Cercetări iulie 2009

Cercetările mele din luna iulie 2009

(Luni, 6 iulie 2009)

-(22:53). În seara asta aş cam vrea să studiez două probleme: impulsul volumic al inelelor lui Saturn şi modul în care să fac descompunerea cât mai amănunţită a problemelor de Fizică.
-(22:56). Aş vrea să învăţ să descompun foarte amănunţit problemele de cercetare pe care mi le pun. Descompunerea unei singure probleme foarte grele în mai multe probleme uşoare şi independente reprezintă o realizare extrem de utilă. De exemplu, problema impulsului volumic al inelelor lui Saturn merită studiată prin descompunere.
-(23:00). Să vedem cam cum am putea să descompunem problema inelelor lui Saturn. Vrem să explicăm de ce inelele sunt coplanare folosindu-ne de conservarea impulsului volumic.
-(23:13). Avem următoarele alternative (doar ca un exemplu):

1. Coplanaritatea inelelor lui Saturn nu poate fi explicată cu impulsul volumic.
2. Coplanaritatea inelelor poate fi explicată cu impulsul volumic.
3. Centrul de masă al unui inel se găseşte pe axa de rotaţie a lui Saturn.
4. Centrul de masă al unui inel nu se găseşte pe axa de rotaţie a lui Saturn.
   

- (23:20). Una dintre dilemele acestei descompuneri date ca exemplu este faptul că punctele 3 şi 4 pot apărea şi ca subpuncte ale punctelor 1 şi 2, ba chiar şi invers, adică punctele 1 şi 2 pot apărea ca şi subpuncte ale punctelor 3 şi 4.
-(23:23). Atunci, acest exemplu demonstrează cât de complicată ar putea fi descompunerea, complicaţie care mă face oarecum să renunţ la asemenea descompuneri şi să mă bazez în continuare (ca şi până acum, dealtfel) pe intuiţie. O mică speranţă ar mai putea-o constitui Prologul, dar şi implementarea Fizicii în Prolog este, la rândul ei, o activitate extrem de laborioasă.

(Marţi, 7 iulie 2009)

-(00:01). Oare ce tendinţă au sistemele învecinate? Ştim că temperatura a două sisteme învecinate tinde să se egalizeze. Rezultă oare că toţi parametrii dinamici ai sistemelor învecinate (energie, masă, impuls, moment cinetic, impuls volumic) tind să se egalizeze?
-(00:07). Trecerea de la starea neegalizată (starea de neechilibru) la starea egalizată (starea de echilibru) se face cu variaţia parametrilor dinamici care diferă iniţial. Dar parametrii dinamici tind să se conserve. Înseamnă că pentru a ajunge din starea de neechilibru în starea de echilibru trebuie să depunem un „efort” din exterior asupra parametrilor dinamici ce tind să se conserve.
-(00:13). Un sistem izolat este în echilibru. Dar acest echilibru nu trebuie să fie neapărat static. De exemplu, Soarele şi o cometă constituie un sistem izolat aflat în echilibru, chiar dacă energia cinetică şi potenţială a cometei variază puternic în apropierea Soarelui.
-(00:22). Există un efect foarte interesant ce nu poate fi neglijat în dinamica sistemelor: efectul Yarkovsky. Datorită acestui efect, asupra unui corp aflat în vecinătatea unui corp cald acţionează o forţă, a cărei direcţie depinde şi de direcţia în care se roteşte corpul încălzit.
-(00:32). Oare cât de important este acest efect în explicarea fenomenelor fundamentale ale dinamicii? Oare acest efect promite realizarea unor legături esenţiale între termodinamică şi electromagnetism?

(Vineri, 10 iulie 2009)

-(20:48). Impulsul. Impulsul este o şmecherie foarte importantă. Până acum am analizat mai mult mişcarea pe elice, ţinând seama mai mult de parametrii cinematici, fără să mă prea preocupe ce se întâmplă cu impulsul.
-(20:53). Să încercăm acum să înţelegem ce se întâmplă cu impulsul în diferite situaţii. Cea mai generală situaţie este aceea în care corpul al cărui impuls îl studiem se deplasează pe o curbă spaţială, deci o curbă a cărei curbură şi torsiune sunt nenule.
-(20:56). Indiferent pe ce curbă s-ar deplasa corpul, impulsul său rămâne coliniar cu tangenta. Deci putem scrie că vectorul impuls este dat de expresia

unde este modulul impulsului, iar este versorul tangent la traiectorie.
-(21:01). Observăm, deci, că cea mai generală situaţie în care putem găsi impulsul poate fi descompusă în două subsituaţii mai simple: una în care modulul impulsului este constant şi una în care direcţia impulsului este constantă.
-(21:05). Cea mai tentantă şi interesantă subsituaţie de studiat mi se pare aceea în care modulul impulsului este constant. În această situaţie rămâne variabilă doar direcţia impulsului, caz care ne convine de minune dacă vrem să utilizăm formulele lui Frenet.
-(21:08). Dar de ce să nu studiez din prima cea mai generală situaţie? De ce să o descompun în două? Pentru că ar fi greu de studiat? Nu pare să fie greu să luăm în seamă ambele variaţii ale impulsului.
-(21:37). În cea mai generală situaţie, derivata impulsului în raport cu un parametru oarecare (pe care îl putem numi prin convenţie „timp”, el putând fi şi timpul propriu din relativitatea restrânsă) este

-(22:01). Se observă de aici că dacă modulul impulsului este constant, atunci derivata acestuia (deci forţa) este coliniară cu normala, adică este perpendiculară pe impuls.
-(22:35). Am introdus în Wiki-ul meu noţiunea de „parametru dinamic”. Consider că această noţiune grupează bine informaţiile despre proprietăţile corpului în care intervine masa de repaus a acestuia.
-(23:17). Am introdus, de asemenea, şi importantul concept de „supraforţă”.

(Sâmbătă, 11 iulie 2009)

-(00:31). Având în vedere că am găsit o proporţionalitate între impulsul volumic şi masa de repaus, rezultă că este posibil să înţelegem gravitaţia dacă analizăm ce se întâmplă cu impulsul volumic total al unui sistem de două corpuri pe care le îndepărtăm unul de celălalt. Îndepărtând două corpuri care au fost iniţial împreună, producem o modificare a impulsului volumic total, iar, datorită legii de conservare a impulsului volumic, această modificare este evitată de către natură prin gravitaţie.
-(00:36). Aşadar, cum se modifică impulsul volumic al unui sistem de două corpuri atunci când îndepărtăm cele două corpuri care au fost iniţial împreună? Pentru a răpunde la această întrebare trebuie să admitem că impulsul volumic al sistemului iniţial în care corpurile se află împreună este dat de suma impulsurilor volumice ale tuturor particulelor ce constituie corpul.
-(00:42). Dacă ar fi adevărat că gravitaţia se datorează modificării impulsului volumic, atunci ar rezulta ceva hotărâtor: gravitaţia ar depinde şi de forma corpurilor care interacţionează (deci şi de orientare), nu doar de masa lor de repaus! Oare se observă experimental o asemenea dependenţă de formă (deci şi de orientare)? Ce spune NASA în această privinţă?
-(21:30). Dacă impulsul volumic este masă de repaus, înseamnă că orice corp din Univers are impuls volumic. Cel mai simetric corp dotat cu impuls volumic este o sferă goală în interior pe suprafaţa căreia există corpuri cu acelaşi moment cinetic în modul şi orientat radial. Pot exista două tipuri de asemenea corpuri: un tip pentru care momentul cinetic este orientat spre exteriorul sferei şi un tip pentru care momentul cinetic este orientat spre centrul sferei. Probabil, cele două tipuri distincte amintesc de cele două tipuri de sarcină electrică.
-(21:37). Aşadar, oricărui corp îi putem asocia o astfel de sferă dotată cu impuls volumic. Acum vrem să vedem cum se modifică impulsul volumic al unui sistem format de două asemenea sfere pe care le îndepărtăm una de cealaltă. Presupunem că iniţial cele două sfere sunt concentrice. În acest caz, impulsul volumic total al celor două sfere va fi suma impulsurilor volumice ale sferelor distincte.
-(21:50). Cel mai interesant caz este acela în care sferele nu sunt concentrice, iar centrele lor se află la o distanţă oarecare unul de celălalt. Cât va fi impulsul volumic total în acest caz? Cel mai uşor ar fi să luăm iniţial o distanţă foarte mare între cele două sfere. Suntem curioşi dacă ajungem la o dependenţă invers proporţională cu pătratul distanţei, aşa cum are gravitaţia. Cum impulsul volumic este aditiv, va trebui să calculăm o sumă de doi indici sau o integrală de suprafaţă, în funcţie de distribuţia (discontinuă sau continuă a) momentului cinetic pe suprafaţă.

(Marţi, 14 iulie 2009)

-(21:20). Ce s-ar întâmpla cu o asemenea sferă dacă aceasta ar intra într-un câmp uniform care produce cupluri? Să presupunem că sfera pătrunde în câmp paralel cu liniile câmpului (iar câmpul produce cupluri de-a lungul liniilor de câmp). În acest caz, asupra sferei va acţiona un cuplu care modifică momentul cinetic total al sferei, antrenând-o într-o mişcare de rotaţie
-(21:52). Dar, rotindu-se, sfera antrenează în mişcarea de rotaţie şi corpurile aflate la periferia ei, corpuri al căror moment cinetic ştim că este radial (şi nici nu poate fi altfel, prin definiţie, prin construcţie). Aşadar, în acest caz câmpul produce variaţii ale direcţiei momentelor cinetice ale corpurilor aflate la ecuatorul sferei. Dar o asemenea variaţie nu este în principiu posibilă decât sub influenţa unor cupluri perpendiculare pe momentele cinetice şi aflate în planul ecuatorului. Atunci, putem conclude oare că acel câmp produce şi asemenea cupluri necesare variaţiei momentelor cinetice de la ecuator, nu doar cupluri paralele cu viteza sferei?

(Joi, 16 iulie 2009)

-(08:37). Dacă oricărui vector îi putem asocia un triedru Frenet, atunci putem să asociem şi vectorului de poziţie un asemenea triedru. Consider acum că studiul triedrului Frenet asociat poziţiei este mai interesant decât studiul triedrului Frenet asociat impulsului.
-(08:44). Fie un mobil care se deplasează rectiliniu şi uniform. Triedrul Frenet asociat poziţiei acestui mobil are tangenta coliniară cu poziţia, binormala perpendiculară pe planul definit de poziţie şi viteză, iar normala este perpendiculară pe tangentă şi pe binormală. Observăm că, în acest caz, viteza unghiulară a acestui triedru Frenet este coliniară cu binormala, având direcţie constantă şi modul variabil în timp.
-(08:58). Cum viteza unghiulară este coliniară cu binormala, rezultă că torsiunea asociată poziţiei este, în acest caz, nulă. Torsiunea ar fi tot nulă chiar dacă traiectoria mobilului nu ar fi rectilinie, dar ar fi mereu plană. Deci, chiar dacă mobilul s-ar deplasa pe un cerc sau pe o elipsă, torsiunea asociată poziţiei ar fi tot nulă.
-(09:04). Aceste constatări ne sugerează că, de exemplu, torsiunea asociată poziţiei planetelor ar fi nulă, iar torsiunea asociată poziţiei bolovanilor din inelele lui Saturn, ar fi nenulă.
-(09:38). Totuşi, există aici o subtilitate importantă: torsiunea asociată poziţiei este nulă numai dacă punctul din care se măsoară poziţia se află în planul mişcării. Dacă acest punct nu se află în planul mişcării, atunci torsiunea nu mai este nulă. La fel, chiar şi curbura depinde de faptul că punctul din care se măsoară poziţia se află sau nu se află pe traiectoria mobilului.
-(09:42). Dacă mobilul nu se deplasează rectiliniu (şi, respectiv, nici pe o curbă plană), iar punctul din care se măsoară poziţia este fix, atunci nu mai apare problema curburii (şi, respectiv, nici a torsiunii) pentru că, chiar dacă iniţial (deci la momentul de pornire) punctul din care se măsoară poziţia s-a aflat pe traiectoria mobilului (respectiv, în planul mişcării), poziţia nefiind coliniară cu viteza (respectiv, acceleraţia nefiind coplanară cu poziţia şi viteza).
-(10:09). Observaţi că am vorbit de „momentul de pornire”. Este ceva important cu acest moment. Mi se pare logic să admitem că, din punct de vedere fizic, în momentul de pornire mobilul se află exact în punctul din care se măsoară poziţia la orice moment de timp. Cu alte cuvinte, admitem că iniţial poziţia este nulă. Am speranţa că această convenţie permite determinarea corectă a masei unui mobil când cunoaştem doar parametrii săi cinematici.
-(10:22). Mai mult, admiţând că la momentul iniţial mobilul a avut poziţia nulă, suntem obligaţi să admitem aceasta pentru orice mobil din Univers şi prin aceasta obţinem o unificare importantă pentru Fizica elicoidală, unificare ce ar putea avea o legătură cu Big-Bangul Fizicii actuale.
 -(10:27). Cu această convenţie mai apare ceva interesant. De exemplu, dacă un mobil a pornit cu poziţie nulă şi se deplasează pe o elice, atunci această poziţie face un unghi din ce în ca mai mic cu viteza unghiulară, tinzând să devină coliniară cu ea, lucru care se şi întâmplă dacă trece un timp infinit de lung. Cum Universul din prezent poate fi considerat ca fiind rezultatul trecerii unui timp infinit de lung, putem admite că orice poziţie este un fel de viteză unghiulară. Bineînţeles, aici mai trebuie lucrat pentru clarificare.
-(10:38). În ce ar consta clarificarea analogiei dintre poziţie şi viteza unghiulară? În stabilirea unei proporţionalităţi bazate pe o constantă universală. Prima constantă universală care îmi vine acum în minte în legătură cu această problemă este viteza luminii în vid.
-(11:03). M-a bulversat această încercare de a găsi o analogie între poziţie şi viteza unghiulară. M-a blocat. Ce rost are să mă chinui cu aşa ceva? Are vreun rost? Hai să revenim la oile noastre. Triedrul lui Frenet asociat poziţiei.
-(11:06). Dacă timpul nu ar trece, atunci studiul triedrului Frenet ar fi imposibil şi inutil pentru că triedrul Frenet se poate stabili numai în funcţie de un parametru independent, precum este timpul. Aşadar, capacitatea noastră de a stabili orientarea triedrului Frenet este legată de capacitatea noastră de a stabili trecerea timpului. În absenţa timpului lumea n-ar exista. Deci, toate proprietăţile lumii sunt camuflate în triedrele Frenet asociate vectorilor variabili în timp pe care îi putem măsura.

(Vineri, 17 iulie 2009)

-(10:17). Pentru a fi consecvenţi în totalitate trebuie să admitem că toate corpurile din Univers au provenit din acelaşi punct. Mai concret, trebuie să convenim că toate corpurile unui sistem au provenit din centrul său de masă. De exemplu, trebuie să admitem că toate planetele au provenit din Soare şi că toţi bolovanii din inelele lui Saturn au provenit din planeta Saturn.
-(10:20). Această convenţie ne va permite să înţelegem toate proprietăţile mişcării corpurilor din sistemul respectiv, aplicând acelor mişcări proprietăţile triedrelor Frenet asociate poziţiei.
-(10:31). Altfel spus, dacă proprietăţile triedrelor Frenet sunt valabile pentru orice vector care depinde de timp, atunci ele trebuie să fie valabile şi pentru poziţie. Cum viteza este derivata poziţiei (deci este o consecinţă a poziţiei), studiul poziţiei este mai important decât studiul vitezei, căci viteza nu poate avea orice formă, decât cea pe care i-o permite poziţia.
-(10:36). Prin această constatare putem spune că formulele lui Frenet aplicate vitezei (aşa cum sunt cunoscute ele astăzi) sunt artificiale, ele nerezultând în mod natural prin respectarea condiţiilor impuse de proprietăţile triedrelor Frenet asociate poziţiei. De aceea trebuie să fim atenţi la consecinţele formulelor lui Frenet pornind de la poziţie, nu de la viteză.
-(11:05). Există totuşi un avantaj al vitezei în raport cu poziţia, prin faptul că impulsul (o noţiune dinamică importantă) este coliniar cu viteza, nu cu poziţia. Dar, oricum, acest avantaj nu este suficient încât să eludăm proprietăţile Frenet ale poziţiei în favoarea celor ale vitezei. Poate că, dimpotrivă, vom reuşi cândva să găsim o legătură între impuls şi poziţie aşa cum, mai sus, am prezentat o eventuală legătură între viteza unghiulară şi poziţie. Nu este exclus ca la distanţe mari de poziţia iniţială să confundăm direcţia poziţiei cu direcţia vitezei şi prin aceasta să apară legătura anticipată dintre poziţie şi impuls.
-(11:48). Şi acum, după ce am subliniat importanţa poziţiei în raport cu viteza, să revenim iar la studiul proprietăţilor triedrelor Frenet asociate poziţiei. Unul dintre lucrurile care mă interesează este forma curbei de ordinul unu pe care o descrie extremitatea poziţiei. Oare această curbă va fi tot o elice? Ar fi strigător la cer să nu fie tot o elice!
-(11:54). Sau am putea încerca invers: testăm dacă o elice este o curbă de ordinul unu pentru poziţie (adică testăm dacă raportul dintre curbura şi torsiunea curbei definită în raport cu poziţia este constant). Bine, bine, dar ce-i aia „curbură (respectiv, torsiune) a curbei definită în raport cu poziţia”? Curbura nu este una singură, indiferent că o determinăm în raport cu poziţia sau în raport cu viteza? Hmmm... bună întrebare! Chiar că trebuie clarificat asta.
-(11:59). Pentru a clarifica problema trebuie să ne reamintim că torsiunea şi curbura unei curbe este una, iar torsiunea şi curbura asociate unui vector oarecare este alta. Care o fi diferenţa (sau asemănarea) dintre ele? Trebuie să existe o asemănare între ele din moment ce orice vector are o reprezentare spaţială, iar extremitatea sa descrie o curbă.
-(12:34). Şi atunci cum facem, vom spune că torsiunea şi curbura asociate unui vector sunt torsiunea şi curbura curbei pe care o descrie extremitatea vectorului?
-(12:46). Ştim că torsiunea şi curbura nu depind de poziţia reperului. Asta înseamnă că şi dacă acea curbă trece prin origine, curbura şi torsiunea ei (deci şi raportul lor) vor fi aceleaşi indiferent unde se află curba. Contează doar forma ei.
-(12:57). Oare trebuie să convenim că la momentul iniţial vectorul de poziţie este nul? Ne sugerează vreo circumstanţă să facem această convenţie? Una dintre circumstanţe ar fi exemplul sistemului solar, cu eventualitatea ca toate corpurile din sistemul solar să fi fost cândva în vecinătatea Soarelui, acel „cândva” putând fi considerat tocmai momentul iniţial al mişcării, iar Soarele putând fi considerat originea reperului.
-(13:10). Hai să vedem ce se întâmplă dacă facem această convenţie! Dacă admitem că vectorul de poziţie a fost nul la momentul iniţial, atunci găsim o corelaţie între modulul vectorului de poziţie şi direcţia lui, pentru că formulele lui Frenet nu permite poziţiei să varieze oricum.
-(13:17). Să vedem atunci, de exemplu, în ce condiţii un corp smuls din Soare poate ajunge pe o traiectorie suficient de stabilă în jurul Soarelui, devenind astfel planetă. Vectorul de poziţie a unui asemenea corp smuls din Soare nu poate varia altfel decât în conformitate cu formulele lui Frenet. Bun, şi ce zic formulele lui Frenet în acest caz? Spun că prima curbă pe care ar alege-o un asemenea corp ar fi o curbă cu atât mai simplă cu cât asupra sa acţionează mai puţine constrângeri.
-(13:21). În cazul cel mai sărac în constrângeri, vectorul de poziţie va descrie o elice de ordinul unu, iar în cazul cel mai bogat în constrângeri, vectorul de poziţie va descrie cea mai complexă curbă (o elice de ordin foarte mare). Evident, vectorul de poziţie a planetelor (cu originea în Soare!) nu descrie o elice de ordinul unu. Atunci descrie el o elice de ordin foarte mare? Sau încă, oare o elice de ordin foarte mare seamănă cu traiectoria (de cerc sau de elipsă a) unei planete (sau măcar cu a vreunui corp de pe suprafaţa planetei)?
-(13:56). Este foarte important să cunoaştem bine răspunsul la ultima întrebare. Deci, cum arată o curbă de ordin foarte mare (dar finit, evident)? În ce măsură poate fi ea considerată un cerc sau o elipsă?

(Sâmbătă, 18 iulie 2009)

-(20:56). Ce legătură este între triedrul Frenet al poziţiei şi triedrul Frenet al vitezei? Oare, dacă viteza este derivata poziţiei, atunci triedrul Frenet al vitezei este triedrul complementar al lui Frenet asociat poziţiei? Sau, mai general, triedrul complementar al lui Frenet asociat unui vector este identic cu triedrul lui Frenet asociat derivatei acestui vector?
-(21:12). Derivata în raport cu timpul a oricărui vector poate fi scrisă în funcţie de viteza unghiulară cu care variază direcţia sa, adică

.

-(21:47). A doua derivată în raport cu timpul poate fi scrisă ca

.

-(22:07). Putem scrie şi mai condensat



deci şi

.

-(22:45). Care este cea mai simplă situaţie posibilă? Evident, aceea în care vectorul este constant. Şi ce înseamnă că vectorul este constant? Înseamnă că prima sa derivată este nulă, adică

.

-(22:47). Bine, bine, dar oare din faptul că vectorul este constant rezultă că modulul său este constant? Din relaţia anterioară obţinem

.

Asta înseamnă că vectorul din dreapta egalităţii este perpendicular pe
vectorul din stânga. Dar aşa ceva nu este posibil decât pentru vectorul nul. Înseamnă că ambii termeni ai egalităţii trebuie să fie nuli.
-(22:53). Nulitatea termenului din stânga ne spune că modulul vectorului este constant. Ce ne spune nulitatea termenului din dreapta? Ne spune două lucruri, dintre care îl putem alege pe oricare: ne spune că viteza unghiulară este nulă sau ne spune că viteza unghiulară este paralelă cu vectorul însuşi. Pe care dintre cele două posibilităţi o vom alege?
 -(22:59). Consider că alegerea cea mai bogată în consecinţe este aceea în care viteza unghiulară nu este nulă, ci este doar paralelă cu vectorul însuşi. Mai mult, consider că şi natura face această alegere!
-(23:03). Să mergem mai departe. Să arătăm că această alegere este cu adevărat bogată în consecinţe. Am studiat cazul cel mai simplu, acela în care vectorul este constant. Care este următorul pas? Următorul pas este acela în care vectorul nu mai este constant, dar prima sa derivată este constantă (şi nenulă). Altfel spus, în acest caz putem scrie

.

Ce rezultă de aici? Rezultă ceva foarte asemănător cu ce am scris mai sus când vectorul era constant, adică

.

-(23:09). Acum vreau să observaţi ceva extrem de preţios în relaţia anterioară: derivata modulului depinde numai de produsul vectorial dintre viteza unghiulară şi vector! Ce înseamnă aceasta? Păi, înseamnă ceva tulburător: înseamnă că variaţiile modulului pot fi date atât de modulul vitezei unghiulare, cât şi de unghiul pe care îl face viteza unghiulară cu vectorul dat.
-(23:17). Atunci, suntem din nou în faţa unei alegeri importante. Ce anume dictează variaţiile modulului, modulul vitezei unghiulare sau unghiul dintre aceasta şi vector?
-(23:23). Am făcut mai sus alegerea ca unghiul nul (şi nu modulul nul) să exprime constanţa modulului vectorului. Pentru a fi consecvenţi acestei alegeri, vom admite că, şi în cazul variaţiei nenule a modulului, tot unghiul este responsabil de aceasta.

(Marţi, 21 iulie 2009)

-(09:46). Am ajuns la concluzia interesantă că modulul unui vector variază pentru că unghiul dintre vectorul respectiv şi viteza unghiulară cu care acest vector îşi modifică direcţia nu este nul. Dar asta mai aminteşte şi de un efect relativist legat de unghiuri. Atunci să fie vreo legătură între cele două situaţii?
-(10:33). Dacă modulul unui vector este constant, atunci derivata vectorului are expresia simplă



care ne spune că variază numai direcţia vectorului şi că derivata este perpendiculară pe vectorul iniţial.
-(10:44). Dacă, în schimb, direcţia vectorului este constantă, atunci produsul vectorial anterior este nul. Noi am convenit că produsul vectorial este nul pentru că vectorul este paralel cu viteza unghiulară în acel spaţiu şi nu pentru că viteza unghiulară ar fi nulă. Altfel spus, putem conveni că viteza unghiulară cu care variază direcţia vectorului este independentă de vectorul respectiv, fiind o caracteristică a spaţiului în care se află vectorul. De exemplu, viteza unghiulară ar putea arăta viteza de trecere a timpului în acel spaţiu.
-(10:51). Ceva asemănător se întâmplă şi în vecinătatea unei planete: impulsul fiecărui corp aflat acolo variază în direcţie cu aceeaşi viteză unghiulară dictată în acel loc. Poate planeta însăşi este prin definiţie un loc în care toate impulsurile au aceeaşi viteză unghiulară.
-(11:05). Oare am putea găsi o legătură (o proporţionalitate) între inducţia câmpului magnetic din vecinătatea unei planete şi viteza unghiulară a impulsurilor? Analogia este atât de şocantă, încât mi-a oprit mintea în loc!

(Miercuri, 22 iulie 2009)

-(22:41). Trebuie să revenim la vectorul de poziţie. Vectorul de poziţie nu poate varia altfel decât îi permit formulele lui Frenet. Şi cum îi permit să varieze formulele lui Frenet unui vector de poziţie? După cum am văzut, prima derivată a unui vector este o sumă de doi vectori dintre care unul este paralel, iar celălalt este perpendicular pe vectorul iniţial.
-(23:05). Dacă variază numai modulul vectorului de poziţie, atunci unghiul dintre vector şi viteza unghiulară este nul, iar prima derivată este coliniară cu vectorul. Dacă variază numai direcţia, atunci modulul este constant, iar vectorul precesează în jurul vitezei unghiulare.
-(23:09). Niciun vector nu poate varia altfel, decât prin precesia în jurul vitezei unghiulare! Precesie! Nu altfel de mişcare, decât precesie! Trebuie eliminate restul posibilităţilor! Natura preferă precesia!
-(23:12). Atunci cum variază vectorul de poziţie faţă de Soare al unei planete? Modulul său rămâne aproximativ constant. Deci variază numai direcţia sa. Deci vectorul de poziţie precesează în jurul unei viteze unghiulare. Evident, această viteză unghiulară este viteza unghiulară pe orbită.
-(23:40). Să presupunem acum că un corp se deplasează rectiliniu şi uniform o vreme, apoi intră într-o zonă în care impulsul său trebuie să varieze. Există două posibilităţi: variază modulul sau variază direcţia. Vom numi „cauză de modul” acea cauză care ar produce variaţia modulului şi „cauză de direcţie” acea cauză care produce variaţia direcţiei.
-(23:43). Cauza de direcţie poate fi descompusă în „cauză de unghi” şi „cauză de viteză unghiulară”. Observaţi că trecerea de la un vector de direcţie constantă la un vector de direcţie variabilă se face obligatoriu cel puţin cu cauză de unghi (chiar dacă nu ar exista şi cauză de viteză unghiulară).

(Vineri, 24 iulie 2009)

-(23:39). Sunt foarte fericit pentru că azi am mai descoperit ceva ce consider a fi foarte important: orice vector are o viteză liniară, o viteză areolară şi o viteză volumică! Probabil m-am mai gândit la aceste lucruri, dar niciodată nu le-am înţeles atât de clar ca şi astăzi.
-(23:42). Să vedem ce reprezintă fiecare dintre aceste viteze. În primul rând, viteza liniară este viteza de variaţie a lungimii vectorului. Apoi, viteza areolară este aria măturată în unitatea de timp de către segmentul ce defineşte vectorul (segmentul care uneşte originea cu extremitatea). În fine, viteza volumică (de o importanţă nebănuită încă până în prezent) este volumul măturat în unitatea de timp de către triunghiul asociat vectorului (format de vectorul însuşi şi derivata lui).

(Sâmbătă, 25 iulie 2009)

-(08:43). Mai putem observa ceva interesant în proprietăţile vitezelor de mai sus. Prima viteză (viteza liniară) este o viteză scalară, a doua viteză (cea areolară) este vectorială, iar a treia viteză (volumică) este din nou scalară. Oare nu mai există şi alte tipuri de viteze ca să urmeze iar o viteză vectorială, apoi una scalară şi aşa mai departe? Oare am putea construi vreun cuaternion important format dintr-o viteză scalară şi una vectorială?
-(08:48). Apropo de cuaternioni, ce-ar fi să construim şi să studiem un cuaternion al cărui scalar să fie lungimea vectorului, iar versorii săi să fie tocmai versorii triedrului Frenet asociat vectorului respectiv?
-(10:54). Mecanica analitică a descoperit un concept valoros: spaţiul configuraţiilor. Acest spaţiu simplifică oarecum analiza unui sistem cu mai multe componente (precum ar fi o nebuloasă) deoarece asociază sistemului un singur punct care se mişcă într-un spaţiu multidimensional. Dacă ar fi să studiez proprietăţile mişcării într-un asemenea spaţiu, aş mai ajunge la un fel de formule Frenet?
-(10:59). Poziţia unui punct în spaţiul configuraţiilor ar fi dată de un vector cu mai mult decât trei dimensiuni. Oare pentru asemenea vectori putem găsi „triedre” Frenet, adică sisteme de versori care să satisfacă nişte relaţii asemănătoare celor date de Frenet pentru un vector tridimensional?
-(11:02). Să luăm, de exemplu, un vector cu patru dimensiuni şi să analizăm derivata acestuia în raport cu timpul. Mai putem oare separa vectorul într-un produs dintre un scalar şi un versor? Prin definiţia spaţiului configuraţiilor, da, putem face această separare.
-(11:23). Prima derivată a unui versor este perpendiculară pe versorul respectiv, indiferent câte dimensiuni are spaţiul în care este reprezentat versorul. De fapt, analiza anterioară a vectorilor n-a prea introdus ceva particular legat de numărul componentelor sale, deci această analiză este valabilă şi pentru vectorii de dimensiuni mai mari decât trei. Asta înseamnă că şi pentru un vector din spaţiul cu n dimensiuni putem scrie relaţia



-(11:34). Vectorul însuşi, derivata lui şi derivata a doua sunt vectori liniar independenţi în spaţiul cu trei dimensiuni. În spaţiul cu mai multe dimensiuni această relaţie implică şi următoarele derivate ale vectorului. Asta înseamnă că şi în spaţiul cu mai multe dimensiuni apare mult dorita recurenţă, deoarece derivatele de ordin mai mare sau egal cu numărul dimensiunilor depind de derivatele anterioare (adică, de ordin mai mic).
-(11:44). Apare o problemă în studiul spaţiului configuraţiilor. Spuneam că poziţia unei nebuloase este dată de un punct în spaţiul configuraţiilor. Pentru a putea preciza poziţia acestui punct ar trebui să ştim exact câte componente are nebuloasa, ceea ce este inacceptabil, pentru că nu putem cunoaşte cu precizie acest număr. Pentru a rezolva asemenea probleme vom fi nevoiţi să emitem ipoteze privind numărul componentelor, ceea ce poate fi un proces subiectiv, căci în ultimă instanţă putem presupune simplu că nebuloasa este ea însăşi un singur corp căruia îi putem asocia o poziţie în spaţiul tridimensional.
-(11:51). Aşadar, spaţiul tridimensional, împreună cu mărimile fizice care intervin în acest spaţiu, rămâne în continuare la baza studiului. Tendinţa noastră de studiu şi observaţie experimentală este să descoperim acele aspecte esenţiale ce definesc un corp pentru a-l putea considera un element de sine stătător în spaţiul tridimensional, singurul spaţiu în care noi putem măsura direct proprietăţile corpului şi astfel putem acţiona controlat asupra lui.
-(12:10). Ok, am revenit atunci la spaţiul tridimensional. Şi ţinem minte faptul că în spaţiul tridimensional un vector, derivata sa şi a doua sa derivată sunt vectori liniar independenţi.
-(12:13). Unul dintre cei mai importanţi vectori ce caracterizează un corp este vectorul de poziţie. Numai că acest vector nu ne furnizează informaţii obiective despre corpul respectiv, informaţii care să nu depindă de locul în care se află observatorul. Atunci, probabil prima derivată a poziţiei (adică viteza) ne-ar putea furniza asemenea informaţii obiective. Într-adevăr, viteza unui corp este aceeaşi indiferent unde se află observatorii. Numai că viteza unui corp depinde, de data aceasta, de viteza observatorilor, deci iată că gradul de obiectivitate al vitezei este şi el limitat. Ne rămâne speranţa în a doua derivată (acceleraţia). Nici vorbă, şi a doua derivată depinde de acceleraţia observatorilor. Atunci ce ne facem? Pe care derivată a poziţiei vom pune preţ?
-(12:23). Păi, dacă apar atâtea complicaţii în legătură cu obiectivitatea, atunci s-ar putea să fie necesar să aprofundăm şi această noţiune. Ce este obiectivitatea? Există proprietăţi cu adevărat obiective? Se pare că nu, atâta vreme cât observatorii se pot mişca oricum prin Univers, adică pot avea viteze diferite, pot avea acceleraţii diferite, etc.
-(12:27). Prin urmare, va trebui să ne mulţumim cu o obiectivitate parţială şi va trebui să presupunem că observatorii implicaţi în cunoaştere se mişcă oarecum la fel (măcar pentru un anumit ordin finit al derivatei), altfel n-ar putea să-şi transmită unul altuia cunoştinţe valabile obţinute prin propria experienţă, ceea ce, prin convenţie, considerăm a fi absurd, deoarece practica a demonstrat că se pot transmite anumite cunoştinţe valabile de la un observator la altul. Ei bine, Fizica trebuie să studieze tocmai acest tip de cunoştinţe, care se pot transmite între observatori, de aceea, Fizica se va mulţumi întotdeauna cu o obiectivitate parţială, suficientă pentru practică.
-(12:45). În concluzie, cel mai neobiectiv vector este vectorul de poziţie. În mod sigur, şi din acest motiv, vectorul de poziţie este privilegiat şi merită să-i acordăm o atenţie sporită.

(Joi, 30 iulie 2009)

-(21:36). Doresc acum să meditez la ceea ce eu am numit „radiaţie polară”. O nebuloasă care se contractă (sub influenţa unei cauze oarecare precum ar fi gravitaţia) şi care conţine materie nu doar într-un plan perpendicular pe momentul său cinetic va pierde energie pe la polii săi. Pierzând energie şi contractându-se, nebuloasa pierde şi masă şi moment cinetic.
-(22:06). Energia pierdută de nebuloasă pe la poli este purtată de nişte particule. Aceste particule trebuie să fie cât mai uşoare deoarece particulele cele mai grele sunt atrase mai puternic spre centrul nebuloasei decât particulele cele mai uşoare.
-(22:17). Mai precis, nebuloasele cu densitate iniţială mare vor putea pierde numai particule uşoare şi rapide precum sunt fotonii, spre deosebire de nebuloasele cu densitatea iniţială mică a căror energie se poate pierde şi prin particule mai grele şi mai lente.
-(22:30). Nebuloasa pierde energie numai datorită faptului că ea nu este complet aplatizată. Dacă nebuloasa ar fi fost iniţial complet aplatizată, atunci ea nu ar mai fi pierdut energie prin fenomenul de radiaţie polară pe care îl studiem aici. Aşadar, pierzând energie, nebuloasa se aplatizează.
-(22:43). Dar noi ştim că o nebuloasă pe care o presupunem ca fiind departe de alte corpuri trebuie să-şi conserve atât energia, cât şi momentul cinetic. Înseamnă că atât energia nebuloasei, cât şi momentul său cinetic trebuie să se regăsească undeva în altă parte a nebuloasei. Unde anume?
-(22:54). Păi unde altundeva decât spre periferia nebuloasei? Cum nebuloasa tinde să se aplatizeze, particulele care au scăpat pe la polii nebuloasei se vor amplasa în aşa fel încât nebuloasa să devină mai aplatizată decât a fost iniţial.
-(23:29). Se pare că gradul de aplatizare a unei nebuloase reprezintă o mărime fizică deosebit de importantă, alături de masa nebuloasei şi de momentul cinetic al acesteia. Dar, evident, aplatizarea are o strânsă legătură cu impulsul volumic, deoarece impulsul volumic este singura mărime fizică dependentă de volum ce poate fi invocată aici.
-(23:52). Faptul că nebuloasele cu densitate mică pot pierde particule mai mari şi invers ne deschide posibilitatea de a vedea o legătură între densitatea mică a lui Saturn şi mărimea bolovanilor din inelele sale precum şi dintre densitatea mare a stelelor neutronice şi radiaţia intensă emisă de către acestea.

(Vineri, 31 iulie 2009)

-(00:33). Dacă nebuloasa s-ar contracta necontrolat, atunci impulsul său volumic ar scădea. Cum impulsul volumic al nebuloasei trebuie de fapt să se conserve, rezultă că nebuloasa va trebui să facă ceva care să-i menţină constant impulsul volumic. În această situaţie, pentru a putea menţine constant impulsul volumic, nebuloasa va acţiona în două moduri: va îndepărta cât mai mult corpurile cu moment cinetic mic sau va mări cât mai mult momentul cinetic al corpurilor pe care nu le poate îndepărta prea mult.
-(01:02). În concluzie, în interiorul nebuloasei rămân particule cu moment cinetic mare, iar asupra particulelor cu moment cinetic mic acţionează o forţă de repulsie pe la poli.