Căutați ceva anume?

luni, 16 mai 2011

Maxima confirmă că orice vector are un triedru Frenet

Am început recent să utilizez programul de calcul automat Maxima pentru a testa din nou valabilitatea celor spuse de teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet.

Pentru început, am testat dacă este adevărat că orice vector variabil are un triedru Frenet. În câteva minute, Maxima a prezentat următoarele rezultate:


-La (%i1) sunt definite viteza unui vector oarecare u, modulul său, tangenta, normala, binormala, produsul scalar şi vectorial precum şi viteza unghiulară de curbare şi de torsionare:
  
-(%i12) este definiţia vectorului oarecare şi a derivatei sale în raport cu parametrul t.
-Rezultatul (%o14) ne arată că produsul vectorial dintre derivata binormalei şi normală este nul, ceea ce înseamnă că derivata binormalei şi normala sunt vectori coliniari, oricum ar fi definit vectorul r(t).



-De asemenea, (%o15) ne spune că şi derivata tangentei este coliniară cu normala, oricare ar fi vectorul r(t).
-De la (%o16) se observă că viteza unghiulară vu(t), aşa cum a fost ea definită, este viteza de variaţie atât a tangentei, cât şi a normalei şi a binormalei, deci este viteza de rotaţie a triedrului Frenet asociat vectorului r(t).
-În fine, ultimul rezultat, (%o19) este cel care demonstrează că viteza unghiulară a triedrului Frenet (asociat oricărui vector) este întotdeauna perpendiculară pe normală.




Cei care doriţi să testaţi aceste rezultate, instalaţi Maxima, deschideţi un fişier gol şi lipiţi definiţiile „viteza(u):=diff(u,t);modul(u):=sqrt(u[1]^2+u[2]^2+u[3]^2);tangenta(u):=u/modul(u);normala(u):=viteza(tangenta(u))/modul(viteza(tangenta(u)));vectorial(x,y):=[x[2]*y[3]-x[3]*y[2],x[3]*y[1]-x[1]*y[3],x[1]*y[2]-x[2]*y[1]];binormala(u):=vectorial(tangenta(u),normala(u));scalar(x,y):=x[1]*y[1]+x[2]*y[2]+x[3]*y[3];vc(u):=modul(viteza(tangenta(u)));vt(u):=modul(viteza(binormala(u)));vu(u):=vt(u)*tangenta(u)+vc(u)*binormala(u);l(u):=vc(u)/vt(u);
”, apoi testaţi rezultatele pentru vectorul „r(t):=[a(t),b(t),c(t)]”, cerându-i minunatului program să vă calculeze fiecare dintre cerinţele anterioare:
radcan(trigsimp(vectorial(viteza(binormala(r(t))),normala(r(t)))));

radcan(trigsimp(vectorial(viteza(tangenta(r(t))),normala(r(t)))));

radcan(trigsimp(viteza(tangenta(r(t)))-vectorial(vu(r(t)),tangenta(r(t)))));

radcan(trigsimp(viteza(normala(r(t)))-vectorial(vu(r(t)),normala(r(t)))));

radcan(trigsimp(viteza(binormala(r(t)))-vectorial(vu(r(t)),binormala(r(t)))));


radcan(trigsimp(scalar(vu(r(t)),normala(r(t)))));”.

Prin aceasta, prezentul material demonstrează încă o dată că oricărui vector, de orice natură ar fi acesta (fie că este poziţia, impulsul, câmpul magnetic, electric sau gravitaţional) i se asociază tangenta, normala şi binormala, dar mai ales, aceşti versori satisfac formulele lui Frenet. Faceţi cumva şi profitaţi de aceste rezultate inedite şi cu consecinţe în întreaga Fizică!

Postări populare

A apărut o eroare în acest obiect gadget

Arhivă blog

Etichete

Persoane interesate