Căutați ceva anume?

luni, 12 august 2013

Cât de asemănătoare poate fi o elice circulară cu o dreaptă

Elicea circulară este singura curbă care are curbura şi torsiunea constante. Ea se înfăşoară în jurul unui cilindru drept caracterizat de o anumită circumferinţă şi o anumită înălţime. În funcţie de aceşti doi parametri, elicea este mai mult sau mai puţin alungită, mai mult sau mai puţin groasă. O elice foarte alungită se înfăşoară în jurul unui cilindru de înălţime mare, iar o elice foarte groasă se înfăşoară în jurul unui cilindru de circumferinţă foarte mare.


Desigur, elicea circulară este o curbă nelimitată şi tocmai de aceea şi cilindrul pe care se înfăşoară ea va fi de asemenea nelimitat. Cu toate acestea, putem defini fără probleme înălţimea cilindrului ca fiind distanţa dintre două spire consecutive ale elicei circulare. Asta în ipoteza în care ştim ce este o spiră a elicei circulare. Dacă totuşi avem nevoie de o definiţie mai precisă a spirei elicei, atunci putem spune riguros că spira elicei circulare este porţiunea dintre cele mai apropiate două puncte de pe curbă în care tangentele la elice sunt paralele.


Aşadar, ştim ce este o spiră şi ştim că elicea circulară se înfăşoară în jurul unui cilindru drept de o anumită circumferinţă şi o anumită înălţime. Vrem acum să vedem ce se întâmplă cu elicea circulară dacă modificăm parametrii cilindrului pe care ea se înfăşoară. Mai exact, am vrea să ştim cam cum ar trebui să modificăm aceşti parametri astfel încât elicea circulară să se apropie cât mai mult de o dreaptă, să semene cât mai mult cu o dreaptă.


Pentru aceasta să acţionăm independent întâi asupra circumferinţei cilindrului, apoi asupra înălţimii sale. Haideţi, pentru început, să mărim foarte mult circumferinţa cilindrului. Ce se va întâmpla cu elicea circulară dacă mărim foarte mult circumferinţa? Dacă mărim foarte mult circumferinţa cilindrului, atunci un orice porţiune de pe suprafaţa cilindrului va începe să semene din ce în ce mai mult cu o porţiune dintr-un plan, curbura cilindrului şi implicit a elicei devenind din ce în ce mai mică. Prin urmare, mărind circumferinţa cilindrului, forma elicei se apropie din ce în ce mai mult de forma unei drepte. Iată deci un prim caz în care elicea seamănă foarte mult cu o dreaptă. Cât de mult? Oricât de mult vrem. Ba chiar atât de mult, încât să nu avem la dispoziţie nici un mijloc prin care să putem distinge elicea de o dreaptă. Altfel spus, există o limită superioară pentru circumferinţa cilindrului elicei dincolo de care elicea circulară poate fi considerată o dreaptă. Dar şi reciproc, orice dreaptă poate fi considerată astfel o elice circulară de circumferinţă suficient de mare, neexistând niciun criteriu practic prin care să putem distinge fără dubiu între o dreaptă şi o elice circulară de circumferinţă suficient de mare.


Oare mai există asemenea cazuri în care elicea circulară seamănă foarte mult cu o dreaptă? Da, mai există asemenea cazuri. Bunăoară, să analizăm acum cazul în care circumferinţa cilindrului elicei este de data aceasta extrem de mică. Ce se întâmplă în acest caz? Păi, în acest caz cilindrul devine extrem de subţire, atât de subţire, încât elicea circulară ce se înfăşoară în jurul unui asemenea cilindru începe să semene din ce în ce mai mult cu axa cilindrului respectiv, care este evident o dreaptă. Practic, există o limită inferioară a circumferinţei sub care nu mai putem face distincţie clară între elicea circulară şi axa cilindrului şi ajungem să le confundăm datorită apropierii dintre ele. 


Ambele cazuri analizate mai sus au fost independente de valoarea înălţimii cilindrului elicei. Indiferent ce valoare fixată (foarte mică sau foarte mare) ar avea înălţimea cilindrului, există o limită superioară şi una inferioară pentru valoarea circumferinţei, dincolo de care elicea circulară nu poate fi deosebită de o dreaptă. Reciproc, tot ceea ce pare a fi o dreaptă ar putea fi la fel de bine de fapt o elice circulară înfăşurată pe un cilindru de rază extrem de mare sau extrem de mică.


În fine, mai există un caz în care nu putem spune dacă este vorba despre o elice circulară sau despre o dreaptă: cazul în care înălţimea cilindrului este enormă. În acest caz, orice valoare ar avea circumferinţa cilindrului, elicea circulară face un unghi foarte mic cu axa cilindrului şi putem alege o valoare atât de mare pentru înălţimea cilindrului, încât practic să nu mai putem observa vreo valoare nenulă pentru unghiul elicei şi în consecinţă să nu mai putem distinge dacă privim o elice sau privim o dreaptă.

Cazul elicei de înălţime foarte mică este irelevant, căci nu putem confunda o asemenea elice cu o dreaptă în toate cazurile. Mai exact, chiar dacă înălţimea elicei este nulă, pentru circumferinţe mici se observă deosebirea clară dintre elicea circulară (devenită tocmai cerc) şi o dreaptă.


De altfel, toate raţionamentele noastre anterioare sunt sintetizate în formula care ne dă expresia curburii elicei circulare în funcţie de raza a a cilindrului şi pasul (barat) b al acestuia.

  .

Mai exact, ştiind că o dreaptă are curbura nulă, este suficient să observăm că pentru valorile foarte mari sau foarte mici ale circumferinţei, respectiv, pentru valori foarte mari ale înălţimii, curbura elicei circulare tinde spre zero. 


Astfel, avem cele trei cazuri relevante:

-1). Cazul circumferinţei foarte mari, deci cazul în care a tinde la infinit. Numesc acest caz, cazul elicei groase.

  .

-2). Cazul circumferinţei foarte mici, deci cazul în care a tinde la zero. Vorbim astfel despre elicea subţire.

  .

-3). Cazul înălţimii foarte mari, deci cazul în care b tinde la infinit. În acest caz spun că este vorba despre elicea înaltă (lăsând loc pentru a numi elice scurtă pe aceea a cărei spiră este scurtă şi elice scundă pe aceea a cărei înălţime este mică, cele două tipuri de elice posibile nefiind identice (elicea scundă nu este neapărat şi elice scurtă)).

  .

Aşadar, dragii mei cititori, elicea foarte groasă sau foarte subţire sau foarte înaltă poate fi confundată uşor cu o dreaptă. Şi reciproc, pentru orice presupusă dreaptă trebuie să fim conştienţi de posibilitatea noastră de a ne înşela în privinţa ei, având mereu prezent în minte dubiul că s-ar putea ca "dreapta" din faţa noastră să fie de fapt tocmai o elice circulară (foarte groasă, foarte subţire sau foarte înaltă). Şi atunci, dragi cititori, cât de justificat vi se mai pare principiul actual al inerţiei care spune că un corp liber se deplasează rectiliniu? Cât de siguri putem fi pe extrapolarea făcută de Galilei când a studiat corpuri aruncate pe suprafeţe din ce în ce mai netede, extrapolare pe care o mai menţinem încă şi astăzi fără rezerve? Nu cumva corpurile lui se deplasau de fapt mai degrabă pe elice circulare (foarte groase sau foarte subţiri sau foarte înalte) decât strict, strict rectiliniu?

Postări populare

A apărut o eroare în acest obiect gadget

Arhivă blog

Etichete

Persoane interesate