Cercetările mele din luna februarie 2010
(Joi, 4 februarie 2010)
-(20:56). Care este forma generală a ecuaţiei unei elice? Cunoscând faptul că raportul dintre curbura şi torsiunea elicei este constant, câte tipuri mari de elice am putea determina? Am înţeles că există elicea circulară, elicea conică, elicea sferică, etc. Cum am putea determina forma generală a unor asemenea elice?
-(21:08). Problema directă o putem rezolva uşor. Mai exact, cunoscând ecuaţia unei curbe, putem determina uşor raportul dintre curbură şi torsiune, folosind, de exemplu, programul de calcul Maxima.
-(21:12). Mai dificilă pare a fi însă problema inversă. Adică, dându-se funcţia ce exprimă curbura şi cea care exprimă torsiunea şi eventuali alţi parametri necesari, se cere să se stabilească ecuaţia curbei ale cărei torsiune şi curbură sunt cele date.
-(22:14). Dată fiind ecuaţia curbei
ştim că valoarea curburii acestei curbe este dată de
torsiunea este dată de
iar raportul dintre curbură şi torsiune va fi dat de
(Luni, 8 februarie 2010)
-(22:42). Dacă raportul dintre curbură şi torsiune este constant, atunci derivata acestui raport este nulă. Mai precis, avem
Cum torsiunea este nenulă, obţinem
sau încă
-(22:42). Împărţind ultima egalitate cu produsul dintre curbură şi torsiune, obţinem
de unde rezultă
-(22:53). Hmmm, dar asta nu mă ajută la nimic! Căci mă duce la concluzia simplă şi evidentă conform căreia
concluzie pe care o puteam obţine şi direct din constanţa raportului.
-(23:01). Probabil, mai simplu ar fi să analizez faptul că pentru o elice modulul vitezei unghiulare cu care se roteşte triedrul Frenet poate varia numai în modul, iar această variaţie poate fi şi sinusoidală. În acest caz, problema determinării formei generale a unei elice este echivalentă cu problema determinării curbei atunci când cunoaştem modulul vitezei unghiulare a triedrului Frenet al curbei.
(Vineri, 12 februarie 2010)
-(20:41). Mă tot gândesc să folosesc cumva Maxima pentru a face cu el raţionamente. Acest lucru este important deoarece calculatorul m-ar putea scuti rapid de munca de rutină pe care trebuie să o fac atunci când încerc să descopăr noi legi ale naturii.
-(20:45). Aşadar, trebuie să stabilesc ce este rutinier în activitatea de cercetare. Îmi vine în minte acum că determinarea valorii de adevăr a unei propoziţii ar putea fi considerată o muncă de rutină. Tot muncă de rutină ar putea fi considerată şi formularea unei propoziţii aleatoare din mulţimea propoziţiilor posibile.
-(20:52). Aş putea formaliza destul de simplu un limbaj utilizând ceea ce poate face Maxima cu listele. De exemplu, aş putea considera că orice propoziţie este o listă în care primul element este predicatul logic, iar următoarele elemente ale listei ar fi argumentele predicatului.
-(20:56). De asemenea, am putea formaliza cam în acelaşi mod şi obiectele, pentru că Maxima ştie să lucreze şi cu liste de liste.
(Luni, 15 februarie 2010)
-(18:09). Dacă, aşa cum am presupus recent, impulsul unui sistem este, de fapt, cel coliniar cu tangenta triedrului complementar al lui Frenet şi nu cel coliniar cu tangenta triedrului Frenet, atunci în mişcarea pe o elice sinusoidală variază numai modulul acestui impuls, iar forţa este coliniară cu impulsul.
(Marţi, 16 februarie 2010)
-(21:53). Dacă una dintre ecuaţiile unei elice este dată de
şi cum raportul elicei nu depinde de 
-(22:07). Mai rămâne să verificăm dacă orice elice poate fi adusă la foma
-(22:13). Dacă facem schimbarea de variabilă 
-(22:30). Sau, având în vedere că
mai putem scrie ecuaţia unei elice ca fiind
-(23:01). Acum ar fi interesant de văzut cum intervin versorii reperului cartezian interpretaţi ca fiind componentele cuaternionilor în relaţie cu numărul complex i ce apare în scrierea exponenţială a funcţiilor trigonometrice.
-(23:11). În acest sens, să mai observăm că există o legătură profundă între versorii reperului cartezian (care sunt în repaus) şi versorii triedrului complementar al lui Frenet (care sunt în mişcare). Mai precis, tangenta triedrului complementar al lui Frenet este mereu coliniară cu axa OZ, iar normala şi binormala acestui triedru formează cu axele OX şi OY unghiuri variabile în timp, rămânând totuşi în plane paralele cu planul XOY.
(Joi, 18 februarie 2010)
-(12:49). Avem o problemă cu elicele anterioare: toate sunt constante, adică au curbura şi torsiunea constante, deci nu este constant doar raportul dintre cei doi parametri. Deci n-am rezolvat nimic prin variaţia lui 
-(13:21). Poate că problema pusă este echivalentă cu problema determinării geodezicelor pe o suprafaţă asemănătoare unui cilindru de grosime variabilă. Atunci, ar trebui scrisă ecuaţia unui asemenea cilindru şi apoi calculată ecuaţia geodezicelor pe acest cilindru.
(Duminică, 21 februarie 2010)
-(9:16). Cea mai sigură metodă de rezolvare a acestei probleme ar fi utilizarea soluţiilor obţinute pentru ecuaţiile diferenţiale cu derivate parţiale. Pentru aceasta ar trebui să concretizez ecuaţia sau ecuaţiile, după care să caut soluţiile. Însă o asemenea activitate pare foarte laborioasă acum, aşa că voi mai încerca să caut pe internet, să văd dacă nu cumva această problemă a fost deja rezolvată, ca să nu mă chinui eu cu ea.
-(9:21). Căutarea pe internet ar putea da rezultate eficiente doar dacă voi şti să folosesc eficient cuvintele cheie necesare căutării. Aşadar, ce cuvinte să folosesc în căutare pentru a găsi forma generală a unei elice? Voi începe folosind expresia (am amânat căutarea expresiei).
-(10:17). Prin calcul, cu ajutorul lui Maxima, am găsit ceva foarte, foarte interesant! Am găsit că raportul dintre curbura şi torsiunea curbei
îşi schimbă doar semnul dacă interschimbăm între ele funcţiile 
este 
va fi 
-(10:28). Mai mult, acelaşi lucru se întâmplă şi dacă interschimbăm între ele oricare alte două funcţii din definiţia curbei. Altfel spus, raportul îşi schimbă semnul dacă se schimbă orientarea reperului cartezian.
-(11:25). Am făcut o sinteză a proprietăţilor pe care le poate avea acest raport şi am clarificat existenţa unei noţiuni foarte importante căreia eu i-am dat denumirea de raport Frenet.
(Miercuri, 24 februarie 2010)
-(13:30). Dacă toate corpurile se deplasează cu viteza luminii, atunci nicio influenţă din Univers nu le poate modifica modulul vitezei, ci numai direcţia acesteia. Nu avem voie să uităm acest lucru! Şi trebuie să ne bazăm pe el în toate consideraţiile noastre!
-(13:33). Am reamintit acest fapt pentru că în acest context trebuie înţeleasă bine legătura dintre energia cinetică şi cea potenţială. Mai precis, dacă toate corpurile au viteza luminii, înseamnă că numai energia lor potenţială se poate modifica, pe când energia cinetică a oricărui corp rămâne mereu neschimbată.
-(13:50). Cât de verosimilă este această concluzie privind energia cinetică? Dacă energia cinetică a unui corp nu se schimbă în cursul mişcării sale, atunci cât este această valoare? Depinde ea de reper?
-(14:14). Să ne-nţelegem! Atunci când acceptăm că un corp are viteza luminii, ne referim la faptul că reperul este întregul Univers. Atunci când folosim un alt reper, deja trebuie să reducem viteza corpului faţă de reperul respectiv.
-(14:24). Mai putem observa că Universul nu este altceva decât o structură ca oricare alta, cu deosebirea că ordinul acestei structuri este considerat maxim din punct de vedere practic. Totul depinde de gradul de diversitate pe care îl au corpurile studiate. Dacă acestea pot fi considerate ca făcând parte din aceeaşi structură, atunci ordinul structurii este gata stabilit.
-(14:31). Interesantă este şi viteza maximă pe care o asociem structurii considerate Univers. Dacă viteza depinde de ordin şi dacă ordinului unu îi corespunde viteza luminii iar ordinului zero îi corespunde o viteză infinită, înseamnă că e posibilă existenţa unei structuri universale faţă de care să admitem că avem viteză infinită? Oare gravitaţia este caracteristică ordinului zero iar electromagnetismul este caracteristic ordinului unu? Ce vreau să spun aici?
-(14:36). Ştim că toate corpurile unei structuri au, din punct de vedere teoretic, o traiectorie cu aceeaşi axă generală comună. Ce se întâmplă dacă, printr-o metodă oarecare (de exemplu, pornim motorul unei mici rachete ataşate corpului), deviem puţin axa generală a traiectoriei unui corp dintr-o anumită structură? Intuiţia ne spune (şi, parcă ceva teoremă de-a lui Poincare demonstrează, dar în alte cuvinte) că, după trecerea unui oarecare interval de timp, corpul deranjat (excitat) va reveni în structura din care a fost scos. Nu este aceasta cumva tocmai manifestarea gravitaţiei?
-(14:49). Corpurile unei structuri au aceeaşi axă generală pentru că toate au pierdut în timp orice energie suplimentară ce ar fi putut să le mişte altfel. Evident, dacă energia cinetică nu se poate modifica într-o structură, atunci vom admite că doar energia potenţială este cea care poate face diferenţa între corpurile unei aceleiaşi structuri.
-(15:10). Ar fi interesant de studiat şi ce se întâmplă cu două structuri vecine. Mai precis, aş vrea să înţeleg prin ce pot diferi axele celor două structuri şi ce se întâmplă când un corp dintr-o structură trece în cealaltă structură. Am impresia că dacă perturbăm doar puţin corpul de probă, acesta rămâne în cadrul primei structuri prin intermediul gravitaţiei, dar dacă perturbăm mai mult acest corp de probă, atunci se produc modificări fundamentale în traiectoria sa datorită cărora corpul iese din structura iniţială şi se poate alătura structurii vecine. Acest ultim proces poate fi pus pe seama unor cauze electromagnetice.
-(15:16). Cam asta este vorbăria privind relaţia dintre gravitaţie şi electromagnetism. Vorbăria e frumoasă, dar formulele ar fi şi mai şi. Din raţionamentul anterior, să însemne oare că electromagnetismul diferă de gravitaţie doar cantitativ, doar prin valoarea acelui impuls iniţial pe care i-l furnizăm corpului de probă?
-(15:26). S-ar mai părea că procesul de trecere de la o structură la alta implică fenomene cuantice manifestate prin salturi. De aceea, este foarte important de văzut în ce măsură curbura şi torsiunea unei traiectorii pot fi făcute responsabile de asemenea efecte cuantice. Şi trebuie văzut atunci cum intervine constanta lui Planck în fenomenele macroscopice, de exemplu, în formulele ce caracterizează inelele lui Saturn.
-(15:37). Poate că dacă mă va obseda suficient de mult această chestiune de-a lungul vieţii, voi reuşi să găsesc un firicel roşu de care să mă ţin în concretizarea formulelor necesare. Dacă nu cumva nişte îngeri mai isteţi decât mine o vor face mai repede, spre bunăstarea întregii omeniri.
(Vineri, 26 februarie 2010)
-(19:36). Dacă raportul Frenet al unei mişcări (deci al unei traiectorii parcurse de un corp în mişcare) nu depinde de nicio proprietate a spaţiului, rămânând invariant la rotaţii, translaţii şi dilatări, atunci el nu poate depinde decât de proprietăţile timpului. Altfel spus, raportul Frenet al unei curbe este cel care ne spune cum trece timpul în spaţiul ce conţine curba respectivă.
-(19:45). Această constatare este în armonie cu faptul că raportul Frenet este un pseudoscalar, neavând nimic vectorial în el, întocmai ca şi timpul.
-(19:57). Având în vedere faptul că timpul curge la fel pentru un observator oarecare, aş putea fi îndreptăţit să susţin că raportul Frenet al oricărei curbe are aceeaşi valoare pentru un anumit observator, rămânând să difere doar radicalul Frenet al curbelor.
-(20:06). Ar mai însemna că raportul Frenet depinde de viteză, fiind din ce în ce mai mic faţă de un observator din ce în ce mai rapid.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Comentariile vor fi moderate în măsura timpului meu disponibil, după care vor apărea pe blog. Voi încerca să public doar comentariile consistente sau interesante sau adevărate sau corecte sau la obiect. Voi căuta să le elimin pe cele din care nu avem nimic de învățat sau pe cele care afectează negativ mintea cititorului sau reclamele fără legătură cu blogul. De asemenea, voi face tot posibilul să răspund la comentariile care cer un răspuns. Vă mulţumesc pentru efortul vostru de a scrie în lumina acestor consideraţii!