Curbura şi torsiunea de ordinul 2

În acest material ne propunem să determinăm expresiile curburilor şi torsiunilor de ordinul 2. Va trebui pentru început să vedem ce se înţelege prin curbură sau torsiune de ordinul 2.

​

Presupunem că ştim ce înseamnă curbură sau torsiune (de ordinul 1) şi vrem să vedem care este expresia celor de ordinul 2. Pentru aceasta să ne reamintim ce sunt parametrii de ordinul 2, după care vom determina şi cât sunt aceştia.

​

Desigur, avem şi aici nevoie de teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet. Mai precis, această teoremă ne spune că vectorul lui Darboux este mereu tangent la o curbă cu un ordin mai mic decât curba dată. Curbura şi torsiunea (de ordinul 1 ale) acestei curbe mai simple sunt tocmai curbura şi torsiunea de ordinul 2 ale curbei iniţiale. Aşadar, vom fi nevoiţi să determinăm curbura şi torsiunea curbei la care este tangent vectorul lui Darboux.

​

Ştim că vectorul lui Darboux are drept componente tocmai torsiunea şi curbura curbei al cărei vector Darboux este. Atunci, pentru a determina torsiunea şi curbura de ordinul 2 am putea proceda la determinarea directă a vectorului Darboux asociat curbei mai simple, vector căruia îi vom spune vectorul lui Darboux de ordinul 2, după care să-i studiem componentele sau putem să le calculăm direct folosindu-ne de formulele lui Frenet. Abordăm cea de-a doua metodă.

​

Din prima formulă a lui Frenet aplicată triedrului complementar al lui Frenet (adică, acelui triedru a cărui tangentă (care este, de fapt, tangenta de ordinul 2 a curbei iniţiale) este tocmai versorul vectorului lui Darboux) trebuie să avem că modulul derivatei tangentei (de ordinul 2) în raport cu parametrul canonic este tocmai curbura (de ordinul 2), căci prima formulă a lui Frenet arată că derivata tangentei este coliniară cu normala şi modulul acestei derivate este curbura.

​

Să trecem atunci la calcule. Vectorul lui Darboux este , iar versorul său (adică, prin definiţie, tangenta de ordinul 2) va fi

.

Calculăm acum derivata acestui versor în raport cu parametrul canonic, după care vom extrage modulul rezultatului ca să îl identificăm cu curbura de ordinul 2.

​

Aşadar, derivata tangentei de ordinul 2 va fi

.

Dar ştim că derivata vectorului lui Darboux este . Mai rămâne să calculăm atunci derivata modulului vectorului lui Darboux. Avem

.

Prin urmare, combinând aceste relaţii, derivata tangentei de ordinul 2 va fi

.

Mai departe, dând numitor comun, grupând pe componente, eliminând termenii asemenea şi dând apoi factorii comuni, obţinem

.

Să notăm acum cu  lancretianul (de ordinul 1 al) curbei date şi să observăm că

.

Atunci, derivata tangentei de ordinul 2 devine

.

Ajunşi aici, nu ne mai rămâne decât să extragem modulul acestui rezultat şi să îl identificăm cu curbura de ordinul 2 a curbei date. Aşadar, avem

.

Înainte de a calcula şi torsiunea de ordinul 2, vrem să subliniem acest rezultat sublim

​. 

El ne arată cum un lancretian (de ordinul 1) constant anulează curbura de ordinul 2 a curbei. De asemenea, el ne mai spune că un lancretian infinit (corespunzător unei curbe plane) este echivalent cu un lancretian constant (corespunzător unei elice). Deci, o curbă plană este la rândul ei şi o elice.

​

Uimiţi de frumuseţea acestor rezultate copleşitoare, vom merge mai departe şi vom calcula torsiunea de ordinul 2 a curbei. Cum am putea calcula torsiunea de ordinul 2? Nicicum altfel decât, prin analogie cu modul în care am calculat curbura, folosind cea de-a treia formulă a lui Frenet care ne spune că derivata binormalei (de ordinul 2) este coliniară cu normala (de ordinul 2), iar modulul acestei derivate este tocmai torsiunea (de ordinul 2 a) curbei. Altfel spus, avem de determinat care este binormala de ordinul 2, apoi trebuie s-o derivăm în raport cu parametrul canonic, după care, în fine, vom extrage modulul rezultatului, identificându-l cu torsiunea de ordinul 2.

​

Atunci să determinăm întâi care este binormala de ordinul 2 a curbei. Deşi teorema de recurenţă ne spune de-a gata că binormala de ordin ierarhic superior este tocmai opusul normalei curente, noi nu vom folosi gratuit acest rezultat, ci îl vom obţine din nou aici. Vom porni de la faptul că binormala de ordinul 2 trebuie să fie produsul vectorial dintre tangenta de ordinul 2 şi normala de ordinul 2.

​

Să revedem atunci care este tangenta de ordinul 2 şi care este normala de ordinul 2, după care vom face produsul lor vectorial pentru a obţine binormala de ordinul 2. Prin definiţie, tangenta de ordinul 2 este versorul vectorului lui Darboux, adică

.

De asemenea, după cum rezultă din prima formulă a lui Frenet pe care am aplicat-o mai sus la determinarea curburii de ordinul 2, derivata tangentei de ordinul 2 este produsul dintre curbura de ordinul 2 şi normala de ordinul 2. Aşadar, pentru a vedea cum arată normala de ordinul 2 este suficient să facem raportul dintre derivata tangentei de ordinul 2 şi curbura de ordinul 2. Derivata tangentei de ordinul 2 o avem şi avem şi curbura de ordinul 2, deci avem toate ingredientele necesare pentru a determina şi normala de ordinul 2. Mai exact, avem

.

Să facem acum produsul vectorial necesar pentru a determina binormala de ordinul 2. Avem

,

deci 

,

adică

,

ceea ce este echivalent cu

şi astfel am demonstrat, încă o dată şi independent de teorema de recurenţă, faptul că binormala de ordinul 2 este tocmai opusul normalei.

​

De aici încolo totul este mult mai simplu. Ce a fost mai greu a trecut. Mai greu a fost să determinăm binormala de ordinul 2. Acum, derivata ei ne sare în ochi, fiind o simplă aplicare a celei de-a doua formule a lui Frenet la derivarea normalei. Mai concret, avem

.

​

Ne reamintim acum că din cea de-a treia formulă a lui Frenet rezultă că torsiunea (de ordinul 2) este modulul derivatei binormalei (de ordinul 2). Aşadar

.

Subliniem şi acest rezultat tulburător, căci el trebuie să se întipărească adânc în mintea dragilor mei cititori

. 

​

În concluzie, torsiunea de ordinul 2 este tocmai modulul vectorului lui Darboux. 

​

Mai departe îşi spune cuvântul recurenţa şi totul devine doar o joacă cu indicii noţiunilor utilizate aici, joacă ce poate fi transferată cu uşurinţă calculatorului electronic pentru a determina curbura şi torsiunea de ordine din ce în ce mai mari.​