Căutați ceva anume?

vineri, 29 noiembrie 2013

Triedrul ortogonal al lui Frenet şi traiectoria ortogonală

Ştim că, dată fiind o traiectorie oarecare netedă şi continuă, putem defini un triedru drept format cu versorii tangentă (), normală () şi binormală (), care triedru să satisfacă următoarele formule, stabilite de Frenet:

 ,

,

 ,

unde şi sunt curbura şi, respectiv, torsiunea traiectoriei date.


Să arătăm acum că, alături de triedrul lui Frenet asociat unei traiectorii, mai putem construi un alt triedru special asociat traiectoriei date, format tot cu versorii triedrului lui Frenet, astfel încât şi noul triedru să satisfacă formulele lui Frenet.

Pentru aceasta, vom demonstra următoarea

Teoremă:
Triedrul drept format cu versorii , şi satisface şi el formulele lui Frenet corespunzătoare

 ,

,

 ,

unde  şi  .



Demonstraţie.

Făcând înlocuirile necesare şi folosindu-ne de formulele lui Frenet asociate triedrului (, ), obţinem

 ,

,

 ,
ceea ce trebuia demonstrat.


Definiţia 1. Numim triedru ortogonal al lui Frenet, triedrul () .
Definiţia 2. Numim traiectorie ortogonală, acea traiectorie care ar fi parcursă de un mobil aflat în originea triedrului ortogonal al lui Frenet.

Să vă fie cu folos!

Postări populare

A apărut o eroare în acest obiect gadget

Arhivă blog

Etichete

Persoane interesate