Moleculele pot fi IDENTIFICATE cu traiectoriile lor

Moleculele nu se ciocnesc niciodată (nu există contact mecanic intim între molecule). De asemenea, moleculele nu pot fi localizate cu precizie de-a lungul traiectoriilor lor, motiv pentru care pozițiile unei anumite molecule pe traiectoria ei sunt echiprobabile. 

Prin urmare, moleculele pot fi IDENTIFICATE pur și simplu cu traiectoriile lor. Așadar, se poate DEFINI o moleculă ca fiind însăși traiectoria pe care o poate avea aceasta.

O asemenea definiție realizează corespondența biunivocă între molecule și curbe (regulate), aruncând tot greul de pe umerii fizicianului în lumea Matematicii și permițând astfel o abordare riguroasă a termodinamicii, a teoriei cinetice a gazelor, a mecanicii fluidelor, cu toate consecințele teoretice care decurg de aici.

Noțiuni ale Fizicii elicoidale

În Fizica elicoidală se pot formula următoarele definiții precise legate de mișcarea unui corp.

Orice corp în mișcare parcurge o curbă (netedă) în spațiu, numită traiectorie. Traiectoriile sunt descrise de doi parametri, unul este curbura traiectoriei, iar celălalt este torsiunea traiectoriei. Acești doi parametri se modifică în timpul mișcării, dar într-un interval de timp suficient de scurt ei pot fi considerați constanți, caz în care îi numim tocmai curbura instantanee și torsiunea instantanee.

Elice circulară instantanee. Se numește elice circulară instantanee elicea circulară ai cărei parametri sunt tocmai curbura instantanee și torsiunea instantanee.

Curbură complexă instantanee. Se numește curbură complexă instantanee numărul complex $\textbf{q}=\kappa+\textbf{i}\tau$, unde $\kappa$ este curbura instantanee, iar $\tau$ este torsiunea instantanee. 

Darbuzian. Se numește darbuzian modulul curburii complexe. Așadar, darbuzianul este numărul $d=\sqrt{\kappa^2+\tau^2}$.

În Fizica elicoidală energia (totală a) unui corp depinde de forma traiectoriei sale. Mai exact, energia este proporțională cu darbuzianul. Torsiunea traiectoriei este asociată energiei cinetice, iar curbura traiectoriei este asociată energiei potențiale, în sensul că dacă crește torsiunea, crește energia cinetică, iar dacă crește curbura, atunci crește energia potențială.

Schimbarea parametrilor elicei circulare instantanee se poate realiza doar prin interacțiune cu un alt corp. 

Curbura este egală cu torsiunea

Recent, studiind cu Maxima graficele variațiilor curburii și ale torsiunii am avut o revelație crucială în Fizica elicoidală, care îmi clarifică multe aspecte ce nu se lăsau încă înțelese. Mai exact, am descoperit că un corp liber se mișcă, nu doar pe o elice circulară obișnuită, ci pe o elice care are ceva mai special în ea și anume curbura ei este egală cu torsiunea în valoare absolută.

Dar să vă spun mai exact despre ce este vorba. Să luăm un exemplu mai simplu, pentru început. Cred că puteți fi de acord cu faptul că un corp care este constrâns cumva să se miște pe un cerc va avea energie (potențială) mai mare decât același corp lăsat în pace care nu este constrâns să se miște pe cerc. Deci, cu cât curbura cercului va fi mai mare (raza cercului mai mică), cu atât corpul deține mai multă energie potențială. Dar și reciproc, cu cât corpul deține (pentru că este constrâns să dețină) mai multă energie potențială, cu atât cercul pe care a fost constrâns să se deplaseze va avea o curbură mai mare. Așadar, trecerea de la un cerc de curbură mică la un cerc de curbură mai mare se realizează cu lucru mecanic efectuat asupra corpului și absorbție de energie, iar trecerea inversă de la rază mică la rază mare are loc cu degajare de energie și efectuare de lucru mecanic asupra mediului înconjurător. 

Ei bine, așa cum am mai scris de multe ori pe blog, acest raționament este înglobat într-un postulat îndrăzneț al Fizicii elicoidale, postulat care, implicând constanta lui Planck, concretizează cantitativ relația dintre energia potențială a unui corp și forma traiectoriei sale. Este îndrăzneț deoarece afirmă că întreaga masă a unui corp se datorează numai și numai formei traiectoriei sale, ori aceasta este o noutate absolută în Fizică. 

Relația de care vorbesc și pe care am mai prezentat-o, dar mai brutal, mai neintuitiv, mai lipsită de context decât acum, recunosc, este $$m=\frac{\hbar}{c}\sqrt{\kappa^2+\tau^2}.$$

Această relație ne spune că cu cât curbura $\kappa$ și torsiunea $\tau$ a traiectoriei pe care se deplasează un corp sunt mai mari, cu atât corpul va fi mai masiv, mai energic, respectiv, cu cât corpul este mai ușor, cu atât se deplasează pe traiectorii mai simple. 

Sper ca măcar acum să vedeți această relație cu alți ochi, mai limpezi. Ea ne mai spune printre altele că curbura și torsiunea însele au inerție, adică nu le place să fie schimbate ușor, mai ales atunci când ele sunt mari.

Acum, dacă exemplul cu cercul, o curbă plană, deci cu torsiunea nulă, a fost dat doar în spirit didactic, pentru ca tinerii mei cititori să înțeleagă începutul relației dintre energia unui corp și forma traiectoriei sale, voi reveni la curba cea mai completă, care nu are doar curbură nenulă (precum are cercul), ci are și torsiune nenulă și, mai mult de-atât, este și cea mai simplă curbă cu aceste proprietăți: elicea.

Ei bine, atunci un corp liber care duce totuși cu el energie (caz în care corpul nu este absolut liber din moment ce este constrâns să transporte energie) se va mișca pe o elice a cărei formă ne vorbește despre câtă energie duce corpul respectiv.

Astfel, dacă i-am pus acelui corp în cârcă un sac cu energie, el se va deplasa la nesfârșit, bietul, de unul singur, prin Univers, pe o elice perfect circulară și nederanjată de nimic, a căror curbură și torsiune vor depinde de câtă energie l-am obligat pe bietul corp să ducă cu el. Mișcarea trebuie să fie în echilibru stabil.

Dar, de aici încolo lucrurile devin și mai interesante pentru că ne putem pune problema privind alegerea concretă pe care o va face corpul în ceea ce privește curbura și torsiunea elicei pe care să se deplaseze. Dilema corpului este dacă să se deplaseze pe o elice cu curbura mare și torsiunea mică sau pe o elice cu curbura mică și torsiunea mare. Relația dată mai sus $m=\frac{\hbar}{c}\sqrt{\kappa^2+\tau^2}$ ne permite libertatea să alegem ce curbură dorim și ce torsiune dorim, cu condiția ca suma pătratelor lor să fie aceeași. 

Așadar, când se obține echilibrul stabil? Ce curbură va alege corpul în mișcarea sa? Va alege oare corpul să se deplaseze pe un cerc, dând astfel toată energia sa curburii și neglijând torsiunea? Ar fi o asemenea mișcare în echilibru stabil? Nu s-ar supăra oare torsiunea în acest caz? Eu, dacă aș fi torsiune, în acest caz, m-aș revolta și i-aș reproșa corpului că favorizează curbura, deși curbura n-ar trebui să fie cu nimic mai presus decât mine. Așadar, corpul ar trebui să decidă corect între a împăca și capra și varza, fără ca acestea să se mai certe vreodată în infinitatea de timp în care corpul trebuie să-și ducă crucea. 

În absența matematicii, ar trebui să ne mulțumim cu un astfel de raționament filozofic, raționament care ne duce la concluzia că dilema corpului se rezolvă prin mișcarea sa pe o elice având curbura egală cu torsiunea. Din fericire, matematica vine să întărească acest raționament filozofic. Și să vedem cum. 

Se știe că curbura elicei este dată de formula $$\kappa=\frac{a}{a^2+b^2},$$ iar torsiunea este $$\tau=-\frac{b}{a^2+b^2}.$$

Iată și graficele, realizate cu Maxima, care exprimă curbura în funcție de raza elicei (la un anumit pas).

Curba albastră exprimă cum variază curbura când pasul este 3, curba roșie arată cum variază curbura când pasul este 4, iar curba verde arată cum variază curbura când pasul este 5.

Și mai jos aveți graficul torsiunii, în aceleași culori ca și în cazul curburii.

Pentru a înțelege profunzimea informației transmise de aceste grafice, vom face niște calcule.

Derivând curbura în funcție de raza a și presupunând că pasul b rămâne constant, $$\dot\kappa=\frac{\dot a(a^2+b^2)-2a\dot a}{(a^2+b^2)^2},$$

deci obținem minunea asta de formulă: $$\large{\dot\kappa=\frac{b^2-a^2}{(a^2+b^2)^2}\dot a}$$

Ei bine, știți ce ne spune această minune de formulă? Că variația curburii este mai mititică atunci când numărătorul fracției de mai sus este mititel, adică atunci când diferența $b^2-a^2$ este cât de mică se poate, adică atunci când curbura este egală cu torsiunea în valoare absolută. 

Și cum interpretăm atunci această formulă? Astfel: corpurile se deplasează mai liniștit, în echilibru mai stabil, atunci când curbura traiectoriei lor este egală cu torsiunea sau cu minus torsiunea, pentru că atunci variația curburii este mai mică. Corpurilor libere nu le plac variațiile, nu le place să fie deranjate, așa că vor evita variațiile, deci vor căuta să se deplaseze pe o asemenea traiectorie încât curbura să fie egală cu torsiunea.

Observați și pe grafic. Pe măsură ce raza elicei crește, crește și curbura, crește și torsiunea. Torsiunea crește pentru că este negativă, dar valoarea ei absolută scade, de fapt, elicea apropiindu-se de o curbă din ce în ce mai plană. 

Însă, observați vârful graficului curburii. Pe măsură ce raza elicei crește, curbura crește și ea până când ajunge la un vârf în care variația ei dispare. Aici se obține valoarea maximă a curburii. Curbura este maximă și nu mai variază când raza elicei este egală cu pasul acesteia. Aici se obține acel mult dorit echilibru stabil al corpului, în care nu mai există variații ale energiei.

Dincolo de acest vârf curbura elicei începe să scadă pe măsură ce crește raza elicei, întocmai cum scade curbura cercului pe măsură ce crește raza lui. Deci, dincolo de acest vârf, elicea începe să devină din ce în ce mai asemănătoare cu un cerc. De asemenea, aproape de vârf variațiile curburii sunt insesizabile, chiar dacă variațiile razei ar fi mari, deci în vecinătatea vârfului stabilitatea este asigurată. 

Mai mult, în lumina acestor considerații, se poate spune că, așa cum există condensatoare electrice care pot îngloba cât mai multă energie electrică într-o anumită formă, tot astfel, elicea însăși este și ea un „condensator” de energie care „înghite” mai multă energie atunci când curbura este mai apropiată de torsiune în valoare absolută. Astfel, corpurile în care s-a pompat energie și care au fost obligate să conțină cât mai multă energie, vor face cumva să se miște pe o elice având raza cât mai apropiată de pas. Dacă vom micșora raza elicei, energia corpului va fi din ce în ce mai mare, dar numai dacă nu micșorăm prea mult raza elicei. Căci dacă micșorăm raza mai mult decât pasul, atunci curbura începe să scadă, iar capacitatea energetică a elicei scade și ea.

Iar de aici se deschide o nouă lume pentru noua Fizică. Țineți aproape! Cu pandemia asta am și eu, în sfârșit, timp să sap mai adânc în această Fizică elicoidală. Voi veni cu noutăți. Am de gând să vă mai vorbesc despre asemănarea acestor grafice cu acelea ale radiației corpului negru, despre interpretarea „clasică” a efectului fotoelectric, am de gând să vă vorbesc despre rezonanța orbitală a sateliților lui Jupiter, coroborat cu mișcarea electronilor în atom, despre legea Titius-Bode, despre salturi cuantice, despre unda asociată particulelor, despre lichefierea gazelor, despre dezechilibrul dintre materie și antimaterie (antimateria are torsiunea pozitivă), despre turbulență, despre adevărata lege a gravitației, toate în contextul acesta fundamental determinat de mișcarea corpurilor pe elice circulare. 

Am de gând să vă arăt că, pornind de la aceste premize fundamentale prezentate în articol, această Fizică nouă face legătura mult visată între Fizica corpurilor macroscopice (teoria gravitației) și Fizica corpurilor microscopice (Fizica cuantică), prima aflându-se acolo unde raza de curbură a elicei este foarte mare (în dreapta vârfului), iar a doua acolo unde raza este foarte mică (în stânga vârfului).

Nu ezitați să comentați, să întrebați, să adăugați, să criticați. Și nu ezitați să dați de veste, distribuind articolul, dacă v-a pus pe gânduri. Mulțumesc!

O piatră este aruncată vertical în sus. Ce curbură are traiectoria ei?

O piatră este aruncată vertical în sus, după care aceasta revine la sol. Sunt implicați următorii timpi:

1. Timpul UNU: piatra staționează pe sol;
2. Timpul DOI: piatra urcă vertical în sus;
3. Timpul TREI: piatra staționează sus;
4. Timpul PATRU: piatra coboară vertical în jos;
5. Timpul CINCI: piatra staționează pe sol.

Ce curbură are traiectoria pietrei în fiecare dintre cei cinci timpi menționați?

Paradoxul informațional al repausului

Curbura unei curbe ne spune cu ce viteză se schimbă direcția curbei. Dacă direcția curbei nu se schimbă deloc, atunci curbura curbei este nulă. În acest caz, curba este o dreaptă. Dacă direcția curbei se schimbă mereu la fel, atunci curbura curbei este constantă. În acest caz, curba este o porțiune dintr-un cerc.

Dar ce putem spune despre curbura unui punct? Cum se schimbă direcția într-un punct? Habar n-avem! Curbura unui punct este nedefinită. Nu știm ce curbură are un punct. Nu știe nimeni. Și nici nu poate ști. Curbura unui punct este incognoscibilă. Curbura poate fi definită doar pentru curbe care au o anumită lungime nenulă. Avem formula curburii doar pentru curbe. 

Așadar, dacă am putea opri „complet” un corp, atunci informația despre curbura traiectoriei corpului s-ar pierde în neant. 

De asemenea, dacă am putea porni un corp din repaus, atunci informația despre curbura traiectoriei corpului ar apărea din neant. Căci traiectoria unui corp care se mișcă are curbura bine definită.

În concluzie, dacă informația se conservă, înseamnă că repausul este o utopie.

Iar dacă este să aleg, eu prefer mai degrabă să cred că informația se conservă, decât să cred că există repaus. Îmi este mai ușor să îmi imaginez că toate corpurile care îmi lasă impresia că stau sunt de fapt în mișcare imperceptibilă ochiului meu, decât să îmi imaginez o lume în care informația despre curbură apare din neant și dispare în neant.

Opritul este doar aparent, așa cum și pornitul este doar aparent. Corpurile sunt într-o mișcare perpetuă, în așa fel încât informația despre curbura traiectoriei lor să rămână intactă.

Despre eforturile depuse pentru a complica traiectoria unui corp

Deși nu este ceva banal, cred că oricine va fi de acord că pentru a putea complica traiectoria unui corp este necesar să depunem un oarecare efort, deci este necesar să consumăm energie. Altfel spus, traiectoria unui corp nu se complică spontan, de una singură, de capul ei, ci numai cu un oarecare efort depus din exterior. Dacă lăsăm corpul liber, fără să consumăm energie cu complicarea traiectoriei sale, atunci corpul se va deplasa din inerție pe cea mai simplă traiectorie posibilă pentru el.  

Așadar, cred că suntem cu toții de acord că pentru a complica o traiectorie trebuie să consumăm energie. Ar fi interesant de văzut cam câtă energie se consumă pentru a complica o traiectorie. Dar pentru aceasta ar trebui să știm cum putem evalua numeric gradul de complicare a unei traiectorii. Este o problemă dificilă asupra căreia voi mai reveni cu altă ocazie, dar o idee despre rezolvarea ei puteți găsi deja pe acest blog, dacă veți căuta ce am scris despre teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet și elicea generalizată. 

Deci, un corp care se deplasează pe o traiectorie complicată ne transmite informația că el a primit suficientă energie pentru a se deplasa cu o asemenea traiectorie complicată. 

Am spus "a primit", dar de ce nu am spus "primește" din moment ce tendința inerțială  corpului este (mereu), așa cum spuneam mai sus, aceea de a se deplasa pe cea mai simplă traiectorie? Este oare posibil ca un corp să "împacheteze" energia primită la un moment dat și să o transporte cu el mai departe chiar și după ce a încetat să mai primească energie? 

Din fericire, răspunsul este pozitiv. Corpurile pot absorbi energia primită, o împachetează și o transportă astfel cu ele mai departe. Împachetând energia primită, corpul capătă o masă mai mare, devine mai masiv. 

Dar oare prin ce mecanism pot corpurile să împacheteze energia? Prin ce mecanism pot corpurile să ducă cu ele energie? Prin ce mecanism traiectoria corpurilor poate rămâne complicată chiar și departe de sursa care le-a furnizat energia necesară complicării traiectoriei? De ce în unele cazuri energia este împachetată, iar în alte cazuri nu?

Răspunsul este următorul: corpurile împachetează energia doar atunci când traiectoria lor se inchide, adică atunci când pentru un observator care se deplasează "împreună cu corpul" (este solidar cu centrul de simetrie al traiectoriei) traiectoria este închisă. De exemplu, știm că traiectoria unui corp care se deplasează pe un cerc este o traiectorie închisă, deoarece un observator care se află în repaus față de centrul cercului constată că acel corp revine periodic în același loc. 

Închiderea traiectoriei este echivalentă cu fenomenul numit "rezonanță".  Așa cum câmpul electromagnetic se transformă în undă electromagnetică la rezonanță, așa și corpurile ce se deplasează pe traiectorii închise împachetează energia și o transportă cu ele departe de sursa de energie. 

Dar pasul uriaș pe care l-a făcut Fizica elicoidală a fost acela de a postula că întreaga energie pe care o transportă un corp, deci întreaga sa masă, se regăsește în forma traiectoriei acelui corp, în gradul de complicare a traiectoriei sale. Altfel spus, masa unui corp nu este altceva decât o informație despre cât de complicată este traiectoria corpului respectiv.  

Metrici elicoidale

Să presupunem o curbă a cărei curbură este o funcție de timp $\kappa=\kappa(t)$. Conform teoremei lui Taylor, putem descompune această funcție de curbură în serie de puteri și putem neglija termenii de ordin mare.

Dacă neglijăm toți termenii de ordin superior și admitem că curbura este nulă, suntem în cazul metricii euclidiene.

Dacă neglijăm toți termenii de ordin superior dar admitem că curbura este constantă și nenulă (deci prima derivată a curburii este nulă), suntem în cazul unei metrici elicoidale (de ordinul unu).

Dacă neglijăm toți termenii de ordin superior dar admitem că prima derivată a curburii este constantă și nenulă (deci a doua derivată a curburii este nulă), suntem în cazul unei metrici elicoidale (de ordinul doi).

Dacă neglijăm toți termenii de ordin superior dar admitem că a doua derivată a curburii este constantă și nenulă (deci a treia derivată a curburii este nulă), suntem în cazul unei metrici elicoidale (de ordinul trei).

Și așa mai departe...

Cum ar fi dacă s-ar reconstrui teoria relativității generalizate pe această bază? Nu cumva s-ar strecura apoi aici și elemente din Fizica cuantică?

Helical impulse and Darboux vector

Energia şi masa în mişcarea circulară relativistă

Alte legi de mişcare a planetelor

Legile lui Kepler presupun că planetele se mișcă pe traiectorii plane, lucru extraordinar de improbabil și împotriva tuturor rezultatelor matematice fundamentale din teoria curbelor care spun că, alături de curbură, traiectoriile mai trebuie să aibă un parametru indispensabil, numit „torsiune”. Din acest motiv, consider că este necesar să formulăm cu totul alte legi de mișcare a planetelor, izvorâte numai și numai din considerente matematice imbatabile. Am convingerea fermă că matematica nu poate fi contrazisă de niciun experiment, de nicio observaţie. În consecinţă, am şi convingerea că planetele nu se mișcă pe curbe plane, ci pe curbe strâmbe, cu torsiune nenulă. În spiritul acestor convingeri vă voi arăta cum pot fi modificate legile lui Kepler astfel încât acestea să nu fie în contradicţie cu necesitatea firească a existenţei torsiunii, aşa cum rezultă în teoria curbelor din geometria diferenţială.

Înainte de a formula aceste legi de mișcare, este necesar să inițiem cititorul în ceea ce am numit „viteză volumică”. Pentru a înțelege mai ușor această noțiune, vom rememora modul în care a fost definită noțiunea de „viteză areolară”. Astfel, știm că viteza areolară este aria pe care o descrie vectorul de poziție în unitatea de timp. Prin analogie, viteza volumică este volumul pe care îl descrie vectorul de poziție în unitatea de timp.

Mai precis, pentru a determina aria măturată de vectorul de poziție în unitatea de timp am fixat un punct de referință O undeva în spațiu și am ales un punct fix A pe traiectorie. Astfel s-a format un segment de referință, segmentul fix OA. Acum se poate defini un triunghi instantaneu format de punctele fixe O, A și un al treilea punct oarecare variabil X de pe traiectorie la un moment dat. Cele trei puncte formează triunghiul instantaneu OAX a cărui arie ne poate furniza viteza areolară în punctul X, ca fiind derivata în raport cu timpul a ariei triunghiului OAX.

În mod analog, pentru a stabili viteza volumică mai alegem un punct fix B pe traiectorie, pe lângă punctele O şi A. Astfel s-a format un triunghi de referință, triunghiul fix OAB. Acum se poate defini un tetraedru instantaneu format de punctele fixe O, A, B și un al patrulea punct oarecare variabil X la un moment dat. Tetraedrul astfel format va fi OABX, iar volumul său ne poate furniza viteza volumică în punctul X, ca fiind derivata în raport cu timpul a volumului tetraedrului OABX.

Acum putem formula legile propriu-zise:

-1). Planetele descriu elice închise, astfel încât centrul de masă al Sistemului Solar se găseşte pe axa comună a elicelor planetelor.
-2). Viteza volumică a fiecărei planete este constantă.

Legea a treia nu ştiu cum ar trebui adaptată noii teorii, aşa că studiul ei rămâne pe viitor.

Ce părere aveţi, putem construi o nouă teorie a gravitaţiei, pornind de la aceste considerente matematice? O fi ea în acord cu datele experimentale?

Despre primele patru puncte ale traiectoriei unui mobil

Frământat fiind încă de o problemă lansată de omuldinluna pe forumul pentru cercetare (problemă pe care, din păcate, am catalogat-o drept banală), am deschis un drum pentru înţelegerea mai profundă a ceea ce înseamnă o traiectorie, drum pe care îl aduc şi pe blog.

Pentru a determina pe cale experimentală traiectoria unui mobil suntem nevoiţi să facem măsurători ale poziţiilor succesive pe care le ocupă de-a lungul timpului acel mobil în mişcarea sa prin spaţiu. 

Dacă vom determina un singur punct P0 al traiectoriei, aceasta va rămâne totuşi nedeterminată, deşi vom avea o informaţie suplimentară preţioasă prin care am eliminat o groază de îndoieli. Mai exact, având determinat un punct, putem şti deja măcar pe unde trece traiectoria, chiar dacă prin acel punct pot trece o infinitate de alte traiectorii.

Dacă vom mai găsi un punct P1 în care se află mobilul la un moment ulterior, vom fi în situaţia în care cunoaştem deja două puncte distincte ale traiectoriei mobilului. În această situaţie am mai eliminat una dintre nedeterminările noastre privind traiectoria mobilului (nedeterminări în număr infinit). Mai exact, în porţiunea în care am găsit cele două puncte, traiectoria poate fi aproximată cu dreapta unică ce trece prin acele două puncte, dreapta P0P1. Aşadar, cunoscând două puncte distincte ale traiectoriei, cunoaştem dreapta pe care se deplasează mobilul în acea regiune şi chiar şi viteza (medie) cu care se deplasează. Dacă cele două puncte determinate la momente diferite de timp coincid, atunci putem trage concluzia că viteza mobilului este nulă.

Dar, desigur, două puncte nu vor fi suficiente pentru a putea decide care este forma traiectoriei într-o anumită porţiune a ei. Aceasta deoarece între cele două puncte mobilul se poate deplasa într-o infinitate de moduri, pe o infinitate de drumuri ce trec prin acele două puncte. Aşadar, vom purcede la determinarea a încă unui punct ulterior P2 al traiectoriei. Fiind acum în posesia a trei puncte distincte, precizia cu care am determinat traiectoria a crescut. Acum avem nu doar o singură dreaptă ce aproximează traiectoria (dreapta P0P1), ci chiar două asemenea drepte, P0P1 şi P0P2. Dacă cele două drepte sunt distincte (caz în care cele trei puncte P0, P1 şi P2 sunt necoliniare), atunci cunoaştem deja chiar şi planul în care se află traiectoria în acea regiune. Mai exact, cum prin trei puncte distincte trece un unic cerc, dacă cunoaştem trei puncte distincte şi necoliniare ale traiectoriei, atunci traiectoria poate fi aproximată cu cercul unic care trece prin cele trei puncte. Acest cerc are o anumită curbură, deci putem spune că trei puncte distincte ale traiectoriei ne furnizează deja nu doar viteza (cum ne furnizau primele două puncte), ci chiar şi curbura traiectoriei. Dacă cele două drepte determinate la momente diferite de timp coincid, atunci putem trage concluzia că curbura traiectoriei mobilului este nulă.

Evident, nici trei puncte nu vor fi suficiente pentru a ne putea elimina complet orice îndoială privind traiectoria mobilului. Aşadar, determinarea celui de-al patrulea punct P3 nu poate fi decât binevenită. Dar să vedem ce informaţie suplimentară ne aduce acest al patrulea punct. În primul rând, vom presupune că (aşa cum se întâmplă în general) al patrulea punct nu se află în planul primelor trei puncte. Altfel spus, punctele P0, P1, P2 şi P3 sunt necoplanare. În acest caz, cercurile unice P0P1P2 şi P0P1P3 determinate de primele trei puncte şi de primele două cu al patrulea vor fi necoplanare. Din acest motiv, dreptele perpendiculare pe planele celor două cercuri vor face un unghi nenul. Dar acest unghi nenul este tocmai unghiul dintre binormalele la traiectorie. Ori, acest unghi ne dă tocmai torsiunea traiectoriei. Dacă cele două cercuri determinate la momente diferite de timp coincid, atunci putem trage concluzia că torsiunea traiectoriei mobilului este nulă. Dar atunci cu ce poate fi aproximată traiectoria când cunoaştem patru puncte distincte necoplanare (deci şi neconciclice) ale ei?

Înainte de a trece mai departe, voi aştepta o vreme răspunsul la această ultimă întrebare, pentru a mă asigura că s-a înţeles până aici demersul meu. Căci mai încolo am să vă duc pe un tărâm complet nou şi virgin pe care n-a mai călcat nimeni până în prezent: tărâmul de după cele patru puncte, văzut ca o continuare a raţionamentelor anterioare.