Căutați ceva anume?

miercuri, 14 noiembrie 2007

Paradoxul lui Ehrenfest și mecanica cuantică

Există în Fizică un paradox foarte important, descoperit de Ehrenfest. El constă într-o situaţie problematică legată de contracţia lungimilor. Astfel, fie un inel de rază r ce se roteşte în jurul axei sale cu viteza unghiulară . Pentru observatorul O, care constată rotaţia inelului, fiecare porţiune de pe inel se deplasează de-a lungul său cu viteza liniară . În consecinţă, O trebuie să constate un inel contractat la lungimea , unde este lungimea de repaus a inelului. Dar, dacă lungimea inelului s-a contractat, înseamnă că s-a contractat şi raza lui pentru că raza unui cerc şi lungimea lui sunt direct proporţionale. Dar raza inelului se deplasează perpendicular pe viteză, deci, conform cu relativitatea restrânsă, n-ar trebui să se contracte. Aici este marea dilemă a lui Ehrenfest: „se contractă raza inelului, sau nu ?”.

În cele ce urmează, voi prezenta rezolvarea acestei dileme şi voi arăta care sunt consecinţele rezolvării ei. Raza inelului SE CONTRACTĂ, iar acest fenomen NU CONTRAZICE teoria relativităţii restrânse pentru că deplasarea de-a lungul unei drepte este echivalentă cu deplasarea de-a lungul unui cerc cu raza infinită, caz în care viteza unghiulară este nulă, deci şi contracţia razei este nulă.

Să urmărim acum implicaţiile pe care le are mişcarea de rotaţie asupra inelului. Fie r0 raza de repaus a inelului. Avem . Scoţându-l pe r obţinem

.

Ultima relaţie ne spune cum se contractă raza inelului în funcţie de viteza unghiulară. Observăm că dacă este nulă, atunci raza inelului este tocmai raza lui de repaus, ceea ce confirmă încă o dată rezolvarea paradoxului, iar dacă este infinită, atunci raza inelului se anulează. Dar mai putem observa un lucru extrem de important, pe care îl vom lua deseori în considerare: dacă este infinit, atunci ! Ce înseamnă aceasta ? Înseamnă că dacă un inel avea în repaus raza infinită, atunci când se roteşte cu viteza unghiulară are rază finită. Vom vedea că inelele care au avut în repaus raza infinită au o importanţă primordială în Fizică, fapt pentru care voi numi astfel de inele tocmai INELE ELEMENTARE.

Să aprofundăm acum dinamica inelului. Fie masa de repaus a inelului. Avem relaţia binecunoscută . Înlocuind , obţinem fascinanta relaţie

.

Această relaţie ne spune că dacă este nulă, atunci masa inelului este egală cu masa lui de repaus, iar dacă este infinită, atunci masa inelului este şi ea infinită. Tot această relaţie ne mai spune că masa de repaus a unui inel elementar trebuie să fie nulă. Mai putem observa că , adică produsul este un invariant, căci nu depinde de viteza unghiulară.

Să vedem acum ce se întâmplă cu valoarea momentului cinetic al unui inel în rotaţie. Ştim că . Înlocuind cu valorile de repaus, obţinem . Împărţind cu şi înmulţind cu c obţinem în final

.

Ultima relaţie este de o importanţă covârşitoare, căci ea ne spune că momentul cinetic al unui inel nu poate depăşi o anumită valoare , chiar dacă devine infinită. În acest context, aş dori să vă reţin atenţia cu proprietăţile momentului cinetic al unui inel elementar. Am văzut că pentru inelul elementar este adevărat că şi că . Atunci, pentru inelul elementar este adevărat că . Deci, momentul cinetic al inelului elementar este constant şi nu poate fi decât o constantă universală pe care o voi nota cu . Aceste constatări m-au făcut să unesc în titlul acestui articol teoria relativităţii cu mecanica cuantică. De aici până la a susţine că toate corpurile sunt formate din inele elementare nu este decât un pas, pe care nu îl voi face aici. O asemenea încercare trebuie să ţină seama şi de orientarea momentului cinetic, ceea ce ar fi prea mult pentru acest material.

Mai trebuie să discutăm despre energia cinetică a unui inel care se roteşte. Notând , , şi făcând calculele obţinem

,

de unde rezultă că, pentru un inel elementar, pentru care avem ,

,

relaţie care consolidează legătura dintre particulele elementare şi inelul elementar. Mai putem observa aici că, la viteze unghiulare mici, , deci , ceea ce arată că, la viteze unghiulare mici, expresia energiei cinetice de rotaţie capătă forma nerelativistă cunoscută până în prezent.

A mai rămas de spus ceva în legătură cu forţele care acţionează asupra inelului. Ştim că forţa centripetă care ţine inelul pe traiectoria circulară este . Aşadar, pentru inelul elementar, forţa centripetă va fi

,

relaţie despre care îmi place să cred că aminteşte de electrostatică şi cred că explică de ce nu explodează electronul. Oricum, am o puternică bănuială că studiul aprofundat al inelului elementar, coroborat cu ceea ce ştim despre forţa Coriolis, ne va duce undeva în domeniul unificării tuturor interacţiunilor. Până atunci, nu pot decât să sper că am reuşit cumva să amplific interesul fizicienilor contemporani pentru mişcarea de rotaţie.

Bibliografie

  • R. Feynman, „Fizica modernă”, volumul 1;

  • Dicţionar de mecanică”, Editura ştiinţifică şi enciclopedică, Bucureşti, 1980, coordonator Caius Iacob;

  • Vlaicu Sorin "Electronul inel", Editura Eurobit, Timişoara, 1997.

8 comentarii:

  1. Dar nu am inteles ceva. Raza e perpendiculara pe directia miscarii si totusi tu o tratezi ca si cand ar fi paralela cu directia miscarii. Nu te contrazici? Sau nu am inteles eu ceva...

    RăspundețiȘtergere
  2. Salut, anonim! Felicitări că ai aprofundat această problemă interesantă!

    Totuşi, dilema pe care ţi-ai pus-o tu este inerentă paradoxului observat de Ehrenfest, iar rezolvarea ei constă în eliminarea presupunerii că un segment perpendicular pe direcţia mişcării nu s-ar contracta.

    În alte cuvinte, contracţia razei nu derivă din eventualitatea că ea ar fi paralelă cu direcţia mişcării, ci din contracţia lungimii cercului, care lungime este paralelă cu direcţia mişcării.

    Deci, nu am tratat raza ca fiind paralelă cu direcţia mişcării, ci am tratat raza ca fiind proporţională cu lungimea cercului. Iar dacă lungimea cercului se contractă şi raza este proporţională cu lungimea, rezultă că şi raza se contractă.

    RăspundețiȘtergere
  3. Continuu comentariul meu de mai devreme. Nu stiu daca ai facut paralela dar fotonul pare un cerc elementar: fara masa de repaos, daca se opreste dispare sau zic eu sau tu ca raza este infinita [desi nu stiu daca in dimensiunea noastra]. Felicitari. Am sa citesc cu interes ce scrii.
    aaaaa
    Si inca un comentariu. Il fac aici pt ca mi-e lene sa trec pe celalalt articol.Ai demonstrat cumva ca geodezica nu este o curba ci o elicoida? Spatiul ar fi atunci de o torsura ciudata rau...
    Cu respect C.A

    RăspundețiȘtergere
  4. m00nkiller, observaţia ta că fotonul poate fi pus în analogie cu inelul elementar şi, mai ales, că fotonul oprit ar fi echivalent cu un cerc de rază infinită este o dovadă că gândeşti profund şi că merită să investeşti timp în cercetare.

    Cât despre geodezică, am pornit de la rezultatul matematic din geometria diferenţială a curbelor conform căruia elicea este cea mai simplă curbă din spaţiu şi aşa am ajuns la necesitatea de a lua în considerare proprietăţile fascinante ale torsiunii, ajungând la concluzia că merită să-mi dedic viaţa studiind aceste lucruri.

    RăspundețiȘtergere
  5. Trebuie sa ma duc sa-mi fac temele. Spre rusinea mea nu-ti pot confirma sau infirma daca elicea e sau nu cea mai simpla curba. Iar nu mai dorm...
    Presupun ca ai considerat spatiul Riemannian cuadrimensional. Mai vorbim...maine cred ...daca reusesc sa-i dau de cap.

    RăspundețiȘtergere
  6. Am intrat total in ceata. Da, s-ar putea sa ai dreptate dar, nu stiu, ceva nu-mi da pace. Pana la urma cate dimensiuni are spatiul? 3,4,5
    acum citesc despre o forma a ecuatiilor TRG in 25 de dimensiuni. Nu stiu daca in conditiile astea se mai mentine o reprezentare intuitiv-geometrica a traiectoriei unui punct material. Cum putem determina experimental numarul dimensiunilor ascunse?

    RăspundețiȘtergere
  7. Răspunsul privind numărul dimensiunilor ni-l poate da uşor experienţa. Câte dimensiuni există după cum spune experienţa? Nici mai mult, nici mai puţin decât trei dimensiuni spaţiale.

    Există teorii care nu sunt capabile să explice lumea altfel decât apelând la dimensiuni suplimentare, iar asemenea teorii sunt inferioare teoriilor care pot să explice lumea fără să facă apel la nicio dimensiune suplimentară.

    Apoi, există teorii care pot explica lumea chiar dacă apelează la dimensiuni suplimentare, iar asemenea teorii sunt echivalente celor care pot explica lumea uzând numai de cele trei dimensiuni spaţiale observate experimental.

    De aici rezultă că teoriile care explică lumea folosindu-se de dimensiuni suplimentare sunt cel mult echivalente cu teoriile care pot explica lumea folosind trei dimensiuni spaţiale. Rămâne posibilitatea ca aceste teorii multidimensionale să fie mai simple decât teoriile tridimensionale (vezi exemplul prin care ecuaţiile lui Maxwell se pot scrie condensat în spaţiul cuadridimensional prin folosirea d'Alembertianului aplicat la cuadripotenţial şi cuadricurent).

    Atunci, nu ne rămâne decât să ne concentrăm suficient de mult la cele trei dimensiuni spaţiale şi să extragem toate consecinţele posibile dintr-o asemenea cercetare. Elicea este una dintre consecinţele strălucitoare ale tridimensionalităţii spaţiului. Şi nu avem dreptul s-o neglijăm până când nu suntem siguri că am înţeles-o suficient :) .

    Ok, dar hai să facem un efort şi să continuăm discuţia acolo unde îi e locul. Când îţi va trece lenea :) caută un loc mai potrivit.

    RăspundețiȘtergere
  8. S-a strecurat o mică greşeală în formula care defineşte momentul cinetic (viteza unghiulară nu trebuie să apară la pătrat), dar această greşeală nu s-a propagat la alte formule, restul fiind corecte.

    RăspundețiȘtergere

Comentariile vor fi moderate în măsura timpului meu disponibil, după care vor apărea pe blog. Voi încerca să public doar comentariile consistente sau interesante sau adevărate sau corecte sau la obiect. Voi căuta să le elimin pe cele din care nu avem nimic de învățat sau pe cele care afectează negativ mintea cititorului sau reclamele fără legătură cu blogul. De asemenea, voi face tot posibilul să răspund la comentariile care cer un răspuns. Vă mulţumesc pentru efortul vostru de a scrie în lumina acestor consideraţii!

Postări populare

Arhivă blog

Etichete

Persoane interesate