Paradoxul lui Ehrenfest și mecanica cuantică

Există în Fizică un paradox foarte important, descoperit de Ehrenfest. El constă într-o situaţie problematică legată de contracţia lungimilor. Astfel, fie un inel de rază r ce se roteşte în jurul axei sale cu viteza unghiulară . Pentru observatorul O, care constată rotaţia inelului, fiecare porţiune de pe inel se deplasează de-a lungul său cu viteza liniară . În consecinţă, O trebuie să constate un inel contractat la lungimea , unde este lungimea de repaus a inelului. Dar, dacă lungimea inelului s-a contractat, înseamnă că s-a contractat şi raza lui pentru că raza unui cerc şi lungimea lui sunt direct proporţionale. Dar raza inelului se deplasează perpendicular pe viteză, deci, conform cu relativitatea restrânsă, n-ar trebui să se contracte. Aici este marea dilemă a lui Ehrenfest: „se contractă raza inelului, sau nu ?”.

În cele ce urmează, voi prezenta rezolvarea acestei dileme şi voi arăta care sunt consecinţele rezolvării ei. Raza inelului SE CONTRACTĂ, iar acest fenomen NU CONTRAZICE teoria relativităţii restrânse pentru că deplasarea de-a lungul unei drepte este echivalentă cu deplasarea de-a lungul unui cerc cu raza infinită, caz în care viteza unghiulară este nulă, deci şi contracţia razei este nulă.

Să urmărim acum implicaţiile pe care le are mişcarea de rotaţie asupra inelului. Fie r₀ raza de repaus a inelului. Avem . Scoţându-l pe r obţinem

.

Ultima relaţie ne spune cum se contractă raza inelului în funcţie de viteza unghiulară. Observăm că dacă este nulă, atunci raza inelului este tocmai raza lui de repaus, ceea ce confirmă încă o dată rezolvarea paradoxului, iar dacă este infinită, atunci raza inelului se anulează. Dar mai putem observa un lucru extrem de important, pe care îl vom lua deseori în considerare: dacă este infinit, atunci ! Ce înseamnă aceasta ? Înseamnă că dacă un inel avea în repaus raza infinită, atunci când se roteşte cu viteza unghiulară are rază finită. Vom vedea că inelele care au avut în repaus raza infinită au o importanţă primordială în Fizică, fapt pentru care voi numi astfel de inele tocmai INELE ELEMENTARE.

Să aprofundăm acum dinamica inelului. Fie masa de repaus a inelului. Avem relaţia binecunoscută . Înlocuind , obţinem fascinanta relaţie

.

Această relaţie ne spune că dacă este nulă, atunci masa inelului este egală cu masa lui de repaus, iar dacă este infinită, atunci masa inelului este şi ea infinită. Tot această relaţie ne mai spune că masa de repaus a unui inel elementar trebuie să fie nulă. Mai putem observa că , adică produsul este un invariant, căci nu depinde de viteza unghiulară.

Să vedem acum ce se întâmplă cu valoarea momentului cinetic al unui inel în rotaţie. Ştim că . Înlocuind cu valorile de repaus, obţinem . Împărţind cu şi înmulţind cu c obţinem în final

.

Ultima relaţie este de o importanţă covârşitoare, căci ea ne spune că momentul cinetic al unui inel nu poate depăşi o anumită valoare , chiar dacă devine infinită. În acest context, aş dori să vă reţin atenţia cu proprietăţile momentului cinetic al unui inel elementar. Am văzut că pentru inelul elementar este adevărat că şi că . Atunci, pentru inelul elementar este adevărat că . Deci, momentul cinetic al inelului elementar este constant şi nu poate fi decât o constantă universală pe care o voi nota cu . Aceste constatări m-au făcut să unesc în titlul acestui articol teoria relativităţii cu mecanica cuantică. De aici până la a susţine că toate corpurile sunt formate din inele elementare nu este decât un pas, pe care nu îl voi face aici. O asemenea încercare trebuie să ţină seama şi de orientarea momentului cinetic, ceea ce ar fi prea mult pentru acest material.

Mai trebuie să discutăm despre energia cinetică a unui inel care se roteşte. Notând , , şi făcând calculele obţinem

,

de unde rezultă că, pentru un inel elementar, pentru care avem ,

,

relaţie care consolidează legătura dintre particulele elementare şi inelul elementar. Mai putem observa aici că, la viteze unghiulare mici, , deci , ceea ce arată că, la viteze unghiulare mici, expresia energiei cinetice de rotaţie capătă forma nerelativistă cunoscută până în prezent.

A mai rămas de spus ceva în legătură cu forţele care acţionează asupra inelului. Ştim că forţa centripetă care ţine inelul pe traiectoria circulară este . Aşadar, pentru inelul elementar, forţa centripetă va fi

,

relaţie despre care îmi place să cred că aminteşte de electrostatică şi cred că explică de ce nu explodează electronul. Oricum, am o puternică bănuială că studiul aprofundat al inelului elementar, coroborat cu ceea ce ştim despre forţa Coriolis, ne va duce undeva în domeniul unificării tuturor interacţiunilor. Până atunci, nu pot decât să sper că am reuşit cumva să amplific interesul fizicienilor contemporani pentru mişcarea de rotaţie.

Bibliografie

• R. Feynman, „Fizica modernă”, volumul 1;

• „Dicţionar de mecanică”, Editura ştiinţifică şi enciclopedică, Bucureşti, 1980, coordonator Caius Iacob;

• Vlaicu Sorin "Electronul inel", Editura Eurobit, Timişoara, 1997.