Cercetări august 2009

Cercetările mele din luna august 2009

(Duminică, 2 august 2009)

-(09:14). Există ceva important rămas nestudiat în legătură cu variaţia în timp a unui vector oarecare. Dacă un vector este definit de trei parametri scalari şi poate fi descompus în modul şi direcţie, înseamnă că şi direcţia poate fi descompusă în alte două elemente. Ştim că unul dintre elemente ar putea fi curbura, iar celălalt torsiunea, dar mai ştim că ne putem folosi şi de viteza unghiulară de precesie a vectorului şi de unghiul pe care îl face vectorul cu această viteză unghiulară. Ei bine, aş prefera să analizez mai mult această a doua posibilitate.
-(09:23). Dacă doi scalari sunt suficienţi pentru a defini direcţia, atunci, folosindu-ne numai de viteza unghiulară şi de unghi, care ar fi cei doi scalari relevanţi? Ar fi oare suficienţi modulul vitezei unghiulare şi unghiul, rezultând din aceştia doi chiar şi direcţia vitezei unghiulare?
-(09:40). Se pare că da. Se pare că am putea obţine chiar şi direcţia vitezei unghiulare cunoscând doar modulul acesteia şi unghiul. De exemplu, ştim că pentru vectorul constant am putut admite că direcţia vitezei unghiulare coincide tocmai cu direcţia vectorului. Atunci, nimic nu ne mai poate împiedica să admitem că direcţia vitezei unghiulare este tocmai direcţia iniţială a vectorului dat.
-(09:55). Bun, dar ce ne facem dacă prima derivată a vectorului nu este constantă? Ştim că atunci mai apare o viteză unghiulară de precesie tocmai a vitezei unghiulare. Ba, mai mult, cu fiecare derivată superioară constatăm că viteza unghiulară de un anumit ordin precesează în jurul vitezei unghiulare de ordin imediat superior.
-(09:58). Atunci n-avem decât să presupunem că pentru vectorul constant toate vitezele unghiulare de ordin superior există şi au aceeaşi direcţie (care coincide cu direcţia vectorului dat) şi că pentru vectorul variabil, direcţiile vitezelor unghiulare superioare nu mai coincid cu direcţia iniţială.
-(10:02). Ajunşi aici, se naşte şi întrebarea dacă nu cumva chiar şi vectorul însuşi nu este altceva decât tot o viteză unghiulară. Într-adevăr, este cam ciudată această problemă, dar ea trebuie totuşi pusă. Păi ştim că natura unui vector poate fi foarte diversă şi că nu prea are ea legătură cu natura unei viteze unghiulare. Ca să echivalăm un vector oarecare cu o viteză unghiulară ar trebui să introducem o constantă de proporţionalitate între modulul acelui vector şi modulul vitezei unghiulare. Ce ziceţi, o facem şi pe asta?
-(10:08). De ce vrem totuşi să echivalăm orice vector cu o viteză unghiulară? Pentru că o asemenea echivalare ar completa frumos seria vitezelor unghiulare de ordin superior, permiţându-ne să considerăm că chiar şi vectorul constant nu este altceva decât tot o viteză unghiulară - viteza unghiulară de cel mai mic ordin.

(Joi, 6 august 2009)

-(14:01). Ce parametri, ce mărimi fizice trebuie să cunoaştem pentru a putea fi siguri că putem cunoaşte complet mişcarea unui sistem? O fi aceşti parametri daţi de impuls, de moment cinetic, de energia sistemului? Să fie cumva suficientă cunoaşterea lagrangeanului sistemului? Nu cumva avem nevoie de cunoaşterea unui vector? Sau a unui tensor?
-(14:06). Cum se poate mişca un sistem? Din câte ne amintim, un sistem se poate translata, roti şi deforma. Dar unde este precesia şi nutaţia? Oare translaţia, rotaţia şi deformarea sunt fenomene suficiente pentru a putea caracteriza complet mişcarea unui sistem fizic? Câţi parametri ne trebuie şi ce natură trebuie să aibă aceştia, scalară, vectorială, tensorială?
-(14:14). Probabil un număr mare de parametri de natură slabă este echivalent cu un număr mic de parametri de natură tare (un tensor este de natură mai tare decât un scalar). S-ar părea, deci, că ne trebuie un singur parametru (de natură tare). Care o fi acel parametru?
-(14:16). Ştim că rototranslaţia este definită de un tensor antisimetric, iar deformarea de un tensor simetric. Atunci combinaţia celor două mişcări să fie dată de combinaţia celor două tipuri de tensori (combinaţie echivalentă cu un tensor oarecare, căci orice tensor oarecare poate fi scris ca o sumă dintre un tensor simetric şi unul antisimetric).
-(14:24). Dar ce înseamnă că mişcarea este „dată” de un tensor (dacă ea este dată eventual de un tensor)? Să înţeleg că un asemenea parametru caracteristic pe care l-am asocia unui sistem ar trebui să fie constant în timp (şi în spaţiu), adică ar trebui să fie independent de mişcarea sistemului?
-(14:33). Oare trebuie să luăm în considerare caracterizarea unui sistem izolat sau a unui sistem aflat sub influenţe externe? Pe care dintre sisteme le putem caracteriza cu un parametru global, pe cele izolate sau pe cele neizolate?
-(14:36). Ştim că un sistem izolat are impulsul constant în timp, deci am putea avea tentaţia de a presupune că impulsul este parametrul caracteristic al sistemului. Dar noi ştim că orice sistem mai are şi moment cinetic, iar dacă sistemul mai este şi izolat pe deasupra, atunci şi momentul său cinetic se conservă. Atunci pe care dintre cei doi parametri distincţi îl vom alege ca să reprezinte sistemul, pe impuls sau pe moment cinetic?
-(14:59). Orice alegere am face, aceasta ar fi insuficientă, căci cunoscând impulsul nu putem cunoaşte momentul cinetic şi nici invers. În schimb, interesant este că dacă am cunoaşte toate impulsurile particulelor care compun sistemul, atunci am putea determina şi momentul cinetic total al sistemului. Oare şi invers? Oare dacă am putea cunoaşte toate momentele cinetice (proprii?) ale particulelor componente, atunci am putea deduce impulsul total al sistemului? Hmmmm..., ar fi tare ciudat să putem aşa ceva...
-(16:55). Numai că dacă nu am putea şi invers, atunci ar însemna că impulsul are ceva privilegiat faţă de momentul cinetic, ceea ce ar fi oarecum absurd. Este translaţia privilegiată faţă de rotaţie? Nu prea cred. Şi atunci cum am putea găsi impulsul cunoscând toate momentele cinetice?

(Luni, 10 august 2009)

-(10:35). Una dintre marile certitudini ale Fizicii este conservarea impulsului unui sistem izolat. Totuşi, faptul că impulsul unui sistem liber se conservă nu implică nicidecum şi faptul că impulsurile particulelor componente s-ar conserva şi ele. Dimpotrivă, este foarte posibil ca, în ciuda faptului că impulsul total al sistemului rămâne constant în timp, mişcările particulelor componente să fie foarte variabile.
-(11:22). Cel mai simplu sistem diferit de un punct material este un sistem alcătuit din două puncte materiale. Pentru a obţine dintr-un punct două puncte este necesar să îndepărtăm reciproc cele două puncte. Pentru a îndepărta reciproc două puncte materiale este necesar ca impulsul lor să varieze. Dar s-a stabilit faptul că impulsul nu poate varia altfel decât precesând în jurul unei viteze unghiulare. Dar o asemenea precesie implică apariţia unui moment cinetic.
-(11:40). Atunci, una dintre cele mai importante concluzii la care am ajuns vreodată este aceea că un sistem izolat ce a provenit dintr-un punct şi este răspândit în spaţiu trebuie să aibă moment cinetic.
-(11:47). Cum sistemul este izolat, momentul său cinetic total trebuie să se conserve. Aşadar, apariţia unui moment cinetic datorat distribuţiei spaţiale a sistemului, trebuie să fie compensată de apariţia altui moment cinetic de sens opus. Dar apariţia a două momente cinetice de sens opus este echivalentă cu apariţia unui impuls volumic.
-(12:03). În concluzie, câştigul distribuţiei spaţiale se face numai cu condiţia apariţiei unui impuls volumic în sistem. Putem spune, deci, că un sistem a cărui distribuţie spaţială se modifică are impuls volumic variabil, ceea ce înseamnă că nu mai poate fi sistem izolat.
-(12:44). Se pune acum problema dacă pot exista situaţii neobişnuite în care unul dintre parametrii dinamici ar putea varia independent de ceilalţi parametri dinamici. Din câte am aflat acum, se pare că răspunsul este negativ. Altfel spus, în cazul unui sistem izolat, un parametru dinamic nu poate varia altfel decât împreună cu ceilalţi parametri dinamici.
-(13:27). Ştim că impulsul volumic poate varia în două sensuri. Atunci dacă sistemul se dilată, ce putem spune despre impulsul său volumic, creşte sau scade? Trebuie să fie posibile ambele alternative, căci nu văd nicio constrângere în acest sens.
-(14:37). Există posibilitatea remarcabilă ca sistemul cu impuls volumic de un anumit sens să fie constituit din materie, iar sistemul cu impuls volumic de sens contrar să fie constituit din antimaterie.
-(15:06). Dacă toţi parametrii dinamici ai unui sistem au tendinţa să varieze simultan, atunci aceasta ar presupune că există numai un singur tip de câmp. Mai mult, ar însemna că toţi parametrii dinamici ar putea fi unificaţi într-unul singur. Cât de verosimilă pare o asemenea eventualitate?
-(15:20). Să presupunem că ea este suficient de verosimilă încât să o luăm în calcul. În acest caz, ar fi ideal să inventăm o noţiune care să înglobeze toţi parametrii dinamici ai unui sistem. O asemenea noţiune trebuie să ne spună tot ce se poate spune despre un sistem, adică să ne furnizeze valorile masei, impulsului, momentului cinetic şi impulsului volumic.

(Joi, 13 august 2009)

-(09:13). Trebuie scoasă mai mult în evidenţă importanţa faptului că variaţia unui vector se face cu precesie în jurul unei viteze unghiulare. Viteza unghiulară respectivă este viteza cu care se roteşte triedrul Frenet asociat vectorului respectiv.
-(09:42). Dacă variaţia vectorului este într-un plan (planul osculator este constant), atunci torsiunea asociată vectorului este nulă, iar viteza unghiulară este coliniară cu binormala. Dar, evident, acesta este doar un caz particular, căci în general variaţia vectorului nu este plană, deci în general planul osculator nu este constant.
-(10:01). Poate că studiul general al vectorilor este doar o parte interesantă a matematicii şi ar putea fi amânat pentru clipe în care voi fi preocupat mai mult de matematică. Acum ar trebui să mă concentrez mai mult pe studiul mişcării fizice, deci pe studiul modului în care variază impulsul.
-(10:08). Dacă un sistem este liber, atunci impulsul său total este constant. Dacă sistemul liber este alcătuit dintr-o singură particulă, atunci impulsul particulei respective este tocmai impulsul total şi constant al sistemului.
-(10:16). Ce se întâmplă dacă, dintr-o cauză oarecare (a cărei natură de internă-externă va trebui înţeleasă), sistemul se desface dintr-o particulă, cum era iniţial, în două particule, dar fără să i se modifice impulsul total? Ce natură are o asemenea cauză, internă sau externă? Nu cumva putem admite că nu există altfel de cauze decât cauze externe?
-(10:36). Oricum, indiferent de natura pe care o vom atribui cauzei, particulele care erau iniţial împreună (căci am considerat că iniţial sistemul liber era alcătuit dintr-o singură particulă) aveau impulsurile coliniare, iar interacţiunea a produs variaţia acestor impulsuri.
-(10:57). Dar impulsurile nu pot varia altfel decât aşa cum am descoperit că le permite matematica să varieze, adică nu pot varia altfel decât precesând în jurul unei viteze unghiulare.
-(11:08). Am o presimţire ciudată că trebuie să postulăm că, într-o interacţiune care desface sistemul iniţial în două particule componente, modulul impulsurilor particulelor componente rămâne constant. Dacă ar fi valabilă o asemenea proprietate, atunci ar trebui ca viteza întregului sistem să scadă. Cum impulsul total al sistemului liber se conservă, ar însemna că creşte masa totală a sistemului. Ar însemna deci că desfacerea unui sistem în părţi componente duce la creşterea masei sale. Ar mai putea însemna că masa unui sistem se datorează tocmai extinderii spaţiale a sistemului, aşa cum am mai concluzionat de alte câteva ori cu alte ocazii.
-(12:16). Avem de analizat acum ceva extrem de intrigant. Să presupunem că sistemul liber alcătuit dintr-o singură particulă pătrunde într-un câmp care produce desfacerea particulei iniţiale în două particule distincte. Ştim că acest fenomen de desfacere produce precesia impulsurilor particulelor nou apărute. Şi mai ştim că impulsul total trebuie să se conserve. Asta înseamnă că una dintre particule va alege un anumit drum, iar cealaltă particulă va alege un drum complementar. Se ridică atunci întrebarea: „Prin ce diferă atât de fundamental cele două particule încât una dintre ele alege drumul exact opus celeilalte?”. De unde ştie câmpul extern să facă distincţie între cele două particule?
-(12:38). Primul răspuns (şi poate singurul) care îmi vine în minte este distincţia dintre cele două sarcini electrice. Nu poate fi altfel. Nu poate exista o altă cauză. Nu poate exista o altă distincţie atât de fundamentală între două corpuri care să ducă la alegerea efectivă a două drumuri complet opuse.
-(12:49). Iar cu această constatare am demonstrat încă o dată că electricitatea nu este altceva decât o formă de manifestare a mişcării materiei neutre.
-(12:54). Ok. Atunci, cu această constatare în minte, să reconstituim fenomenele care se produc la contactul dintre un sistem de particule şi un câmp capabil să desfacă sistemul. În primul rând, mi-ar plăcea să stabilesc ce natură poate avea un câmp capabil să desfacă un sistem de particule. O fi el câmp electric sau câmp magnetic?
-(13:03). Înainte ca sistemul să atingă câmpul, particulele sunt apropiate şi au impulsurile coliniare. În momentul în care sistemul începe să pătrundă în câmp se poate spune că acel câmp este variabil în acel loc pentru că începe să crească de la zero la valoarea maximă. Aşadar, putem corela (chiar echivala) variaţia impulsurilor cu variaţia câmpului. Altfel spus, putem considera că particulele se îndepărtează una de alta numai pentru că acel câmp este variabil. Într-un câmp constant, particulele ar rămâne la o distanţă constantă una faţă de cealaltă (şi asta vor şi face particulele după ce vor trece de frontiera câmpului, intrând complet în acesta). Cu cât frontiera este mai groasă, cu atât variaţiile impulsurilor sunt mai mici, şi invers. Oricum, orice frontieră are o anumită grosime nenulă pentru că, în caz contrar, variaţiile impulsurilor ar trebui să fie infinite, ceea ce este imposibil în lumea fizică.
-(13:15). Să revenim atunci la natura câmpului. Trebuie să obţinem o asemenea natură pentru câmp încât aceasta să fie compatibilă cu mişcarea de precesie a impulsurilor în jurul unei direcţii constante (după cum am văzut că se întâmplă cu impulsurile variabile). De aceea, este clar că un câmp electric nu ar permite stabilizarea mişcării într-o asemenea manieră, căci el accelerează particulele încărcate electric. Numai câmpul magnetic poate avea un cuvânt de spus aici.
-(13:36). Deci, iniţial sistemul simte că pătrunde într-un câmp magnetic variabil în timp. Acest câmp magnetic variabil în timp produce un câmp electric (după cum spun ecuaţiile lui Maxwell) care câmp electric acţionează cu forţe asupra sarcinilor electrice constituente ale sistemului iniţial. Prin urmare, presupunerea că sarcina electrică este răspunzătoare pentru alegerea de către impulsuri a sensului de variaţie nu poate fi decât compatibilă cu ceea ce se ştie astăzi despre câmpul electromagnetic. Numai că interpretarea noastră are marele avantaj că introduce sarcina electrică într-un context teoretic general, independent de interpretările experimentelor, deducând necesitatea existenţei sarcinii.
-(13:53). Putem acum formula mai precis concluziile noastre. Putem spune că o particulă care pătrunde într-un câmp magnetic de-a lungul liniilor de câmp va suferi o scindare în două particule încărcate electric ce se vor roti în jurul liniilor de câmp magnetic, cu aceeaşi viteză unghiulară (constantă) şi eventual cu unghiul diferit (dar constant şi el).
-(14:03). Şi totuşi nu mi-este ceva clar! De unde ştie fiecare dintre cele două particule scindate care să fie pozitivă şi care să fie negativă? Doar ambele au acelaşi drept privind semnul sarcinii electrice pe care să îl poarte. Niciuna dintre ele nu are ceva privilegiat în raport cu cealaltă. Sau are?
-(15:16). Poate că semnul sarcinii pe care îl poartă o particulă este ceva ce ea nu pierde şi nu câştigă niciodată. Poate că acest semn este ceva caracteristic corpului de la începutul apariţiei sale. Ar fi singura explicaţie pentru dihotomia pozitiv-negativ inerentă tuturor corpurilor.

(Duminică, 16 august 2009)

-(10:36). Mă preocupă din ce în ce mai mult reformularea teoremei de recurenţă într-un limbaj mai general care să nu mai facă apel la versorii triedrului Frenet. Pentru aceasta ar trebui regăsită recurenţa printre derivatele de ordin superior ale unui vector oarecare. Am putea realiza aceasta deoarece noi am stabilit că un vector nu poate varia altfel decât precesând în jurul unei viteze unghiulare, viteză unghiulară care poate fi utilizată pentru definirea recurenţei.
-(10:51). Sau poate mă preocupă, de fapt, construirea unui aparat matematic aferent acestei teoreme de recurenţă care să ne permită manipularea mai facilă a derivatelor de ordin superior. De exemplu, mi-ar plăcea să pot scrie expresia analitică a unui vector în raport cu triedrul său Frenet şi nu doar în raport cu un reper cartezian oarecare. Aceasta pentru că scalarii ce definesc vectorul în raport cu un reper cartezian depind de reper, pe când scalarii care ar defini vectorul în raport cu triedrul său Frenet ar fi independenţi de reper.
-(12:01). Consider că orice corp din Univers are modulul vitezei sale constant şi egal cu valoarea vitezei luminii în vid. În schimb, direcţia vitezei unui corp poate varia foarte mult. Din acest motiv, derivata vitezei se comportă ca şi derivata tangentei triedrului Frenet, deci este mereu perpendiculară pe viteză. Aşadar, acceleraţia unui corp este mereu perpendiculară pe viteză (şi, implicit, este coliniară cu normala traiectoriei).

(Miercuri, 26 august 2009)

-(14:35). Dacă facem produsul vectorial dintre un vector şi derivata sa, obţinem



deci



Din formula dublului produs vectorial,



rezultă în final că pentru orice vector  avem



-(15:22). Ultima formulă strigă la noi şi ne spune că produsul vectorial dintre un vector şi derivata sa nu depinde de felul în care variază modulul vectorului. Indiferent că lungimea vectorului se modifică sau nu, acest produs vectorial este acelaşi. Dar acest produs vectorial ne dă direcţia binormalei asociate vectorului respectiv. Deci formula ne mai spune că direcţia binormalei vectorului nu depinde de variaţia modulului său.

(Duminică, 30 august 2009)

-(15:23). Dacă timpul nu ar trece, atunci toţi vectorii ar fi constanţi. Şi reciproc. Trecerea unui vector de la caracterul de constant la caracterul de variabil se face datorită trecerii timpului.
-(15:27). În Fizică, variaţia unui vector se datorează unui câmp. Prin urmare, între câmp şi timp există o legătură. Putem spune că există câmpuri tocmai pentru că trece timpul. Şi reciproc, putem spune că trece timpul tocmai pentru că ne aflăm într-un câmp oarecare.
-(15:29). Însă putem produce câmpuri numai consumând energie. Deci şi între energie şi timp există o strânsă legătură.
-(15:32). Spuneam că derivata în raport cu timpul a unui vector are două componente: una paralelă cu vectorul însuşi şi una perpendiculară pe vector. Vrem acum să stabilim care este contribuţia vectorului la variaţia sa şi care este contribuţia câmpului la variaţie. Vrem aceasta deoarece căutăm elementele caracteristice ale câmpului ce poate produce variaţia vectorilor.
-(15:45). Vectorul care începe să varieze începe să preceseze în jurul vitezei unghiulare. Atât timp cât vectorul se află în frontiera câmpului, unghiul dintre vector şi viteza unghiulară începe să crească şi, eventual, se modifică modulul vectorului. Un asemenea comportament ne poate sugera că, după ce a trecut de frontiera câmpului (unde câmpul este variabil) şi a pătruns în interiorul câmpului constant, unghiul dintre vector şi viteza unghiulară începe să se menţină constant, iar modulul vectorului nu mai variază.
-(15:58). Ar rezulta ceva foarte interesant: că modulul unui vector nu poate varia decât în frontierele câmpurilor, nu şi în interiorul acestora. Şi reciproc, ar rezulta că orice frontieră modifică şi modulul vectorilor.
-(16:06). Dar variaţia câmpului din frontieră nu se poate face decât sub influenţa altui câmp care există numai în frontieră. Acest alt câmp respectă şi el legea variaţiilor. În ultimă instanţă, în orice frontieră există o infinitate de câmpuri. Pentru a evita o asemenea complexitate este suficient să ştim că o frontieră nu face altceva decât modifică unghiul, viteza unghiulară şi modulul, urmând ca în interiorul câmpului să nu mai varieze nici modulul, nici viteza unghiulară şi nici unghiul.
-(16:32). Trebuie să luăm în considerare faptul că în natură nu există câmpuri constante, ceea ce înseamnă că totul este o frontieră, dealtfel. Să vedem dacă putem ajunge pe această cale la concluzia că un câmp natural (ce se confundă cu frontiera sa) este centrat într-un punct.
-(16:37). Faptul că nu există câmpuri constante ne obligă să vedem în ce măsură putem face aproximaţii relevante. Cel mai complex câmp ar fi acela în care variaţia unui vector ar avea toate componentele posibile. Dar ştim că numai trei asemenea componente sunt liniar independente: vectorul însuşi, prima sa derivată şi a doua.