbura și, respectiv, torsiunea curbei, ceea ce justifică denumirea . De aceea, am putea numi parametrii a și b tocmai parametrii de curbură și, respectiv, de torsiune ai vectorului .

Modulul, parametrul de curbură și parametrul de torsiune sunt elemente intrinseci vectorului

Observați că raționamentele anterioare ne-au dus la concluzia că oricărui vector îi putem asocia trei numere reale: modulul său, parametrul de curbură și parametrul de torsiune. Aceasta este și firesc, oarecum, deoarece noi știm că pentru a defini un vector într-un reper cartezian, sunt necesare trei numere reale. Noutatea noii interpretări constă în aceea că permite asocierea celor trei numere reale într-un mod unic, intrinsec independent de orice reper. Modulul ne arată numai cât de intens este vectorul, iar ceilalți doi parametri (de curbură și de torsiune) ne dau informații numai despre direcția vectorului.

Aș fi unul dintre cei mai fericiți oameni de pe Pământ dacă printre cititorii acestui articol se va găsi vreunul foarte perspicace care să poată face mai mult decât am putut eu: să demonstreze utilitatea practică a acestui rezultat teoretic.