Despre dovezi

M-a provocat afirmația lui Hitchens: „Ceea ce se afirmă fără dovezi poate fi respins fără dovezi”, pe care am constatat că o folosesc mulți oficiali (a se citi, „superficiali”) în combaterea „pseudoștiinței”.

Problema mea este însăși noțiunea de „dovadă”. Cum dovedim că o dovadă chiar este o dovadă? De exemplu, Galilei a arătat că bila aruncată pe sticlă merge în linie dreaptă și de atunci credem că un corp liber se mișcă rectiliniu, bazați pe „dovezi”. Galilei ne-a prezentat o dovadă? Pe vremea lui nu se știa că o traiectorie mai are și torsiune, nu doar curbură. A mai analizat cineva principiul inerției de când s-a descoperit torsiunea?

Ce altceva putem considera drept dovezi în afară de experimentele macroscopice care se adresează direct simțurilor? Nu cumva toate celelalte experimente sunt INDIRECTE, sunt bazate pe concluziile indirecte și pe INTERPRETĂRILE formulate de cineva pe baza experimentelor macroscopice?

Torsiunea totală și dimensiunile

Din cele spuse în articolul precedent, rezultă că torsiunea totală a unei elice este ${\tau_2=\sqrt{\tau^2+\kappa^2}}$.

Și mai rezultă că torsiunea totală a unei curbe de precesie constantă (elice în jurul altei elice, adică elice de ordinul doi) este $\tau_3=\sqrt{\tau_2^2+\kappa_2^2}$.

Acum, dacă înlocuim pe $\tau_2$ cu $\sqrt{\tau^2+\kappa^2}$, deci pe $\tau_2^2$ cu $\tau^2+\kappa^2$, atunci obținem

$$\tau_3=\sqrt{\tau_2^2+\kappa_2^2}=\sqrt{\tau^2+\kappa^2+\kappa_2^2}.$$

Desigur, am avea și $\tau_4=\sqrt{\tau_3^2+\kappa_3^2}=\sqrt{\tau^2+\kappa^2+\kappa_2^2+\kappa_3^2}$

sau și

$$\tau_5=\sqrt{\tau_4^2+\kappa_4^2}=\sqrt{\tau^2+\kappa^2+\kappa_2^2+\kappa_3^2+\kappa_4^2}$$.

Dar radicalul acela ne sugerează că ar fi vorba de modulul unui vector într-un spațiu cu mai multe dimensiuni, în funcție de câte curburi avem. Deci, ar cam trebui meditat și la asemenea chestii interesante.

Torsiunea totală

În Fizica elicoidală nu există altceva decât (o mulțime numărabilă de) centre de masă care se deplasează cu viteza luminii în vid.

Masa asociată acestor centre de masă este proporțională cu torsiunea totală. Torsiunea totală este o noțiune nouă pe care o vom defini aici.

Dacă traiectoria este o elice de curbură $\kappa$ și torsiune $\tau$, atunci torsiunea totală a acestei traiectorii este $\tau_2=\sqrt{\kappa^2+\tau^2}$.

Dacă traiectoria este o curbă de precesie constantă (elice în jurul altei elice sau, echivalent, elice de ordinul doi), atunci torsiunea totală este $\tau_3=\sqrt{\kappa_2^2+\tau_2^2}$, unde $\kappa_2=\frac{\kappa'\tau-\kappa\tau'}{\kappa^2+\tau^2}$, derivarea făcându-se în raport cu parametrul canonic. Cum centrul de masă se mișcă cu viteza luminii în vid, derivarea în raport cu parametrul canonic este echivalentă cu derivarea în raport cu timpul propriu al centrului de masă.

Observăm că curbura de ordinul doi definită mai sus poate fi scrisă mai simplu în funcție de parametrul $l=\frac{\kappa}{\tau}$, numit „lancretian”. În funcție de lancretian și derivata acestuia, curbura de ordinul doi poate fi scrisă ca $$\kappa_2=\frac{l'}{1+l^2}.$$

Prin recurență, se poate defini astfel torsiunea de ordin superior. Acest ordin crește atât timp cât lancretianul are derivata nenulă. În momentul în care un lancretian are derivata nulă, curbura de ordinul respectiv se anulează și ea, astfel încât nu mai contribuie la creșterea torsiunii. Prin urmare, torsiunea de orice ordin superior devine egală cu torsiunea maximă. Această torsiune maximă este torsiunea totală pe care am definit-o aici. Notăm această torsiune totală cu $\tau_{tot}$.

Astfel, masa centrului de masă care se deplasează pe o anumită traiectorie este dată de $m=\frac{\hbar}{c}\tau_{tot}$, unde constantele ce apar în formulă sunt cele binecunoscute (constanta lui Planck barată și viteza luminii în vid).

De ce se înșurubează fulgerul?

Am întâlnit recent o imagine superbă în care am observat înșurubarea fulgerului.

Și nu doar înșurubarea simplă, ci chiar și înșurubarea înșurubării, așa cum ne învață teorema de recurență a formulelor lui Frenet.

Voi vedeți înșurubările de care vorbesc? Care o fi cauza unor asemenea înșurubări?

Am deschis și pe forum un topic cu acest subiect. Sper să fie dezbateri consistente. De asemenea, am postat imaginea și pe grupul Helical Physics de pe Facebook. Sunt curios, unde voi primi întâi un răspuns interesant.

Paradoxul informațional al mișcării rectilinii

Se știe (https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_no-deleting_theorem, http://van.physics.illinois.edu/qa/listing.php?id=24045 ) că informația conținută într-un sistem nu poate fi nici creată, nici distrusă. 

Așadar, dacă un corp se deplasează pe o anumită traiectorie, informațiile despre curbura și torsiunea traiectoriei respective ar trebui să se conserve, indiferent de transformările suferite de corpul respectiv.

Să presupunem atunci pentru început că, sub influența unor forțe, un corp se deplasează întâi pe o traiectorie a cărei curbură și torsiune sunt nenule și bine determinate, stare pe care o numim „stare inițială”. 

Apoi, în urma unui proces oarecare (de exemplu, eliberarea corpului de forțe), corpul începe să se miște rectiliniu, adică pe o linie dreaptă, stare pe care o numim „starea finală”. Linia dreaptă are curbura nulă, iar anularea curburii ar putea fi corelată informațional cu intensitatea forțelor care au produs starea inițială. 

Problema este, însă, TORSIUNEA. Torsiunea dreptei este imposibil de determinat (https://en.wikipedia.org/wiki/Frenet%E2%80%93Serret_formulas#Special_cases).  Așadar, informația despre torsiunea din starea inițială se pierde iremediabil în starea finală! Dar acest lucru contravine principiului conservării informației.

Desigur, problema se poate și inversa. Se poate considera că în starea inițială corpul se deplasează rectiliniu, după care, în starea finală, începe să se deplaseze pe o curbă cu torsiunea bine definită. În acest caz, informația ar fi creată din nimic, fapt care din nou contrazice principiul conservării informației.

Cum se rezolvă problema? Propunerea mea este Fizica elicoidală, o Fizică în care MIȘCAREA RECTILINIE ESTE IMPOSIBILĂ.

Fizica elicoidală este precum geometriile neeuclidiene

Geometria neeuclidiană diferă de geometria euclidiană printr-un singur postulat: postulatul paralelelor. Mai exact, în timp ce geometria euclidiană spune că „printr-un punct exterior unei drepte putem duce o singură paralelă la acea dreaptă”, geometriile neeuclidiene neagă această propoziție. Și fiecare negație posibilă duce la o geometrie nouă posibilă: dacă admitem că printr-un punct exterior unei drepte nu putem duce nici o dreaptă paralelă la acea dreaptă, obținem geometria eliptică, iar dacă admitem că prin acel punct putem duce mai multe (o infinitate de) drepte paralele cu dreapta dată, obținem geometria hiperbolică. Dar cel mai important este că (prin anularea unui parametru) din geometriile neeuclidiene REZULTĂ geometria euclidiană, dar nu și invers!

Tot astfel, în Fizica elicoidală, postulatul care face diferența este postulatul inerției. Fizica actuală spune că un corp liber se deplasează pe o linie dreaptă, pe când Fizica elicoidală neagă această propoziție. Negația acestei propoziții duce spre o curbă care, spre deosebire de dreaptă, are curbură și torsiune nenule (și constante într-un mediu uniform). Așadar, negația ne duce spre elicea circulară. Apoi, dacă anulăm curbura acestei elice din Fizica elicoidală, obținem Fizica actuală.

Democrația prin Internet

Democrația reprezentativă, bazată pe alegeri, a eșuat, prin corupție. Am tot avut până acum alegeri peste alegeri. Nu vreau să mai aud de acest cuvânt! Alegerile anticipate nu sunt o soluție. Ele nu fac decât să propage în continuare sistemul corupt. Niciun om ajuns acolo sus nu mai poate fi onest, pentru că este ori mituit, ori amenințat.

De-acum singurul lucru în care mai am încredere este votul DIRECT al Poporului, prin internet. Poporul să propună legile direct pe internet, el să le voteze, el să le pună în aplicare. Nu mai este nevoie de Parlament. Parlamentul trebuia într-o societate în care nu exista internetul. Dar de-acum nu mai avem nevoie de porcăria asta numită „Parlament”.

Care-i treaba cu Eminescu?

Din lecturile tinereților mele am aflat că Eminescu ar fi murit de tot felul de boli ciudate. Însă n-am citit nimic ceva argumentat atât de clar despre el. Așa că materialul următor m-a pus pe gânduri. Și tare mă tem că nici astăzi nu stăm mai bine la capitolul „libertate”.

http://gandeste.org/general/adevarul-despre-cum-a-murit-mihail-eminescu-ucis-la-comanda/37025

Centrul Universului și antimateria

Toate sistemele fizice au un centru de masă, centru în care sau din care se presupune (în Fizica elicoidală) că pleacă toate celelalte corpuri ale sistemului respectiv. Corpurile sistemului parcurg elice închise, care au originea în centrul de masă.

În Fizica elicoidală, prin definiție, corpurile nu mai ating niciodată centrul, căci drumul ce trebuie parcurs până la centru este infinit de lung, căci acest drum este cu atât mai întortocheat, cu cât este mai aproape de centru. Altfel spus, centrul sistemului se mișcă pe cea mai întortocheată traiectorie posibilă și de aceea are lancretianul mediu infinit.

Corpurile care se îndepărtează de centru sunt materie, iar corpurile care se apropie de centru sunt antimaterie. Sau invers?

Viteză medie și lancretian mediu

Un corp care se deplasează pe o elice are viteza medie mai mică decât viteza cu care se deplasează el efectiv pe elice. Pentru că degeaba are el sute de kilometri pe oră de-a lungul elicei, din moment ce elicea are spire multe și corpul aproape că nu înaintează deloc.

Avem o formulă pentru viteza medie, în funcție de parametrii elicei. Dacă elicea are curbura $\kappa$ și torsiunea $\tau$, iar corpul se deplasează de-a lungul elicei cu viteza $c$, atunci viteza medie pe care o are corpul este 

$$v=\frac{c}{\sqrt{1+l^2}}.$$

Am notat cu $l=\frac{\kappa}{\tau}$ raportul dintre curbură și torsiune, adică „lancretianul” elicei.

Dacă un corp se deplasează cu viteza $c$ pe o traiectorie mult mai întortocheată decât elicea și are viteza medie $v$, atunci putem vorbi de un lancretian mediu, care rezultă din aplicarea formulei de mai sus. Adică, avem

$$l=\sqrt{\frac{c^2}{v^2}-1}.$$ 

Descompunerea Fourier seamănă cu descompunerea în elice

Se știe că seriile Fourier ne permit să descompunem aproape orice funcție în funcții sinusoidale. Acest lucru este valabil pentru funcții cu graficul în plan.

Tot astfel, teorema de recurență a formulelor lui Frenet ne spune că aproape orice curbă din spațiu (deci, grafic în spațiu) se descompune în elice elementare.

Câmp și substanță

În concepția mea, în lume există o mulțime discretă (numărabilă) de particule cu masă nenulă (substanța) și o mulțime continuă (nenumărabilă) de particule cu masă nulă (câmpul).

Deci, într-un volum finit există un număr finit de particule de masă nenulă și un număr infinit de particule de masă nulă.

Particulele de masă nenulă se deplasează cu viteză mai mică decât a luminii, iar particulele de masă nulă se deplasează cu viteza luminii.

Masa unui volum finit ocupat de substanță este produsul dintre numărul finit de particule aflate în acel volum și masa nenulă particulelor respective (presupuse identice în volumul ales). Masa este în acest caz o sumă.

Masa unui volum ocupat de câmp este dată de produsul dintre numărul infinit de particule aflate în acel volum și masa nulă a particulelor respective. Masa este în acest caz o integrală.

În ultimă instanță, substanța poate fi considerată un câmp foarte dens, iar câmpul poate fi considerat o substanță foarte rarefiată. Orice abordare unilaterală a vreunei laturi a acestei dihotomii trebuie să fie echivalentă cu cealaltă, atât din punct de vedere matematic, cât și fizic.

Cum vi se pare democraţia directă din Elveţia?

Am aflat abia recent (pe Facebook) că în Elveția funcționează un fel de democrație directă, mult mai eficientă decât restul bătăilor de joc numite „democrații”. Nu cumva Elveția o duce așa bine din cauza acestei democrații?

Satelitul unui număr complex

În pregătirea aparatului matematic pe care îl voi utiliza la elaborarea Fizicii elicoidale, introduc aici noțiunea de „satelit al unui număr complex”. 

Definiție. Fie funcțiile de parametrul $t$, $a=a(t)$ și $b=b(t)$. Atunci, numim satelit al unui număr complex dat sub forma algebrică $z=z(t)=a+bi$, numărul complex $$z(t)^{\circ}=c+di,$$ unde $$c=c(t)=\frac{l^\prime}{1+l^2},$$ iar $$d=d(t)=\sqrt{a^2+b^2}.$$ Aici am notat cu $l=l(t)=\frac{b}{a}$ așa-numitul lancretian al numărului complex $z$. De asemenea, putem numi darbuzianul lui $z$ modulul $d=d(t)=\sqrt{a^2+b^2}$ al numărului complex $z$.

Definiția este inspirată din faptul că traiectoriile sateliților planetelor sunt guvernate de sateliții numerelor complexe asociate traiectoriilor planetelor.

Am creat o petiție

Din dragoste pentru toți oamenii, am creat o petiție. Cu cât va fi conștientizată de cât mai mulți oameni, cu atât se vor deschide noi orizonturi pentru îmbunătățirea nivelului nostru de trai, al tuturor. Votați cu inimă deschisă și cu speranța că se va realiza.

Ea are următorul conținut:


„Votați pentru limitarea discrepanței nesimțite dintre bogați și săraci.

Se știe că în prezent nu există o lege care să limiteze superior bogăția. Oricine poate fi oricât de bogat, teoretic, infinit de bogat. Și chiar există oameni atât de bogați încât sunt nevoiți să-și miște banii în hambare cu buldozerul, pentru ca aceștia să nu le mucegăiască. Dar acest lucru are consecințe dezastruoase. Omul bogat poate cumpăra aproape orice. Din păcate, el îi poate cumpăra chiar și pe cei care trebuie să apere legea. Astfel, omul extrem de bogat poate face oricâte lucruri ilegale, căci el poate corupe sau amenința aproape orice om, subjugându-l.

Acum, imaginați-vă că niciun om nu ar putea fi atât de bogat încât să-l cumpere pe alt om. În aceste condiții, nu ar mai exista corupție. Atunci, toate visurile noastre nu ar mai fi îndreptate înspre înavuțire materială, ci înspre înavuțire spirituală, o avere pe care nu ți-o poate manipula nimeni, nu ți-o poate da fără efort nimeni și nici nu ți-o poate lua. Într-o asemenea lume nu ar mai exista oameni care să doarmă pe străzi, nu ar mai exista cerșetori, nu ar mai exista copii flămânzi. Într-o asemenea lume, nivelul de trai nu ar mai putea coborî niciodată, deoarece toți membrii societății ar avea un obiectiv comun: îmbogățirea simultană a oamenilor. Astfel, toată tehnologia noastră, toată cunoașterea noastră, pe care am dobândit-o cu trudă de-a lungul istoriei, s-ar reflecta în creșterea inevitabilă a nivelului de trai al fiecărui cetățean, așa cum e și firesc.

Nu este firesc să existe oameni care nu au muncit nici o zi în viața lor și să-și permită luxul de a călători oriunde în lume. Nu este firesc ca oameni care s-au născut în pielea goală pe această planetă să aibă câștiguri de milioane de euro în timp ce dorm. Nu este firesc să primești mai mult de la societate decât i-ai dat acesteia înapoi. Te-ai născut în pielea goală, niște părinți produși de societate te-au educat și ți-au dat să mănânci, apoi o școală te-a învățat lucruri minunate pe care le-au aflat cu mare trudă și pasiune predecesorii tăi. Așa că nu-ți imagina că poți fi de miliarde de ori mai bogat decât un biet cerșetor care își duce veacul într-o peșteră.

Societate tocmai asta înseamnă: colaborare. Nu junglă. Numai în junglă discrepanța este dată de forța brută. De ce să permitem să existe în societate forță brută, forța banului? Banii, însemnând valoare obținută în comun de societate, trebuie să fie împărțiți frățește între toți membrii societății. Dacă ai ales să trăiești în societate (și bine ai făcut), atunci trebuie să împarți și bunele și relele cu alții.

Într-adevăr, în societate există și oameni leneși. Dar ei sunt niște handicapați, niște oameni bolnavi, iar bolnavii trebuie ajutați. Ei sunt produsul societății, iar societatea trebuie să-și plătească greșelile. Plătindu-și greșelile, va învăța să evite lenea și să-i ajute pe cei care nu știu mai mult decât să fie leneși. Copilul nu se naște leneș, așa că undeva pe parcurs, unii nu sunt învățați cum se cuvine și își pierd apetitul pentru viață. Vom găsi soluții și la această problemă. Dar ea nu trebuie să ne împiedice în drumul nostru pentru realizarea acestui vis minunat: împărțirea frățească a bogățiilor.

Așadar, consider că cea mai valoroasă decizie posibilă pentru o lume mai bună este abolirea discrepanţei dintre bogaţi şi săraci. Prin această abolire înţeleg uniformizarea veniturilor de orice fel, astfel încât cel mai bogat om din lume să nu poată avea o avere mai mare de n-ori decât cel mai sărac om din lume, unde n să fie un număr natural (numit „discrepanţă”) din ce în ce mai mic şi mai apropiat de unitate. Cu cât discrepanţa unei societăţi va fi mai mică, cu atât societatea respectivă va fi mai evoluată, atât material, cât mai ales spiritual.

Am putea începe cu o discrepanță de n=10. Asta ar însemna că cel mai bogat om din lume să fie cel mult de 10 ori mai bogat decât cel mai sărac om din lume. Apoi, în deceniul următor, discrepanța să fie n=9, apoi, peste 20 de ani, discrepanța să fie n=8 și așa mai departe.

Este important să nu confundați lumea propusă de mine cu comunismul. În comunism nu era limitată superior bogăția, căci boșii de sus puteau avea oricâte. Noi vrem o LEGE clară, în care să fie stipulată discrepanța maximă admisă între un bogat și un sărac. Noi vrem să știm că nivelul de trai al omenirii se împarte frățește la toți membrii societății.

Așadar, votați această petiție. Ea vă va rezolva indirect și alte probleme care se cer a fi rezolvate.

Vă mulțumesc pentru atenție!

Cu drag, al vostru Abel”

Teorema de recurență a fost descoperită deja înaintea mea

Am primit în seara asta un email de la la domnul Vladimir Volenec prin care îmi semnalează faptul că teorema de recurență este deja prezentă în lucrări mai vechi, precum http://books.google.ro/books?id=8tgmFQ6EPTIC&pg=PA129&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false

Bucuria pe care mi-a creat-o vreau s-o împărtășesc și cu voi. Sunt bucuros că într-o lume ce părea pustie, a apărut o luminiță ce-mi dă speranța că nu voi rămâne neînțeles și că mai există pasionați ca mine de domeniu.

Noțiunea de elicor

Prin analogie cu noțiunea de vector, vom introduce aici noțiunea de elicor.

Elicorul este o porțiune elementară a unei elice circulare determinată de un pas al acesteia, deci o spiră a elicei, pe care s-a stabilit un sens de parcurs. Astfel, elicorul are următoarele proprietăți:

• Origine. Este punctul din care pornește elicorul.
• Extremitate. Este punctul în care se termină elicorul.
• Direcție. Este axa elicei circulare ce definește elicorul.
• Sens. Sensul în care se ajunge din origine în extremitate.
• Rază. Este raza elicei circulare ce definește elicorul.
• Pas. Este pasul elicei circulare ce definește elicorul.
• Lungime. Este lungimea porțiunii de elice circulară ce definește elicorul.

Observați că elicorul generalizează noțiunea de vector, în sensul că vectorul este un elicor a cărui rază este nulă.

Probleme cu principiul actual al inerției

Să ne imaginăm următorul experiment. O bilă se deplasează cu viteză constantă prin spațiu. La un moment dat, bila începe să emită două fluxuri luminoase în direcții opuse și perpendiculare pe viteză. Prin acest mecanism, bila pierde masă. 

Dar asupra ei nu acționează nicio forță, din moment ce fluxurile luminoase sunt emise în direcții opuse. Așadar, dacă asupra bilei nu acționează forță, atunci impulsul ei trebuie să rămână constant.

Dar am văzut că masa bilei scade, din moment ce ea emite fluxuri luminoase. Și cum impulsul ei trebuie să rămână constant, rezultă că va trebui să crească viteza ei, pentru a compensa scăderea masei.

Dar, principiul actual al inerției ne spune că un corp asupra căruia nu acționează forțe își menține starea de mișcare rectilinie și uniformă.

Cum se împacă aceste lucruri?

Precizări pentru principiul elicoidal al inerției

Știți deja că, spre deosebire de Fizica actuală, în Fizica elicoidală este valabil următorul principiu al inerției:

-un corp liber se mișcă pe o elice circulară (deci, nu pe o dreaptă).

Acum sunt în măsură să aduc precizări suplimentare, cantitative, în legătură cu acest principiu. Astfel, principiul elicoidal al inerției poate fi formulat și mai precis în modul următor:

Un corp liber care se mișcă într-un mediu omogen descrie o elice circulară, al cărei lancretian este dictat de mediu, iar al cărei darbuzian este dictat de corp. Lancretianul depinde de indicele de refracție al mediului, iar darbuzianul depinde de masa corpului.

Reamintesc aici că lancretianul este raportul dintre curbură și torsiune, iar darbuzianul este modulul vectorului lui Darboux. Adică, lancretianul este $$l=\frac{\kappa}{\tau}$$ și darbuzianul este $$d=\sqrt{\kappa^2+\tau^2}.$$

Torsiunea de ordin superior este dată de precesia darbuzorilor

Observați că teorema spune că torsiunea de ordin superior este dată de $\tau_{n+1}=\sqrt{\dot\theta_n^2+\dot\theta_{n-1}^2+\dots+\dot\theta_1^2+\tau^2}$, unde $\tau$ este torsiunea de ordinul cel mai mic, torsiunea fundamentală, care este, probabil, o constantă universală. Aici, unghiurile $\theta_i$ cu indicele de la 1 la n sunt unghiurile cu care precesează darbuzorii respectivi.

De exemplu, pentru elice, toți darbuzorii sunt constanți, deci unghiul de precesie este nul. Pentru curba de precesie constantă (care este o elice de ordinul doi), darbuzorul de ordinul unu variază, dar sunt constanți toți ceilalți darbuzori. Și așa mai departe.

Mai observați că radicalul ce semnifică torsiunea poate fi considerat un fel de „distanță” într-un spațiu n-dimensional.

Interferența ar putea fi explicată și cu teoria corpusculară

Dacă am admite că lumina este alcătuită din corpusculi care se deplasează elicoidal, atunci am putea explica interferența luminii prin faptul că doi corpusculi apropiați ar putea interacționa în modul următor:

Puteți observa din aceste desene că mișcarea elicoidală a particulelor are posibilități mult mai mari pentru explicarea lumii.

Avem o prejudecată fabricată față de sistemul egalitarist?

Tare mă tem că niște capitaliști putred de bogați, care își vântură banii cu buldozerul ca să nu mucegăiască, au reușit să inoculeze și să întrețină prejudecata că sistemul comunist ar fi utopic. Au inițiat această acțiune atunci când și-au dat seama că un sistem bazat pe egalitate ar pune în pericol averile lor fabuloase. Asta i-a determinat să se unească într-o societate secretă ce influențează lumea.

Și chiar mă gândesc că falimentul comunismului a fost stimulat din exterior de asemenea oameni bogați și organizați, care au reușit să corupă sau să înșele oamenii influenți din fruntea fostelor societăți comuniste într-atât încât să producă impresia cetățenilor că egalitatea este utopică și ar duce la dezastre.

Mai cred că sărăcia de pe vremea lui Ceaușescu a fost planificată de către aceștia ca să-i determine pe cetățeni să urască tot ce ține de comunism. Și mai cred că în Coreea de Nord se menține voit această stare pentru a arăta lumii că, chipurile, comunismul, egalitarismul este inuman.

Dar, dimpotrivă, inumană este societatea capitalistă, care nu diferă prin nimic de junglă. Societatea umană ar trebui să progreseze cu fiecare an în care se fac descoperiri tehnologice, iar acest progres trebuie să se reflecte fără excepție în bunăstarea fiecărui cetățean, indiferent de capacitățile acestuia, indiferent de handicapurile sale.

Dragii mei cititori, meditați la aceste lucruri! Nu vă lăsați păcăliți de prejudecata că egalitarismul ar fi utopic. Nu este utopic. Egalitatea financiară (sau măcar limitarea discrepanței dintre bogați și săraci) dintre oameni trebuie stipulată prin lege. Nimeni nu are voie să fie mai bogat decât altul în societate, căci nimeni nu am adus cu noi bogăția din altă lume când ne-am născut. Tot ceea ce am realizat pe Pământ, am realizat datorită semenilor noștri. Niciunul dintre noi nu suntem mai cu coarne ca să avem atât de mult în raport cu alții încât noi să ne vânturăm banii cu buldozerul, iar alții să se spetească muncind doar pentru a plăti rate la bancă.

Soluția este dată de următoarele etape:

• informarea corectă a tuturor oamenilor de bine privind posibilitățile egalitarismului;
• organizarea acestor oameni de bine într-o societate pregătită să înfrunte jungla ce domnește azi în lume;
• conceperea și redactarea unei legi egalitariste;
• promulgarea și aplicarea legii.

Toate necazurile societății noastre provin din faptul că trăim încă într-o junglă în care unii vor și reușesc să aibă mai mult, pe spinarea celor corecți și tăcuți care continuă să muncească sperând că odată și odată le va fi mai bine și lor.

Electronul, un foton încărcat?

Am primit acest linc de la un prieten:

http://www.researchgate.net/publication/267922850_The_Electron_Is_a_Charged_Photon

Autorul acestui articol parcă descoperă rolul elicei în mecanica cuantică. S-o țină tot așa!

Metrici elicoidale

Să presupunem o curbă a cărei curbură este o funcție de timp $\kappa=\kappa(t)$. Conform teoremei lui Taylor, putem descompune această funcție de curbură în serie de puteri și putem neglija termenii de ordin mare.

Dacă neglijăm toți termenii de ordin superior și admitem că curbura este nulă, suntem în cazul metricii euclidiene.

Dacă neglijăm toți termenii de ordin superior dar admitem că curbura este constantă și nenulă (deci prima derivată a curburii este nulă), suntem în cazul unei metrici elicoidale (de ordinul unu).

Dacă neglijăm toți termenii de ordin superior dar admitem că prima derivată a curburii este constantă și nenulă (deci a doua derivată a curburii este nulă), suntem în cazul unei metrici elicoidale (de ordinul doi).

Dacă neglijăm toți termenii de ordin superior dar admitem că a doua derivată a curburii este constantă și nenulă (deci a treia derivată a curburii este nulă), suntem în cazul unei metrici elicoidale (de ordinul trei).

Și așa mai departe...

Cum ar fi dacă s-ar reconstrui teoria relativității generalizate pe această bază? Nu cumva s-ar strecura apoi aici și elemente din Fizica cuantică?

Teorema de recurență a fost publicată

Am bucuria să vă anunț apariția articolului meu privind teorema de recurență a formulelor lui Frenet într-o revistă peer review: https://www.creative-mathematics.cunbm.utcluj.ro/article/the-recurrence-theorem-of-frenet-formulae/

Deoarece nu am plătit pentru Open Access, acolo găsiți abstractul articolului. Dar, în esență, acolo prezint demonstrația teoremei, precum și o serie de consecințe, printre care și elicea generalizată de ordinul n.

Oare chiar nu există sistem de referință absolut?

Ciudată întrebare! Am început să pun la îndoială răspunsul negativ pe care îl dă Știința actuală acestei probleme. Și iată de ce.

Să urmăm îndeaproape faptele. Totul a pornit de la Galilei. Acesta a făcut experimentele lui rudimentare (unele chiar imaginare) și a concluzionat că un observator de pe o corabie, de exemplu, aflată departe de țărm pe un ocean liniștit, nu va putea ști cu ce viteză se deplasează față de malurile oceanului. Ba, mai mult, nici nu va putea ști dacă se deplasează ori ba, din moment ce muștele nu se adună la urma corabiei, iar experimentele făcute pe corabie nu scot în evidență niciun fel de mișcare exterioară.

Noi știm astăzi, însă, că rotația Pământului implică forțe care permit determinarea mișcării acestuia, ceea ce îl face un sistem de referință neinerțial. Așa că, pentru o precizie și mai mare, alegem un sistem de referință legat solidar cu Soarele. Apoi știm că și Soarele se mișcă accelerat în jurul centrului Galaxiei, așa că un sistem de referință și mai precis ar fi unul legat solidar cu Galaxia.

Dar, dacă mergem așa mai departe? Dacă și Galaxia face parte dintr-un alt sistem pe care îl putem considera un sistem de referință inerțial mai bun? Dar, dacă mergem și mai departe? Nu cumva am putea să ajungem la un sistem de referință „maxim”, pe care să-l putem considera sistemul de referință absolut?

De ce se rup spaghetti în mai multe bucăți?

Dacă știam că Feynman nu cunoaște explicația fenomenului, aș fi crescut în ochii mei, căci tare mă tem că explicația este chiar mai simplă decât cea dată pe acest sait: http://sploid.gizmodo.com .

Așa cum se arată pe arxiv (un linc primit de la Mihai Amariuței pe Facebook), știm că ORICE STÂLP LUNG ÎN CĂDERE SE RUPE ÎNAINTE SĂ ATINGĂ SOLUL.

Ei bine, la fel, un fir de spaghetti, fiind lung, are inerție la capăt și nu poate avea o accelerație unghiulară atât de mare pe cât i se impune după rupere.

Interferența particulelor

Astăzi nu se poate considera că lumina este doar un flux de particule, deoarece dacă s-ar presupune că lumina este alcătuită numai din particule, atunci nu s-ar putea explica interferența luminii.

Dar toți fizicienii care au încercat să explice interferența luminii în cazul în care aceasta ar fi constituită din particule au presupus că particulele componente ale luminii s-ar deplasa numai și numai în linie dreaptă.

Dar oare ce s-ar schimba în posibilitățile noastre de explicare a interferenței luminii în modelul ei corpuscular dacă am admite că particulele componente ale luminii se deplasează, de fapt, nu rectiliniu, ci pe elice?

Formulele lui Frenet sunt recursive

Voi începe să vorbesc aici, pe înțelesul celorlalți, despre Fizica elicoidală. Se pare că a venit vremea să fiu și aici la fel de explicit precum sunt pe blogul meu de matematică, deoarece se pare că nimeni nu înțelege mai nimic dacă vorbesc numai pe înțelesul meu.



Matematicianul francez Jean Frédéric Frenet a descoperit că, în orice moment al mișcării sale prin spațiul tridimensional, un corp (sistem) este însoțit de trei vectori foarte speciali, reciproc perpendiculari, de modul egal cu unitatea (vectori care se numesc, din acest motiv, versori). Cei trei versori sunt tangenta, normala și binormala și se pot defini în mod unic, fără niciun echivoc. 

Astfel, tangenta este unicul versor mereu paralel cu traiectoria. Normala este unul dintre infinitatea posibilă de versori perpendiculari pe traiectorie (deci și pe tangentă), dar este singurul versor perpendicular pe traiectorie și, în același timp, coliniar cu derivata tangentei. Iar binormala este un versor care este, de asemenea, perpendicular pe traiectorie (deci și pe tangentă), doar că binormala este perpendiculară și pe normală. Mai exact, binormala este produsul vectorial dintre tangentă și normală.

Mulțimea acestor trei versori se numește „triedrul lui Frenet”, căci Frenet a fost primul matematician care a scos în evidență existența și unicitatea acestor trei versori. 

Frenet nu a scos în evidență doar cei trei versori, ci ne-a dat și o legătură remarcabilă între ei, legătură numită „formulele lui Frenet”. În cuvinte, formulele lui Frenet ne spun că atât derivata tangentei, cât și derivata binormalei, sunt ambele coliniare cu normala. Vă dați seama ce interesant?! Ambele derivate sunt coliniare cu unul și același versor, normala!

Haideți să vedem cum arată efectiv aceste formule ale lui Frenet. Avem un set de trei formule, câte una pentru fiecare versor al triedrului lui Frenet, adică pentru derivata fiecăruia:


$$\color{red}{\dot{\vec T}}=\kappa\vec N;$$
$$\color{blue}{\dot{\vec N}}=-\kappa\vec T+\tau\vec B;$$
$$\color{limegreen}{\dot{\vec B}}=-\tau\vec N.$$

Derivarea se face în raport cu parametrul canonic, adică în raport cu distanța parcursă de corp de-a lungul traiectoriei, dar, dacă vreți, voi puteți folosi derivata (mai simplă) în raport cu timpul, numai că atunci va trebui să țineți seama de viteza cu care se deplasează corpul pe traiectorie (deci va apărea și viteza în formulele lui Frenet). Dacă admitem că viteza este constantă, complicațiile pe care le implică derivarea în raport cu timpul dispar.

Cei doi coeficienți de proporționalitate care apar în formulele lui Frenet se numesc „curbură” și, respectiv, „torsiune”.


Cam în vremea în care Frenet făcea descoperirile sale ce i-au adus nemurirea se năștea un alt mare gigant al matematicii: Jean Gaston Darboux. Printre multele sale realizări, Darboux ne-a mai dăruit un vector important, alături de versorii lui Frenet, vector numit ulterior tocmai „vectorul lui Darboux”. Acesta nu mai este un versor, căci nu mai are modulul egal cu unitatea. Mai exact, vectorul lui Darboux este dat de expresia
$$\vec\Omega=\tau\vec T+\kappa\vec B.$$
Observați dintru început că acest vector al lui Darboux se află în planul format de tangentă și binormală. Asta mai înseamnă că vectorul lui Darboux este perpendicular pe normală. Faptul că vectorul lui Darboux este perpendicular pe normală ne sugerează (cel puțin, mie mi-a sugerat) existența unui nou versor pe care să-l analizăm: versorul vectorului lui Darboux. Notăm acest nou versor cu ${\vec T}_2$. Avem, deci
$${\vec T}_2=\frac{\vec\Omega}{|\vec\Omega|}$$

Și, din moment ce versorul vectorului lui Darboux este perpendicular pe normală, nu cumva am putea construi un nou triedru, format cu acest versor ${\vec T}_2$ și normală și versorul perpendicular atât pe ${\vec T}_2$, cât și pe normală? Ei bine, răspunsul este afirmativ!

Și, mai ales, nu numai că putem construi un nou triedru interesant, diferit de triedrul lui Frenet, ci în mișcarea acestui nou triedru putem regăsi, din nou, formulele lui Frenet! Mai exact, dacă vă veți apuca să derivați versorul ${\vec T}_2$, veți găsi că derivata lui este coliniară cu un alt versor ${\vec N}_2$ și, mai mult, derivata normalei este și ea coliniară cu unul și același versor cu care este coliniară derivata lui ${\vec T}_2$. Totul se petrece întocmai cum s-a petrecut mai sus cu derivata versorilor ${\vec T}$ și ${\vec B}$ despre care am văzut că au derivatele coliniare cu normala (formulele lui Frenet).

Este o descoperire uriașă! Ar trebui să urlu de bucurie! Aș vrea să mă înțelegeți, măcar până aici.

Am obținut azi cartea "Fizica povestită"

După niște peripeții în care am primit vestea tristă de la elefant.ro că stocul s-a epuizat, azi am primit, în sfârșit, cartea impresionantă „Fizica povestită” a lui Cristian Presură.

Este o carte adevărată, deplină. M-au impresionat dimensiunile ei, volumul ei, cuprinsul ei. Abia aștept să găsesc ceva timp pentru a o sorbi. Sunt convins că-mi va da o mulțime de idei pentru Fizica elicoidală.

Aș prefera, totuși, mai degrabă un ebook, decât să umblu cu cartea asta grea după mine. O să vă anunț dacă apare așa ceva.

Nu putem cunoaște simultan curbura și torsiunea

Din principiul relativității (pe care l-am formulat ieri) rezultă că în interiorul unui sistem inerțial nu putem determina simultan curbura și torsiunea traiectoriei pe care se deplasează sistemul. Căci lancretianul este raportul dintre curbură și torsiune. Iar dacă am putea determina simultan curbura și torsiunea, atunci am putea determina lancretianul, fapt ce ar contraveni principiului relativității.

Să fie acesta un semn de apropiere cu principiul lui Heisenberg? Și să fie acesta un semn de apropiere între Fizica relativistă și Fizica cuantică?

Principiul relativității în Fizica elicoidală

Am bucuria să vin cu o noutate deosebită privind Fizica elicoidală: principiul relativității.

Astăzi s-a ridicat ceața pe care o mai aveam în minte privitor la acest aspect și am posibilitatea să formulez acest principiu pentru Fizica elicoidală.

În Fizica elicoidală, un sistem este inerțial dacă lancretianul său este constant. Ei bine, principiul relativității în Fizica elicoidală spune următoarele:
-Prin nicio experiență efectuată în interiorul unui sistem inerțial nu se poate determina valoarea lancretianului.

Începe adevărata revoluție în Fizică! Încep să mi se clarifice din ce în ce mai multe lucruri.

Darbuzorii au inerție

Numesc „darbuzor” tocmai vectorul lui Darboux, ca să nu tot lungesc vorba când povestesc despre acest vector. De fapt, așa cum ne spune teorema de recurență a formulelor lui Frenet, nu există doar un singur vector al lui Darboux, ci există o infinitate de asemenea vectori. Deci, există o infinitate de darbuzori.

Dar cel mai interesant lucru posibil este faptul că acești darbuzori... au inerție! Nu putem modifica oricum darbuzorii traiectoriei pe care se deplasează un corp. Avem nevoie de timp pentru a-i putea modifica!

De altfel, tocmai în aceasta constă esența Fizicii elicoidale, în relevarea faptului că darbuzorii au inerție.

Am putea simula întreaga Fizică în programul Maxima?

Am început să mă gândesc la simularea întregii Fizici în programul Maxima. Mai exact, aș dori să văd cum pot modela în acest program noțiuni precum „impuls”, „forță”, „căldură”, „corp”, „traiectorie”, „ecuație de mișcare”, „gravitație”, „constanta lui Planck” și mai știu eu ce alte chestii.

E posibil? Dacă da, cum? Ce credeți voi despre toate acestea?

Gata, profesorul de Fizică Iohannis m-a convins să mă duc la vot

Urmărind emisiunea de la Digi24, profesorul de Fizică Iohannis m-a convins să mă duc la vot. Cu toate că știu că votul meu va fi paralizat de votul altor sute de analfabeți, mai risc o dată și mă duc la vot. Nu-mi fac iluzii prea mari, căci demagogia are o mulțime de fațete, dar pentru mine este important și cum vorbește (gândește) omul, chiar dacă nu va avea faptele cu care s-a lăudat.

A apărut „Fizica povestită”!

În sfârșit, putem beneficia de cartea mult așteptată „Fizica povestită” la editura Humanitas. Sunt convins că toți pasionații de Fizică au așteptat-o și mulți dintre ei o vor cumpăra (este o carte consistentă și costă sub 100 de lei). Domnul Dr. Mircea Pentia, de la Institutul Național de Fizică și Inginerie Nucleară, București-Măgurele, cercetător științific asociat CERN, Geneva, se exprimă foarte frumos față de această carte, referindu-se la ea ca la o „muzică” ce încântă sufletul. Eu îmi permit să vă recomand această carte, dacă iubiți Fizica.

Aproape că m-a convins să mă duc la vot

Am urmărit aseară dezbaterea dintre cei doi candidați la președinție. Aproape că m-a convins să mă duc la vot. Oricum, sunt trist pentru nivelul slab al ambilor candidați. Când mă gândesc câți oameni capabili are România, nu pot pricepe de ce trebuie să aleg unul dintre aceștia doi.

The bodies tend to be associated in such a way that the total helical impulse vary as little as possible

The bodies tend to be associated in such a way that the total helical impulse vary as little as possible

What is a mystery in actual Physics, in Helical Physics is a confirmation. The helical impulse of a group of bodies is less variable than the helical impulse of a single body. More specifically, the bodies tend to be associated in such a way that their total helical impulse to be conserved. This means that the total helical force should be as small as possible.

Corpurile tind să se asocieze în așa fel încât impulsul elicoidal total să varieze cât mai puțin

Ceea ce pentru Fizica actuală este un mister, pentru Fizica elicoidală este o confirmare. Impulsul elicoidal al unui grup de corpuri este mai puțin variabil decât impulsul elicoidal al unui singur corp. Mai precis, corpurile tind să se asocieze în așa fel încât impulsul lor elicoidal total să se conserve. Asta înseamnă că forța elicoidală totală trebuie să fie cât mai mică.

“Sperm aggregation is one of the more enigmatic adaptations to sperm competition”

https://www.sciencenews.org/article/mouse-sperm-parties-make-straight-swimmers

Helical impulse and Darboux vector

Mass of turbulence

Turbulence and dark matter

Turbulence and dark matter

Lately, I just keep thinking about that the helical Physics make a significant prediction: a turbulent fluid has the mass greater than a laminar fluid. This is because in helical Physics the mass depends on the shape of the trajectory, being proportional to the darbuzian of trajectory, and the constant of proportionality may be reduced Planck constant.

Hence it follows that the mass provided of dark matter could be given from the turbulent fluid mass in the Galaxy. Thus, it would not be needed looking to any other substances in the universe, but it would be good enough to understand the link between turbulence and mass.

Turbulenţa şi materia întunecată

În ultima vreme mă tot gândesc că Fizica elicoidală face o previziune importantă: fluidul turbulent are masa mai mare decât fluidul laminar. Aceasta deoarece în Fizica elicoidală masa depinde de forma traiectoriei, fiind proporţională cu darbuzianul traiectoriei, iar constanta de proporţionalitate ar putea fi constanta redusă a lui Planck.

De aici ar mai rezulta că masa furnizată de materia întunecată ar putea fi dată de masa fluidului turbulent din Galaxie. Astfel, nu ar fi nevoie de căutarea vreunei alte substanţe în Univers, ci ar fi suficient să înţelegem bine legătura dintre turbulenţă şi masă.

My congratulations to researchers from Turkey!

 My congratulations to researchers from Turkey!

 I found something interesting: http://arxiv-web3.library.cornell.edu/pdf/1404.7369.pdf! It seems, leisurely-leisurely, the others also come after me. They also is approaching to recurrence theorem. My congratulations to researchers from Turkey!

 Felicitările mele cercetătorilor din Turcia!

Am găsit ceva interesant: http://arxiv-web3.library.cornell.edu/pdf/1404.7369.pdf ! Se pare că, copăcel-copăcel, vin şi alţii pe urmele mele. Se apropie şi ei de teorema de recurenţă. Felicitările mele cercetătorilor din Turcia!

A fundamental hypothesis about the speed module of bodies

The generalized helices of consecutively order is Mannheim pairs

A corollary of the theorem of recurrence

The generalized helix

Contemporary science is based erroneously on appeal to authority

Contemporary Science is based erroneously on appeal to authority

We all know that scientific ideas, no matter how valuable it is, not yet taken into account if they come from the profane, but only if it is found published in prestigious journals, with the competent authorities, so schooled or with much money. Also, prestigious journals do not publish material submitted by laymen or poor (and not even answer them).

More recently, even the most important scientific forums on the free internet are administrators and moderators that delete or close threads as they cut their head, sometimes without understanding a word of what is written by the author. Moreover, it actually ban respective authors of ideas, stifling unashamedly the authors ability to make logical arguments in favor of ideas that they support.

In conclusion, contemporary Science is subject to rude logical error: appeal to authority. How can we change this? How can we get rid of the appeal to authority in science? How can free science from this logical error?

Ştiinţa actuală se fundamentează eronat pe apelul la autoritate

Ştim cu toţii că ideile ştiinţifice, oricât de valoroase ar fi, nu sunt luate încă în seamă dacă provin de la profani, ci doar dacă se regăsesc publicate în reviste prestigioase, cu autori şcoliţi sau cu bani. De asemenea, revistele prestigioase nu publică materiale trimise de profani sau de cei săraci (şi nici măcar nu le răspund acestora).

Mai nou, chiar şi pe forumurile ştiinţifice mai importante de pe internetul liber există administratori şi moderatori care şterg sau închid topicele după cum le taie lor capul, uneori fără să înţeleagă o boabă din cele scrise de autor. Ba mai mult, aceştia chiar îi banează pe autorii ideilor respective, înăbuşind cu neruşinare capacitatea autorilor de a aduce argumente logice în favoarea ideilor pe care ei le susţin.

În concluzie, Ştiinţa actuală este supusă unei erori logice grosolane: apelul la autoritate. Cum putem schimba asta? Cum putem scăpa de apelul la autoritate în Ştiinţă? Cum putem elibera Ştiinţa de această eroare logică?

The circular helix is the necessary and sufficient curve

The circular helix is the necessary and sufficient curve

Suppose we want to know with largest possible accuracy the trajectory of a material point in space. We know that it can not be known with infinite precision, but only with some approximation. We are interested, therefore, which is the curve that best approximates the trajectory of the material point.

To determine this curve we have available the successive positions of material point determined at different moments of time. If we could have an infinite number of such successive positions, even when we could not be sure that we have all necessary points of trajectory, because the infinity can be countably or uncountably. So, anyway have to resort to approximations.

Then, the next question to ask is what kind of approximations we use, realizing that we can not have every points of trajectory. A first solution that comes to mind is commonly used today, namely the solution based on the assumption that between two successive points observed material point would move just on straight line. If material point would really move on straight, then of course, our assumption would be great.

But, alas, what if after several successive points we find that our material point does not move along a straight line, but on a more complicated curve? Can we also admit that is justified our assumption that the material point has moved in a straight line? Obviously not.

Then we may admit eventually that between the first two successive our material point has moved along a straight line, and between the following two successive points the material point has moved along an another straight line and so on. Such an approach would be correct? Nooooooo! Not even this approach would not be correct, because the material point can not pass suddenly from one straight line to another. No body in the universe can move in this way, so can not turn such suddenly if it has mass. So, no! We can not allow the division of trajectory in straight line segments! Therefore, the straight line is not sufficient to approximate the trajectory.

So we have to look for another solution. Another solution would be to smooth out more the trajectory and to admit that the material point moves, not in line segments, but in circular arcs. We thus obtain a more realistic approximation, which may take into account the curvature of the trajectory. Just that, in this case, we should consider three points, not two as in the line segments, because only in three points passing a unique circle.

Gooooood. So circular arcs. But is this approach sufficient? Did not appear the problems that occurred in the case of straight line segments? Did not appear here also some sudden jumps? Hmmm ... Well, let's see. The circle is a plane curve. So, if we find that the trajectory is a plane curve after any period of time, then we could say that the approximation curve with a sequence of circles is reasonable.

But, as we have not been limited to the straight line, we can not restrict on any such assumption with circles. Material points do not move in the plane curves, except in very, very specific or non-existent cases. Or, if the point does not move in the plane curves, then the triplets of points located on the trajectory we would provide circles in different planes. And switching from one plan to another, again, can not be done suddenly, but gradually, smoothly. So, circle is insufficient, also. We need to go further, to seek other solutions.

The next solution would be the circular helix. As we saw, the circular helix is at least necessary to pass from the straight trajectory to the curved trajectory in plan and from the curved trajectory in plan to the trajectory curved in space. Let us see then if it meets our fastidiousness. Let's see if it meets all the requirements to approximate the trajectory.

We can observe first that the circular helix not assume any sudden jump. Circular helix does not require us to make sudden jumps from one straight line to another, or from one plan to another plan. Why? Because it gives us the curvature and torsion. The straight line does not give us anything, no curvature, no torsion, and the circle does not give us the torsion, although gives us curvature. Circular helix, however, gives us both.

Good. If circular helix gives us both, then it is sufficient? Of course. Because anything other than curvature and torsion we do not need. Curves in space are completely described by the curvature and torsion. In conclusion, the circular helix is necessary and sufficient for approximating the curves. Therefore, it is not fair to split a trajectory into straight line segments or circular arcs either, but only into portions of the circular helix.

So, it is unfair to limit ourselves to pairs of points for straight line segments or triplets of points for circular arcs, but we must evaluate the quadruplets of points to fix a single circular helix passing through these four points. In principle, accurate approximation of the trajectory analyze oneby one the quadruplet of observed points and make a smooth connection between all possible quadruplets that we obtain with the observed points. With n points we have combination of n taken by 4  circular helices that approximate the curve. Go ahead!

Elicea ciculară este curba necesară şi suficientă

Să presupunem că dorim să cunoaştem cu o acurateţe cât mai mare traiectoria unui punct material prin spaţiu. Ştim că aceasta nu poate fi cunoscută cu precizie, ci doar cu o oarecare aproximaţie. Ne interesează, deci, care este curba ce aproximează cel mai bine traiectoria punctului material.

Pentru a determina această curbă avem la dispoziţie poziţiile succesive ale punctului material, determinate la diferite momente de timp. Dacă am putea dispune de o infinitate de astfel de poziţii succesive, nici măcar atunci nu am putea fi siguri că avem toate punctele necesare traiectoriei, căci infinitul poate fi numărabil sau nenumărabil. Aşadar, oricum trebuie să recurgem la aproximări.

Atunci, următoarea problemă care se pune este la ce fel de aproximări vom recurge, conştienţi fiind de faptul că nu putem dispune de toate punctele traiectoriei. O primă soluţie care ne vine în minte este aceea folosită azi în mod frecvent, anume soluţia bazată pe presupunerea că între două puncte succesive observate punctul material s-ar deplasa tocmai pe o dreaptă. Dacă punctul material s-ar deplasa cu adevărat pe o dreaptă, atunci, desigur, presupunerea noastră ar fi minunată.

Dar, vai, ce ne facem dacă după câteva puncte succesive constatăm că punctul nostru material nu s-a deplasat pe o dreaptă, ci pe o curbă mai complicată? Mai putem admite ca fiind justificată presupunerea noastră că punctul s-a deplasat pe o dreaptă? Evident, nu.

Atunci am putea admite eventual că între primele două puncte succesive punctul s-a deplasat pe o dreaptă, apoi între următoarele două puncte succesive punctul s-a deplasat pe o altă dreaptă şi tot aşa mai departe. Ar fi corectă o asemenea abordare? Nuuuuuuuuuuu! Nici această abordare nu ar fi corectă, deoarece punctul material nu poate trece brusc de la o dreaptă la alta. Niciun corp din Univers nu se poate deplasa astfel, nu poate coti atât de brusc, dacă are masă. Deci, nu! Nu putem admite împărţirea traiectoriei în segmente de dreaptă! Aşadar, dreapta nu este suficientă pentru aproximarea traiectoriei.

Aşa că va trebui să căutăm o altă soluţie. Altă soluţie ar fi să mai netezim puţin traiectoria şi să admitem că punctul material se deplasează, nu pe segmente de dreaptă, ci pe arce de cerc. Am obţine astfel o aproximare mai realistă, care ar putea ţine seama de curbura traiectoriei. Doar că, în acest caz, ar trebui să luăm în considerare trei puncte, nu două ca în cazul segmentelor de dreaptă, căci doar prin trei puncte trece un cerc unic.

Buuuuun. Deci, arce de cerc. Dar este această abordare suficientă? Nu cumva apar problemele care au apărut în cazul segmentelor de dreaptă? Nu cumva apar şi aici nişte salturi? Hmmm... Păi, să vedem. Cercul este o curbă plană. Aşadar, dacă am constata că traiectoria este o curbă plană după orice interval de timp, atunci am putea spune că aproximarea curbei cu o succesiune de cercuri este rezonabilă.

Dar aşa cum nu ne-am putut limita la drepte, nu ne putem limita nici la o asemenea presupunere cu cercurile. Punctele materiale nu se mişcă pe curbe plane, decât în cazuri foarte, foarte, foarte particulare sau poate chiar inexistente. Ori, dacă punctul material nu se mişcă pe curbe plane, atunci tripletele de puncte aflate pe traiectorie ne-ar furniza cercuri aflate în plane diferite. Iar trecerea de la un plan la altul, din nou, nu se poate face brusc, ci treptat, lin. Aşadar şi cercul este insuficient. Trebuie să mergem mai departe, să căutăm alte soluţii.

Următoarea soluţie ar fi elicea circulară. După cum am văzut, elicea circulară este cel puţin necesară pentru a trece de la traiectoria dreaptă la traiectoria curbată în plan şi de la traiectoria curbată în plan la traiectoria curbată în spaţiu. Să vedem atunci dacă ea ne satisface capriciile. Să vedem dacă ea îndeplineşte toate cerinţele de aproximare a traiectoriei.

Putem observa în primul rând că elicea circulară nu mai presupune niciun salt brusc. Elicea circulară nu ne obligă să facem salturi bruşte de la o dreaptă la o altă dreaptă, ori de la un plan la alt plan. De ce? Pentru că ea ne dă şi curbură şi torsiune. Dreapta nu ne dădea nimic, nici curbură, nici torsiune, iar cercul nu ne dădea torsiune, deşi ne dădea curbură. Elicea circulară, însă, ni le dă pe amândouă.

Bun. Dacă elicea circulară ni le dă pe amândouă, este ea atunci şi suficientă? Desigur. Pentru că altceva în afară de curbură şi torsiune nu ne mai trebuie. Curbele din spaţiu sunt complet descrise de curbură şi torsiune. În concluzie, elicea circulară este necesară şi suficientă pentru aproximarea curbelor. De aceea, nu mai este corect să împărţim o traiectorie în segmente de dreaptă şi nici în arce de cerc, ci numai în porţiuni de elice circulară.

Aşadar, nu este corect să ne rezumăm la perechi de puncte pentru segmente de dreaptă sau la triplete de puncte pentru arce de cerc, ci trebuie să evaluăm cvadruplete de puncte pe care să fixăm elicea circulară unică ce trece prin acele patru puncte. În principiu, pentru aproximarea corectă a traiectoriei analizăm câte un cvadruplet de puncte observate şi facem o legătură armonioasă între toate cvadrupletele posibile pe care le obţinem cu punctele observate. Cu n puncte observate vom avea combinări de n luate câte 4 elice circulare ce aproximează curba. Daţi-i bătaie!