Speram să pot găsi o recurenţă printre derivatele seriilor Fourier...

Se numeşte serie Fourier o funcţie ce poate fi scrisă sub forma
,
 unde

şi
 

  

sunt nişte coeficienţi care depind numai de n.

Vrem să determinăm primele derivate ale unei asemenea funcţii şi să analizăm dacă aceste derivate se pot scrie una în funcţie de cealaltă.
 

Având în vedere faptul că toţi coeficienţii seriei Fourier sunt independenţi de parametrul t, prima derivată a seriei Fourier este
. 

Dacă mai derivăm o dată prima derivată, obţinem că a doua derivată este
. 

Oare există vreo legătură între seria Fourier şi cea de-a doua sa derivată? Observăm că în ambele apare expresia . Dar se pare că asta nu este suficient pentru a putea găsi o legătură mai adâncă între derivate. Problema este că ne încurcă apariţia unei puteri din ce în ce mai mari a lui n, fenomen ce complică mult derivatele de ordin superior şi spulberă speranţa mea de a găsi o recurenţă printre derivatele seriilor Fourier. 

Aşa că mai rămâne să analizăm dacă se poate găsi o formă simplă pentru curbura şi torsiunea unei curbe închise, deci definite de serii Fourier.

Elicea închisă are torsiunea variabilă

În general, o curbă definită prin ecuaţiile ei naturale (deci în funcţie de parametrul canonic) ca fiind  se numeşte închisă dacă există o valoare minimă nenulă şi finită  a parametrului canonic pentru care avem . Desigur, dacă este îndeplinită această relaţie, atunci este îndeplinită şi relaţia şi relaţia  şi, în general, pentru orice număr întreg , avem îndeplinită relaţia . Cum  este parametrul canonic, adică o lungime, putem defini o lungime a curbei închise ca fiind tocmai valoarea . Aşadar, o curbă închisă are lungimea nenulă şi finită.

Acum ştim că elicea este o curbă de lancretian constant şi vrem să determinăm ce proprietăţi are o elice închisă, adică o elice care ajunge înapoi de unde a plecat deşi îşi menţine în acelaşi timp lancretianul constant.

Dacă lancretianul elicei se menţine constant, atunci singurul parametru care poate varia este darbuzianul ei, adică radicalul sumei pătratelor curburii şi torsiunii. Mai precis, darbuzianul este modulul vectorului lui Darboux, adică

. 

Putem observa că darbuzianul mai poate fi scris şi , unde  este lancretianul curbei, constant în cazul elicei, motiv pentru care radicalul  este deja şi el o mărime constantă în cazul elicei. Aşadar, darbuzianul elicei este proporţional cu torsiunea ei, ceea ce înseamnă că dacă torsiunea elicei este constantă, atunci şi darbuzianul elicei este constant, iar dacă torsiunea elicei este variabilă, atunci şi darbuzianul elicei este variabil.

Să arătăm întâi că:

Teoremă: o elice cu darbuzianul constant nu poate fi închisă.

Demonstraţie:

Am văzut că darbuzianul elicei este proporţional cu torsiunea ei. Aşadar, dacă darbuzianul elicei este constant, atunci atât torsiunea elicei este constantă, cât şi curbura ei, ceea ce înseamnă că elicea dată este circulară. Prin urmare, elicea de darbuzian constant este circulară. Să arătăm atunci că elicea circulară nu este închisă.

Ştim că ecuaţiile carteziene ale elicei circulare  definite în funcţie de parametrul canonic sunt 

.

Dacă elicea circulară ar fi închisă, ar trebui să existe o valoare nenulă şi finită  astfel încât să avem . Deci ar trebui să avem îndeplinite simultan toate cele trei condiţii următoare 

.

Să arătăm acum că ultima condiţie nu poate fi îndeplinită. Din egalitatea 

rezultă că trebuie să avem

ceea ce implică relaţia . Dar această relaţie contravine definiţiei curbei închise care cere ca lungimea curbei închise să fie nenulă şi finită. Aşadar, prin reducere la absurd, teorema este demonstrată.

În consecinţă, teorema ne arată că elicea închisă trebuie să aibă darbuzianul variabil, iar asta înseamnă că elicea închisă are şi torsiunea variabilă. Desigur, aceasta este doar o condiţie necesară, nu şi una suficientă, căci nu orice elice cu torsiune variabilă este închisă.

Parametrii intrinseci nu se schimbă prin permutări circulare

În aceleaşi condiţii de calcul precum sunt acelea din materialul anterior (condiţii pe care voi începe să nu le mai precizez în materialele viitoare, ele fiind subînţelese) arătăm aici că parametrii intrinseci ai unei curbe (sau, echivalent, ai unui câmp vectorial) definite într-un reper cartezian nu se modifică dacă aplicăm permutări circulare componentelor curbei.

Aşadar, dacă definim curbura, torsiunea, darbuzianul şi lancretianul pe „înţelesul” minunatului program Maxima

, atunci Maxima ne arată că aceşti parametri nu depind de permutările circulare pe care le facem asupra componentelor (pentru că raportul dintre parametrul asociat curbei iniţiale şi parametrul asociat curbei permutate este egal cu unitatea):

.

Lancretianul este independent de scală

Am făcut nişte calcule cu Maxima care arată că lancretianul asociat unei curbe este independent de scală, de „dimensiunile reperului”. Vedeţi mai jos instantaneele luate după efectuarea calculelor.

Desigur, calculele pot fi reproduse de către oricine doreşte, prin simpla copiere în Maxima a formulelor următoare pe care le-am folosit eu în acest caz:

vectorial(x,y):=[x[2]*y[3]-x[3]*y[2],x[3]*y[1]-x[1]*y[3],x[1]*y[2]-x[2]*y[1]];
scalar(x,y):=x[1]*y[1]+x[2]*y[2]+x[3]*y[3];
mixt(x,y,z):=scalar(x,vectorial(y,z));
modul(x):=sqrt(x[1]^2+x[2]^2+x[3]^2);
curbura(x,t):=modul(vectorial(diff(x,t),diff(x,t,2)))/modul(diff(x,t))^3;
torsiune(x,t):=mixt(diff(x,t),diff(x,t,2),diff(x,t,3))/modul(vectorial(diff(x,t),diff(x,t,2)))^2;
lancret(x,t):=curbura(x,t)/torsiune(x,t);
darbuz(x,t):=sqrt(curbura(x,t)^2+torsiune(x,t)^2);
 

curba:[a(t),b(t),c(t)];
 

ratsimp(curbura(curba,t)/curbura(curba*u,t));
ratsimp(torsiune(curba,t)/torsiune(curba*u,t));
ratsimp(darbuz(curba,t)/darbuz(curba*u,t));
ratsimp(lancret(curba,t)/lancret(curba*u,t));

Faptul că lancretianul nu depinde de dilatarea reperului face posibil studiul în laborator al comportării avioanelor sau al navelor maritime. De asemenea, acest fapt foarte important ne arată că lancretianul este un invariant relativist. Această ultimă proprietate sugerează că lancretianul are astfel cel puţin o asemănare cu sarcina electrică. 

Curbura, torsiunea şi darbuzianul asociate curbei depind toate de parametrul u folosit aici pentru a dilata reperul, spre deosebire de lancretian, singurul care nu este afectat de valoarea absolută a parametrului u, ci doar de semnul acestuia.

Experimentul lui Dan privind legătura dintre mişcarea mecanică şi electromagnetism

Şi iată că Dan Preda a făcut-o din nou! Şi-a pus inima-n dinţi şi a făcut un experiment foarte interesant prin care ar putea scoate în evidenţă legătura profundă dintre mecanică şi electromagnetism, experiment ce îi poate aduce un binemeritat premiu Nobel. 

În experimentul său se vede cum apa în mişcare ar produce o tensiune electrică ce poate fi măsurată cu voltmetrul. Unii au obiectat că tensiunea ar putea apărea datorită pompei ce pune în mişcare lichidul. Este posibil asta, desigur. Ba chiar este posibil ca şi Dan să se fi gândit la asta şi să nu fi luat intenţionat măsurile de protecţie a experimentului faţă de efectele colaterale, care s-ar fi impus, doar aşa ca să-i iasă lui ceva entuziasmant.  

Dar chiar dacă Dan este prost intenţionat sau chiar dacă este destul de incoerent în exprimare şi chiar dacă nu înţelege încă în adevăratul sens legătura dintre mişcarea mecanică şi electromagnetism dată de forma traiectoriei corpurilor neutre, experimentul său merită refăcut şi perfecţionat, eliminând efectele colaterale, pentru a vedea în ce măsură depind fenomenele electromagnetice de forma pe care o are circuitul parcurs de lichid, de torsiunea acestuia, de lancretianul său sau de variaţiile acestor parametri de-a lungul circuitului.

Pe forumuri în aprilie 2012 partea a doua

Pe topicul „Energia cinetică în cădere spre o gaură neagră”​

Dacă tot e să scoatem în evidenţă pseudoştiinţa cu atâta zel pe aici, atunci [b]s-o scoatem în evidenţă întâi pe cea oficială[/b] căci ea este mult mai gravă şi cu consecinţe nefaste pentru mai mulţi tineri decât micile greşeli de exprimare ale utilizatorilor acestui forum.

Aşadar, cum vi se pare formula energiei cinetice

[tex]K.E=\frac 1 2 m V^2[/tex]

ce apare la pagina 21 în [url=http://www.nasa.gov/pdf/377674main_Black_Hole_Math.pdf]materialul despre găurile negre publicat pe saitul NASA[/url]?