Ce este acest triedru complementar al lui Frenet despre care vorbesc în atâtea şi atâtea situaţii? Pe vremea când nu ştiam că triedrul complementar al lui Frenet satisface şi el formulele lui Frenet, deci pe vremea când nu ştiam că există o teoremă de recurenţă a formulelor lu Frenet, am scris un mesaj inocent pe forumul de astronomie. Reproduc aici acel mesaj, cu adaptările de rigoare.
Având în vedere perpendicularitatea dintre viteza unghiulară şi normală, putem defini un nou reper format din versorul vitezei unghiulare, normală şi produsul vectorial al acestor doi versori.
Mai concret, dat fiind vectorul 
Dacă notăm
şi
obţinem că versorii triedrului complementar sunt
Aceste notaţii şi relaţii prevestesc posibilitatea ca şi versorii triedrului complementar al lui Frenet să satisfacă formulele lui Frenet.
1.De ce trebuie sa mai avem un complementar al triedrului Frenet ?
RăspundețiȘtergere2.Ce reprezinta radicalul ?
3.Cum explici recurenta triedrului Frenet si daca poti explica pentru ce studiu este necesara .
Salut, Anonim! Am încercat să înţeleg ce nedumeriri ai şi trebuie să recunoşti că eu nu am aceleaşi întrebări ca şi tine. Totuşi, încerc să-ţi răspund, cu speranţa că ţi-am înţeles întrebările.
RăspundețiȘtergere-1). Acest triedru complementar există pur şi simplu, fără să fie necesar, deci fără să „trebuiască” în vreun fel. Este ca şi cum există numărul 2 deşi mai există 1 înaintea sa. De ce trebuie să existe şi 2? Înţelegi cam cum văd eu problema pusă? Triedrul complementar al lui Frenet nu are niciun statut diferit de triedrul lui Frenet. El nu este nici suficient, nici necesar; el există pur şi simplu. Faptul că eu am descoperit acest triedru trebuie să fie aproape echivalent cu faptul că Frenet a descoperit triedrul său. Dacă înţelegi cu adevărat rolul triedrului lui Frenet, atunci poţi înţelege la fel şi rolul acestui nou triedru. De altfel, este suficient să cunoşti proprietăţile matematice ale acestui triedru ca să obţii un răspuns deplin la întrebarea ta.
-2). Radicalul este modulul vectorului lui Darboux. Sau, dacă vrei un răspuns mai ciudat, este torsiunea de ordinul doi.
-3). Păi, nu-ţi pot explica altfel decât pornind de la ceea ce m-a determinat pe mine s-o relevez. Adică, am observat că pentru orice traiectorie, vectorul lui Darboux este întotdeauna perpendicular pe normală. Apoi, am mai făcut un pas: am observat că vectorul lui Darboux şi normala ne-ar putea furniza un triedru drept (dat de versorul vectorului lui Darboux, normală şi produsul vectorial al primilor doi versori), pe care l-am numit „triedru complementar al lui Frenet”. În fine, am observat că şi acest nou triedru satisface formulele lui Frenet. Mai exact, am observat că derivata unui versor al triedrului complementar poate fi pusă în aceleaşi relaţii cu ceilalţi versori precum a fost în cazul triedrului lui Frenet. Iar cu aceasta, recurenţa este stabilită.
Mulţumesc pentru comentariu!
Multumesc ,pentru informatii . S-au clarificat unele notiuni .
RăspundețiȘtergereDar recurenta inseamna revenirea in acelasi punct .De ce mai ai nevoie de vectorul Darboux ?
Ca sa arati ca ai o rasucire ? (torsiune)
Eu nu văd recurenţa ca fiind o revenire în acelaşi loc. Mai degrabă are sensul: 2. (Mat.; în sintagma) Formulă de recurență = formulă care exprimă un termen dintr-un șir în funcție de valorile unor anumiți termeni precedenți. Cam la asta se referă şi teorema de recurenţă: deduce existenţa unui triedru nou în funcţie de existenţa triedrului vechi şi arată că şi noul triedru satisface formulele lui Frenet. În aceste condiţii, chiar şi vectorul lui Darboux este recurent, în sensul că dacă pentru triedrul lui Frenet vectorul lui Darboux este torsiunea ori tangenta plus curbura ori binormala, pentru triedrul complementar putem construi un alt vector Daboux (pe care l-am numit de ordinul doi) format din torsiunea de ordinul doi ori tangenta de ordinul doi plus curbura de ordinul doi ori binormala de ordinul doi. Deci, cam în asemenea termeni pot discuta despre Fizica elicoidală.
RăspundețiȘtergere