Lancretianul este o funcţie polinomială de parametrul canonic?

Ştim că lancretianul unei elice este constant. Mai ştim că lancretianul nu poate să depindă decât de parametrul canonic, căci în fiecare punct al unei traiectorii curbura şi torsiunea sunt bine definite. Dependenţa de timp a lancretianului este inclusă în parametrul canonic, deoarece se consideră că traiectoria a fost parcursă în totalitatea ei şi nu se mai poate schimba în viitor. Aşadar, un lancretian variabil depinde de parametrul canonic.

Dar, din teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet rezultă că dacă traiectoria are un anumit lancretian, atunci traiectoria la care este tangent vectorul lui Darboux este mai simplă şi are ordinul mai mic cu o unitate. Cum o elice are lancretianul constant, rezultă că pentru o traiectorie cu un ordin mai complicată decât o elice lancretianul traiectoriei va fi variabil, în timp ce lancretianul elicei la care este tangent vectorul lui Darboux este constant.

Deci, complicarea unei curbe se manifestă prin creşterea ordinului derivatei funcţiei de parametrul canonic, ce defineşte lancretianul. Şi cum acest raţionament este recursiv, rezultă că lancretianul unei traiectorii este o funcţie polinomială de parametrul canonic.

Să observăm acum încă ceva. Am arătat că întotdeauna putem găsi un reper faţă de care lancretianul traiectoriei să fie o funcţie polinomială de parametrul canonic. Dar noi ştim că aceasta este doar o aproximaţie, căci, de pildă, dacă admitem că Soarele se deplasează pe o dreaptă, atunci concluzionăm că Pământul are lancretianul constant, pe când dacă admitem că Galaxia se deplasează rectiliniu, atunci trebuie să admitem că Soarele are lancretianul constant şi că Pământul are lancretianul variabil. Deci, gradul polinomului este relativ şi depinde de reperul pe care îl considerăm că se deplasează rectiliniu.

Probabil că, faţă de un reper absolut (dacă ar exista aşa ceva), corpurile ar avea un lancretian dat de o funcţie polinomială de grad infinit, precum sunt sinus, cosinus sau exponenţiala. De asemenea, nu este exclus ca pentru corpurile foarte mici şi foarte uşoare precum sunt particulele elementare, atomii şi moleculele (pentru care lancretianul este o funcţie polinomială de grad foarte mare) să fie mai convenabil să considerăm că lancretianul este o funcţie infinit de complicată, precum e cosinus, sinus sau exponenţiala, caz în care am putea obţine nişte concluzii interesante. În acest caz ar apărea o analogie între traiectoriile corpurilor microscopice de lângă noi şi traiectoriile corpurilor mai mari dar aflate foarte departe, în alte sisteme de galaxii, analogie care ar putea explica însăşi abundenţa elementelor uşoare în Univers. Dar asta vă rămâne vouă să verificaţi, deocamdată...