Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet

Abstract:

În acest material prezint iniţial deducerea formulelor lui Frenet, după care arăt că, prin analogie cu raţionamentele lui Frenet, se pot construi triedre Frenet de ordin superior şi se poate demonstra o teoremă de recurenţă a formulelor lui Frenet.

Deducerea formulelor lui Frenet

Să presupunem că în spaţiul euclidian s-a fixat un reper cartezian OXYZ, iar în acest spaţiu se mişcă un punct. În aceste condiţii, vectorul de poziţie  asociat punctului mobil este o funcţie de timp , iar extremitatea acestui vector descrie o curbă numită „traiectoria” mobilului.

Studiind proprietăţile mişcării acestui mobil, matematicianul şi astronomul francez Jean Frédéric Frenet a constatat că se poate construi un triedru drept definit în orice punct al traiectoriei, astfel încât proprietăţile acestui triedru să fie independente de reperul cartezian ales, ele depinzând doar de proprietăţile intrinseci ale traiectoriei descrise.

Primul versor al triedrului de Frenet a fost ales ca fiind „tangenta” (unde punctul indică derivata vectorului în raport cu timpul, vectorul este viteza mobilului, iar scalarul este modulul vitezei). Evident, direcţia tangentei depinde de timp, iar modulul acestui versor este, prin definiţie, mereu egal cu unitatea.

Al doilea versor ales de către Frenet, numit „normală” şi notat cu  a fost mult mai dificil de găsit. O primă condiţie pe care trebuie să o îndeplinească acest al doilea vector constă în perpendicularitatea dintre el şi tangentă. Totuşi, există o infinitate de versori perpendiculari pe tangentă, iar în acest noian de versori trebuie găsit unul care să poată fi determinat cu precizie. Pentru a rezolva această problemă, Frenet a presupus că normala depinde de derivata tangentei. şi a avut dreptate. Mai precis, Frenet a intuit şi apoi a demonstrat că derivata tangentei este perpendiculară pe tangentă. Această descoperire a fost prima mare realizare a lui Frenet! Nu credeţi că derivata tangentei este perpendiculară pe tangentă? Păi, să vedem... Ce ştim despre tangentă? În primul rând ştim ceva foarte important: că este un vector unitar, adică de modul egal cu unitatea. Atunci şi pătratul tangentei va fi egal cu unitatea, adică vom avea . Să derivăm această relaţie în raport cu timpul , deci , adică, produsul scalar dintre tangentă şi derivata ei este nul. Ce concluzie putem trage de aici? Evident, putem trage concluzia că orice vector unitar este perpendicular pe derivata sa, deci şi tangenta este perpendiculară pe derivata sa. Cum derivata tangentei este unică, rezultă că derivata tangentei poate fi utilizată pentru a defini cel de-al doilea versor al triedrului lui Frenet. Acum, definirea normalei este simplă: normala este versorul derivatei tangentei, adică .

Cu acestea, definirea celui de-al treilea şi ultimului versor al triedrului lui Frenet, numit „binormală” şi notat cu , este un fleac: . Din definiţia ei se observă că binormala este un versor perpendicular atât pe tangentă, cât şi pe normală. Aceşti trei versori reciproc perpendiculari constituie un triedru drept, care a fost prezentat lumii pentru prima dată de către Frenet.

O altă etapă importantă a raţionamentelor lui Frenet a constat în descoperirea formulelor care guvernează derivatele versorilor Frenet (versorii triedrului lui Frenet), numite „formulele lui Frenet”.

Ştiind că normala este versorul derivatei tangentei, avem deja dată prima formulă a lui Frenet sub forma , unde este scalarul de proporţionalitate cu dimensiunile unei viteze unghiulare (pe care o vom numi „viteză unghiulară de curbare”) care ne arată cât de repede se îndepărtează traiectoria de la o curbă rectilinie.

O altă formulă a lui Frenet o vom obţine dacă vom studia derivata binormalei. Să arătăm că nu doar derivata tangentei este coliniară cu normala, ci chiar şi derivata binormalei. Din definiţia dată binormalei, ştim că binormala este perpendiculară pe tangentă. Aşadar, trebuie să avem că . Dacă derivăm acest produs scalar, obţinem , deci . Cum , rezultă că . Dar pentru că binormala este perpendiculară pe normală. Înseamnă că , deci derivata binormalei trebuie să fie perpendiculară pe tangentă. Cum binormala este un vector unitar (ca şi tangenta), ea este perpendiculară pe derivata sa, deci derivata binormalei este perpendiculară atât pe tangentă, cât şi pe binormală. Dar singura direcţie perpendiculară simultan pe tangentă şi pe binormală este direcţia normalei. Atunci, putem scrie fascinanta formulă a lui Frenet obţinută de marele savant cu atâta trudă intelectuală, dar şi cu atâta ingeniozitate: , unde este scalarul de proporţionalitate cu dimensiunile unei viteze unghiulare (pe care o vom numi „viteză unghiulară de torsionare”) care ne arată cât de repede se îndepărtează traiectoria de la o curbă plană. Atât semnul, cât şi valoarea acestor parametri se aleg în funcţie de proprietăţile intrinseci ale traiectoriei.

Să determinăm şi ultima formulă a lui Frenet, dată pentru derivata celui de-al doilea vector al triedrului. Cum normala poate fi scrisă şi ca un produs vectorial de forma, vom avea că derivata normalei este . Cum şi , obţinem că .

Aşadar, grupate, cele trei formule ale lui Frenet sunt.

În parametrizarea temporală aleasă pentru derivarea versorilor lui Frenet avem, unde se numeşte „curbura” traiectoriei şi , în care se numeşte „torsiunea” traiectoriei. Curbura este parametrul care ne arată cât de mult se abate traiectoria de la o curbă rectilinie, iar torsiunea ne arată cât de mult se abate traiectoria de la o curbă plană.

Viteza unghiulară cu care se roteşte triedrul lui Frenet este dată de vectorul lui Darboux,  şi rezultă din scrierea formulelor lui Frenet sub forma.

Observaţi că viteza unghiulară a triedrului Frenet nu are componentă pe normală, deci este întotdeauna perpendiculară pe normală. Această constatare este de o importanţă supremă pentru consideraţiile care urmează deoarece o asemenea perpendicularitate ne permite să construim încă un triedru cu proprietăţi foarte interesante.

Forma trigonometrică a formulelor lui Frenet

Înainte de a trece la construirea unui asemenea triedru, introducem notaţiile  şi . Cu aceste notaţii avem ,.

Atunci, formulele lui Frenet pot fi scrise sub forma lor trigonometrică.

Din aceste relaţii rezultă că este tocmai unghiul dintre şi . Dacă acest unghi este nul, atunci traiectoria mobilului este o dreaptă pentru că în acest caz derivata versorului tangentă se anulează. Iar dacă acest unghi este drept, atunci traiectoria mobilului este o curbă plană deoarece derivata binormalei se anulează.

Triedrul Frenet de ordinul 2

Aşa cum am promis, vom arăta acum că, bazaţi pe proprietatea vitezei unghiulare de a fi mereu perpendiculară pe normală, putem defini un nou triedru, de o importanţă comparabilă cu cea a triedrului lui Frenet. Pentru aceasta, să alegem ca prim versor al acestui triedru tocmai versorul vitezei unghiulare, adică . Al doilea versor al noului triedru va fi ales tocmai normala triedrului Frenet, iar al treilea versor va fi ales produsul vectorial dintre primul şi al doilea versor, adică .

Noul triedru, format de versorii va fi numit în continuare triedrul complementar al lui Frenet, sau, mai ales, triedrul Frenet de ordinul 2.

Să arătăm acum ceva extrem de interesant şi anume că triedrul Frenet de ordinul 2 satisface şi el formulele lui Frenet. Pentru aceasta vom deriva versorii triedrului Frenet de ordinul 2, care am văzut că sunt,

şi vom avea:;şi,

deci

.

Aşadar, dacă notăm şi , obţinem că.

Dar acestea sunt tocmai formulele lui Frenet pentru triedrul Frenet de ordinul 2 ! Mai precis, avem.

Prin urmare, suntem justificaţi să introducem următoarele denumiri pentru versorii triedrului Frenet de ordinul 2: numim versorul  tangenta Frenet de ordinul 2, versorul normala Frenet de ordinul 2 şi versorul binormala Frenet de ordinul 2.

Triedrul Frenet de ordinul 3

Să arătăm acum că, aşa cum existenţa triedrului Frenet a implicat existenţa unui alt triedru Frenet de ordin 2, tot astfel, existenţa unui triedru Frenet de ordinul 2 implică existenţa unui triedru Frenet de ordinul 3. Procedăm prin analogie. Cum am ajuns la triedrul Frenet de ordinul 2? De la constatarea că viteza unghiulară a triedrului Frenet este mereu perpendiculară pe normală. Atunci, să vedem dacă şi în cazul triedrului Frenet de ordinul 2 există o viteză unghiulară a acestui triedru şi dacă această viteză unghiulară este şi ea perpendiculară pe normala Frenet de ordinul 2. Dacă ar exista o viteză unghiulară  a triedrului Frenet de ordinul 2, atunci ea ar trebui să aibă următoarele proprietăţi:.

Deci, ar trebui să avem,

şi

Din aceste proprietăţi rezultă că şi .

Aşadar, viteza unghiulară a triedrului Frenet de ordinul 2 este, unde am notat şi .

Acum, dacă mai notăm şi , avem relaţiile , , deci .

De asemenea, , de unde .

Aşadar, acum viteza unghiulară de ordinul 2 poate fi scrisă sub forma,

iar relaţiile anterioare

pot fi scrise astfel.

Se poate observa cu uşurinţă că aceste relaţii scrise pentru triedrul de ordinul 2 sunt identice cu relaţiile

şi, respectiv,

scrise pentru triedrul de ordinul 1 (triedrul lui Frenet). Prin urmare, recursivitatea procesului de construire a unor altor triedre de ordin superior este asigurată.

Teorema de recurenţă

Cu aceste notaţii şi denumiri am pregătit terenul pentru formularea şi demonstrarea unei teoreme care, după opinia mea, este de o importanţă supremă pentru întreaga Fizică.

Vom demonstra următoarea

Teoremă. Dacă există un triedru drept de ordinul care satisface formulele lui Frenet de ordinul scrise sub forma trigonometrică,

atunci există încă un triedru drept de ordinul

care satisface, la rândul său, formulele lui Frenet de ordinul scrise sub forma trigonometrică,

unde şi .

Demonstraţie: Din relaţiileşi

avem că,

deci .

Mai avem ,

de unde .

Derivăm acum versorii triedrului drept de ordinul

şi obţinem.

Înlocuind şi , obţinem.

Dar ştim că, din definiţia versorilor de ordin superior, avem,

deci.

Cum  şi , rezultă în final,

ceea ce trebuia demonstrat.

Descoperirea „live” a acestei teoreme de recurenţă, precum şi o mulţime de consecinţe ale teoremei pot fi găsite pe forumul de astronomie în topicul „Formulele lui Frenet generale”.