Chiar şi vectorul de poziţie trebuie să respecte formulele lui Frenet

-(1010172019) Dacă poziţia este un vector, atunci poziţiei i se poate asocia un triedru (Frenet) care respectă formulele lui Frenet.​ Iar dacă triedrul Frenet asociat poziţiei respectă formulele lui Frenet, atunci el respectă şi recurenţa formulelor lui Frenet. Să vedem atunci ce concluzii pot fi trase din asemenea condiţii.

-(1010172023) Dacă poziţiei i se poate asocia un triedru Frenet, atunci tangenta poziţiei este versorul acesteia, normala este versorul coliniar cu derivata tangentei, iar binormala este produsul vectorial al tangentei şi normalei. Recurenţa formulelor lui Frenet ne spune că cea mai simplă variaţie posibilă pentru vectorul de poziţie este aceea în care raportul dintre parametrul de curbură şi parametrul de torsiune asociaţi poziţiei (deci, lancretianul poziţiei) este constant. Următoarea variaţie posibilă este aceea în care acest raport este constant pentru parametrii triedrului Frenet de ordin imediat superior (numit uneori triedru complementar al lui Frenet). Şi aşa mai departe.

-(1010172034) Interesant este că aceste condiţii impuse pentru variaţia poziţiei ne furnizează o clasificare stranie a sistemelor de referinţă posibile. De exemplu, conform acestor condiţii, primul sistem de referinţă ce trebuie luat în considerare este acela în care toate poziţiile variază în aşa fel încât lancretianul poziţiei este constant. Dar când este constant lancretianul poziţiei? Atunci când unghiul dintre poziţie şi o dreaptă fixă este constant. Dreapta fixă este suportul tangentei triedrului complementar al lui Frenet asociat poziţiei.

-(1010172046) Vreau să înţeleg cum variază (toate) poziţiile în acest prim caz, ca să-mi fac o idee despre ce mişcare trebuie să imprimăm sistemului de referinţă pentru a constata asemenea variaţii ale poziţiilor. Trebuie să avem în vedere faptul că toate poziţiile încep prin a avea aceeaşi origine şi nicio variaţie posibilă nu le mai schimbă ulterior originea, căci, prin definiţie, poziţia în sistemul de referinţă porneşte din originea acelui sistem.

-(1010172058) Ne putem întreba mai simplu întâi (ca să fim şi mai bine înţeleşi) cum se poate mişca un mobil prin spaţiu astfel încât lancretianul poziţiei sale să rămână constant. Apoi va trebui să vedem cum se vor mişca două mobile astfel încât lancretianul poziţiilor lor să rămână constant. Apoi vom încerca să înţelegem cum trebuie să se mişte toate punctele reperului astfel încât lancretianul tuturor poziţiilor să rămână constant.

-(1010172105) Să începem, deci, cu primul mobil. Dacă mobilul stă pe loc, atunci poziţia sa nu variază. Deci, va trebui să considerăm pentru început că mobilul nu stă pe loc, ci se mişcă. Mai simplificăm puţin mişcarea mobilului şi spunem că acesta se mişcă în aşa fel încât nu variază direcţia poziţiei, ci doar modulul acesteia. Într-un asemenea caz, triedrul lui Frenet asociat poziţiei este nedeterminat. Deci, această situaţie nu permite progresul cunoaşterii, motiv pentru care vom amâna şi studiul ei până când vom fi capabili ca, din rezultatele precise obţinute ulterior, să putem concretiza ce se întâmplă când direcţia poziţiei nu variază. Aşadar, trebuie să studiem doar cazul când variază şi direcţia poziţiei.

-(1010172114) Dacă n-am putut să ne bazăm pe simplificarea problemei considerând că variază doar modulul poziţiei, să vedem dacă putem în schimb să deducem ceva relevant în celălalt caz simplu, şi anume, în acela în care variază doar direcţia poziţiei mobilului. Aşadar, studiem cazul în care variază numai direcţia poziţiei, dar în aşa fel încât lancretianul acesteia să rămână constant. Care este legea de mişcare a mobilului în acest caz?

-(1010172119) Dacă modulul poziţiei nu variază, atunci mobilul nu se poate nici apropia şi nici îndepărta de origine, fiind nevoit să se mişte pe suprafaţa unei sfere cu centrul în originea reperului. Ştim deci cel puţin că în acest caz mobilul descrie o curbă sferică. Cum şi lancretianul este constant (nu doar modulul), mai trebuie să ţinem seama că există o dreaptă fixă în reper faţă de care poziţia păstrează un unghi constant. Această dreaptă trebuie să se afle în planul format de tangentă şi binormală. Trece ea obligatoriu prin originea reperului?

-(1010172135) Mamăăăă! Şi când te gândeşti că acesta este abia studiul pentru un singur mobil şi pentru cazul simplu al mişcării pe o curbă sferică! Când vom trece mai departe? Stai aşa! Oare n-am putea să găsim prin calcul aceste legi de mişcare? În cel mai general caz, ar trebui să găsim legea de mişcare ştiind că lancretianul este constant. Hmmm... Asta ar însemna să integrăm nişte ecuaţii diferenţiale. Pare greu, dar merită.

-(1010172147) Important este să înţeleg ce schimbare aduce în forma generală a legii de mişcare faptul că lancretianul poziţiei este constant. Pentru aceasta va trebui să scriem cât mai detaliat legea de mişcare posibilă. Dar oare n-am putea face o transformare prin care vectorului de poziţie să-i asociem un punct ce descrie o elice? Ştim că în cazul mişcării unui punct pe o elice, viteza punctului are lancretianul constant. Deci ar trebui să vedem prin ce transformare trecem de la viteză la poziţie şi cum afectează această transformare calculele. Dar, vai! Nu cunosc nici măcar ecuaţia generală a unei elice! Se pare că va trebui atunci să mă las păgubaş pentru o vreme. Şi să mă mulţumesc cu un obiectiv mai modest (cu care chiar am şi pornit în minte atunci când am început să scriu acest articol): acela de a arăta că translaţia uniformă cu viteză finită este imposibilă.

-(1010172203) Aşadar, este translaţia uniformă cu viteză finită posibilă? Satisface ea formulele lui Frenet şi recurenţa lor? Legea de mişcare a unui mobil care se translatează uniform este  . Cât este lancretianul acestui vector de poziţie?

-(1010172229) De fapt, pentru a arăta că translaţia uniformă cu viteză finită este imposibilă, este suficient să arăt că, nu neapărat lancretianul poziţiei, ci măcar lancretianul traiectoriei are valori ciudate, imposibile în realitate.

-(1010172232) Teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet a arătat că lancretianul unei traiectorii nu poate avea orice valoare şi nu poate varia oricum. Mai precis, a arătat că pentru orice curbă diferită de o dreaptă, oricât de complicată ar fi acea curbă, lancretianul poate fi determinat şi există o dreaptă fixă în spaţiu care poate fi asociată în mod unic acelei traiectorii. Problema este cu ceea ce se întâmplă faţă de un alt observator.

-(1010172308) Pentru un alt observator, mobilul trebuie să descrie o asemenea traiectorie încât şi faţă de acest nou observator să existe o dreaptă fixă şi unică în spaţiu ce poate fi asociată traiectoriei mobilului. De exemplu, dacă în reperul iniţial mobilul a descris o dreaptă, atunci faţă de un observator care se translatează uniform şi cu viteză finită dar neparalel cu acea dreaptă, va trebui ca traiectoria mobilului să fie mai complicată decât o dreaptă, dar să fie doar cu un ordin mai complicată decât o dreaptă, deci va trebui să fie o elice. Dar aşa ceva nu mi se pare posibil. Vă las acum şi pe voi să vă gândiţi la asta...