Cercetări despre cerc, elipsă şi elice

-(1009101251) Mă tot paşte o frământare şi nu-mi dă pace. Se pot deplasa corpurile şi altfel decât pe geodezica unui spaţiu? Nu cumva traiectoria lor este tocmai geodezica spaţiului în care se află ele?

-(1009110744) Vorbeam în cercetările anterioare de faptul că o ciocnire plastică închide traiectoriile. Asta înseamnă că traiectoriile închise trebuie să aibă o importanţă supremă în Fizică. Păi, să analizăm atunci traiectoriile închise!

-(1009110747) Cea mai simplă traiectorie închisă este cercul. Cercul este prima curbă închisă pe care trebuie să o analizăm şi în corelaţie cu faptul că un punct fizic materializează o curbă închisă. Cercul are curbura nenulă şi torsiunea nulă. Deci lancretianul cercului este infinit.

-(1009110813) Din teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet ştim că, oricât de complicată (sau de simplă) ar fi o curbă, există o dreaptă fixă, constantă, pe care o putem asocia acestei curbe, dreaptă pe care am numit-o axa generală a curbei. Asta înseamnă că şi unui cerc îi putem asocia axa generală. Evident, axa generală a unui cerc este o dreaptă perpendiculară pe planul cercului.

-(1009110820) Ştim că o dreaptă nu are curbură dar poate avea torsiune şi ştim că un cerc nu are torsiune dar poate avea curbură. Se pune problema de a stabili care este legătura dintre torsiunea axei generale a cercului şi curbura cercului. Pentru a rezolva problema este suficient să ne folosim de relaţia dată prin teorema de recurenţă, care ne spune că torsiunea de ordin superior este radicalul sumei pătratelor curburii şi torsiunii de ordin inferior, adică .

-(1009110826) Aşadar, torsiunea axei generale a cercului este egală cu curbura cercului, căci torsiunea cercului este nulă. Mai mult, dacă curbura cercului este constantă, atunci şi torsiunea axei sale generale este constantă. Evident, dacă curbura nu este constantă, curba plană implicată nu mai este cerc, ci este probabil elipsă. Dar şi elipsa are o axă generală. Şi, de asemenea, torsiunea axei generale a elipsei trebuie să fie variabilă ca şi curbura elipsei.

-(1009110848) Însă, în cazul torsiunii constante a axei generale asociate cercului nu apăreau complicaţii, dar în cazul unei torsiuni variabile se pune problema locului în care asociem o anumită torsiune dreptei respective. Pentru a rezolva problema, va trebui să admitem că axa generală a elipsei trebuie asociată locului de pe elipsă. De aici ar mai rezulta că fiecărui punct de pe elipsă îi asociem o dreaptă unică de torsiune unică egală tocmai cu curbura elipsei în acel punct.

-(1009110912) Ştim că elipsa poate fi considerată un cerc proiectat pe un plan înclinat. Ce ne-ar putea spune această informaţie în legătură cu axa generală a elipsei? Am putea deduce că această axă nu mai este perpendiculară pe planul elipsei?

-(1009111003) Mă gândesc că am putea considera că axa generală a elipsei într-un punct este perpendiculară pe cercul asociat elipsei în acel punct. Cercul asociat elipsei într-un punct ar putea fi un cerc înclinat din a cărui proiecţie rezultă elipsa respectivă. Dar nu ştiu dacă cercul asociat ar trebui să aibă rază constantă sau ar trebui să aibă raza egală cu raza de curbură a elipsei în punctul respectiv.

-(1009111059) Prea multe complicaţii cu elipsa asta! Oare chiar trebuie analizată pentru fundamente? Nu este suficient cercul? Elipsa e tare ciudată, atât pentru faptul că lungimea elipsei este de o complexitate echivalentă cu a unei integrale eliptice, cât şi pentru faptul că mai avem şi dependenţa curburii în orice punct de ambele semiaxe ale elipsei. Din aceste motive mă gândesc să amân studiul elipsei până ce nu voi ajunge să am motive mai bine întemeiate pentru a o reintroduce în studiu.

-(1009111107) Până atunci, să revenim la cercul nostru simplu. Deci, spuneam că cercul este cea mai simplă curbă închisă. Aşadar, cercul are o valoare supremă pentru fundamentele Fizicii elicoidale. Dar atunci de ce nu numesc noua Fizică drept „Fizică circulară” şi nu „Fizică elicoidală”? Bună întrebarea! Cred că am găsit şi răspunsul (destul de vechi): cercul este o curbă plană, este cea mai simplă curbă din plan, nu şi din spaţiu, dar spaţiul este scena fenomenelor fizice, nu planul, aşa că cea mai simplă curbă din spaţiu este mai relevantă pentru fundamente decât cea mai simplă curbă din plan.

-(1009111116) Bine, bine, dar contează care este cea mai simplă curbă dintr-un domeniu sau contează care este cea mai simplă curbă închisă din acel domeniu? Având în vedere faptul că „închiderea” unei curbe nu este o noţiune invariantă, independentă de reper (căci dacă un observator vede că un corp se deplasează pe un cerc, atunci un alt observator (în mişcare faţă de primul) va vedea acel corp mergând pe o curbă deschisă), am putea să renunţăm la a mai pune aşa mare preţ pe proprietatea de închidere a unei curbe şi să punem accentul pe simplitatea unei curbe.

-(1009111121) Mai există un argument interesant pentru aceasta! Dacă cercul este cea mai simplă curbă din plan şi totodată cea mai simplă curbă închisă din spaţiu, atunci nu cumva elicea este cea mai simplă curbă din spaţiu şi totodată cea mai simplă curbă închisă din spaţiul cuadridimensional? Interesant! Elicea, curbă închisă?

-(1009111126) Dar, apropo, pentru a rămâne în această linie a relaţiei dintre elice şi cerc, ce putem spune despre elicea de curbură (şi torsiune) variabilă, despre relaţia ei cu o elipsă? Dacă elipsa este un cerc înclinat, atunci nu cumva şi elicea de curbură variabilă este o elice de curbură constantă „înclinată” în spaţiul cuadridimensional? Din teoria relativităţii restrânse, ştim că „înclinarea” în spaţiul cuadridimensional înseamnă deplasarea cu o anumită viteză. Atunci elicea de curbură variabilă este o elice de curbură constantă văzută de un observator în mişcare cu o anumită viteză?