Căutați ceva anume?

duminică, 28 martie 2010

Axa unei curbe

Despre axa unei curbe


    Ştim că orice curbă din spaţiul tridimensional are curbură şi torsiune şi mai ştim că un corp real nu poate dispărea dintr-un loc ca să apară într-altul şi nici nu poate avea parte de acceleraţii infinite precum ar permite matematica. De aici rezultă că traiectoriei unui corp i se poate asocia un triedru Frenet bine definit.

    Acest triedru Frenet se roteşte în jurul unei drepte perpendiculare pe normala triedrului Frenet. Existenţa acestei drepte ne permite să mai definim un triedru asociat curbei, a cărui tangentă este versorul dreptei date, a cărui binormală este normala cu semn schimbat a triedrului Frenet şi a cărui normală este produsul vectorial dintre noua binormală şi noua tangentă. Am numit acest nou triedru cu numele de triedrul complementar al lui Frenet.

    Derivatele versorilor săi satisfac şi ele formulele lui Frenet, ceea ce înseamnă că triedrul complementar al lui Frenet este, la rândul său, un triedru Frenet pentru o altă curbă mai simplă decât curba iniţială.

    Dar procesul prin care am găsit triedrul complementar al lui Frenet nu se termină odată cu determinarea acestui triedru, ci poate fi continuat în aceeaşi manieră la nesfârşit (fapt demonstrat de teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet), până când ajungem în fine la o elice şi apoi la o dreaptă, după care orice altă curbă mai simplă decât o dreaptă este dreapta însăşi.

    Această dreaptă finală la care ajungem datorită recurenţei formulelor lui Frenet este unică şi poate fi considerată o dreaptă caracteristică a traiectoriei corpului. Am numit această dreaptă cu numele de axă generală a traiectoriei.

    Există posibilitatea interesantă ca această axă a traiectoriei să aibă un rol foarte important în Fizică. Mai precis, spre deosebire de ceea ce spune principiul inerţiei, este posibil ca traiectoria unui corp macroscopic liber să fie mult mai complicată decât o dreaptă şi este posibil ca axa generală a traiectoriei respective să fie tocmai dreapta la care se referă principiul inerţiei.

    Această posibilitate devine o certitudine în Fizica elicoidală, ea fiind postulată prin axioma traiectoriei. Altfel spus, în Fizica elicoidală, principiul cunoscut al inerţiei are o formă mai concretă şi este o consecinţă logică a teoremei de recurenţă a formulelor lui Frenet.



Postări populare

A apărut o eroare în acest obiect gadget

Arhivă blog

Etichete

Persoane interesate