Am început recent să utilizez programul de calcul automat Maxima pentru a testa din nou valabilitatea celor spuse de teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet.
Pentru început, am testat dacă este adevărat că orice vector variabil are un triedru Frenet. În câteva minute, Maxima a prezentat următoarele rezultate:
Pentru început, am testat dacă este adevărat că orice vector variabil are un triedru Frenet. În câteva minute, Maxima a prezentat următoarele rezultate:
-La (%i1) sunt definite viteza unui vector oarecare u, modulul său, tangenta, normala, binormala, produsul scalar şi vectorial precum şi viteza unghiulară de curbare şi de torsionare:
-(%i12) este definiţia vectorului oarecare şi a derivatei sale în raport cu parametrul t.
-Rezultatul (%o14) ne arată că produsul vectorial dintre derivata binormalei şi normală este nul, ceea ce înseamnă că derivata binormalei şi normala sunt vectori coliniari, oricum ar fi definit vectorul r(t).
-De asemenea, (%o15) ne spune că şi derivata tangentei este coliniară cu normala, oricare ar fi vectorul r(t).
-De la (%o16) se observă că viteza unghiulară vu(t), aşa cum a fost ea definită, este viteza de variaţie atât a tangentei, cât şi a normalei şi a binormalei, deci este viteza de rotaţie a triedrului Frenet asociat vectorului r(t).
-În fine, ultimul rezultat, (%o19) este cel care demonstrează că viteza unghiulară a triedrului Frenet (asociat oricărui vector) este întotdeauna perpendiculară pe normală.
Cei care doriţi să testaţi aceste rezultate, instalaţi Maxima, deschideţi un fişier gol şi lipiţi definiţiile „viteza(u):=diff(u,t);modul(u):=sqrt(u[1]^2+u[2]^2+u[3]^2);tangenta(u):=u/modul(u);normala(u):=viteza(tangenta(u))/modul(viteza(tangenta(u)));vectorial(x,y):=[x[2]*y[3]-x[3]*y[2],x[3]*y[1]-x[1]*y[3],x[1]*y[2]-x[2]*y[1]];binormala(u):=vectorial(tangenta(u),normala(u));scalar(x,y):=x[1]*y[1]+x[2]*y[2]+x[3]*y[3];vc(u):=modul(viteza(tangenta(u)));vt(u):=modul(viteza(binormala(u)));vu(u):=vt(u)*tangenta(u)+vc(u)*binormala(u);l(u):=vc(u)/vt(u);
”, apoi testaţi rezultatele pentru vectorul „r(t):=[a(t),b(t),c(t)]”, cerându-i minunatului program să vă calculeze fiecare dintre cerinţele anterioare:
”, apoi testaţi rezultatele pentru vectorul „r(t):=[a(t),b(t),c(t)]”, cerându-i minunatului program să vă calculeze fiecare dintre cerinţele anterioare:
„radcan(trigsimp(vectorial(viteza(binormala(r(t))),normala(r(t)))));
radcan(trigsimp(vectorial(viteza(tangenta(r(t))),normala(r(t))))); radcan(trigsimp(scalar(vu(r(t)),normala(r(t)))));”.
Prin aceasta, prezentul material demonstrează încă o dată că oricărui vector, de orice natură ar fi acesta (fie că este poziţia, impulsul, câmpul magnetic, electric sau gravitaţional) i se asociază tangenta, normala şi binormala, dar mai ales, aceşti versori satisfac formulele lui Frenet. Faceţi cumva şi profitaţi de aceste rezultate inedite şi cu consecinţe în întreaga Fizică!
Perfect! Cu siguranta imi va fi de folos!
RăspundețiȘtergereMersi pentru confirmare, Răzvan!
RăspundețiȘtergereAcest rezultat este stiut de cel putin un secol. Il gasesti in orice carte de analiza vectoriala sau geometrie diferentiala. Incearca o generalizare a conceptului de triedru Frenet in spatii neeuclidiene sau pe altfel de obiecte (tensori, cuaternioni), pentru ca altfel n-ai ce contributie aduce in plus pentru fizica.
RăspundețiȘtergereHmmm... Dacă acest rezultat s-ar găsi aşa uşor cum zici, atunci aş fi dat şi eu de el, dar eu încă nu l-am observat. Fii bun şi dă-mi o referinţă la vreo carte (şi pagina) în care aş putea găsi acest rezultat. Dacă se confirmă ce zici, mă înclin respectuos în faţa celui care mi-a luat-o înainte.
RăspundețiȘtergereUita-te in cartea "Vector and Tensor Analysis" a lui Louis Brand, pagina 92 (de fapt, cam tot ce am vazut pe situl tau e continut in capitolul3, "Vector functions of one variable"), dar nu sunt rezultatele lui, sunt chestiuni stiute de la Heaviside si Gibbs.
RăspundețiȘtergereMulţumesc frumos pentru referinţă. Sună interesant! Am căutat-o rapid, dar n-am găsit-o gratuit. N-ai putea să ne oferi vreo referinţă directă de pe internet la care să avem acces uşor?
RăspundețiȘtergerewww.library.nu Iti trebuie o adresa de gmail ca sa-ti poti face cont. Odata inregistrat, vei putea descarca orice carte din biblioteca lor, gratuit (au o colectie fantastica de carti de fizica si matematica).
RăspundețiȘtergereDin păcate, am dat acolo o căutare după „ Louis Brand” şi nu mi-a returnat niciun rezultat. Dacă tot ziceai că „Il gasesti in orice carte de analiza vectoriala sau geometrie diferentiala.”, atunci ar trebui să fie măcar în locuri ceva mai accesibile pe internet.
RăspundețiȘtergereCauta cand esti logat, eventual scrie si numele cartii. Daca nu esti in stare, ia direct linkul:
RăspundețiȘtergerehttp://library.nu/docs/VFG4D7WPHL/Vector%20and%20Tensor%20Analysis
Într-adevăr, după logare a apărut cartea, doar că acuma îmi trebuie o altă logare ca să pot dezarhiva cartea parolată. Chiar nu găseşti ceva mai simplu?
RăspundețiȘtergereAbel, Abel, nimic nu e simplu pe lumea asta. Ia priveste ce scrie la external links:
RăspundețiȘtergereifile.it - no password required
megaupload.com - ebooksclub.org
adica ori apesti pe primul link si descarci o arhiva neparolata ori apesi pe al doilea link si descarci arhiva cu parola data. Ia vezi daca reusesti.
Uite, îţi arăt eu un exemplu de ceva simplu: dai o căutare pe Google după expresia „Frenet pdf” dai clic pe unul dintre primele rezultate şi obţii direct un fişier scurt şi frumos cu formulele lui Frenet, fără să te înregistrezi şi fără nicio parolă. Iată ceva ce mi se pare simplu, ceva asemănător cu ceea ce aş fi vrut eu să ne dai.
RăspundețiȘtergereCu părere de rău, pe lincul „ifile.it - no password required” descărcarea a eşuat de trei ori, prima dată la 2,9 MB, apoi la 4,5, apoi la 3,9. Apoi am mai încercat o dată pe al doilea linc, dar acolo am nevoie de parolă şi nu ştiu cum s-o obţin altfel decât să mă mai înregistrezi iar şi în altă parte.
Eu cred că am făcut mai multe eforturi decât trebuia să fac pentru a putea citi „în orice carte” despre faptul că orice vector are un triedru Frenet. Fii bun şi arată-ne un linc mai simplu, asemănător celui pe care ţi l-am arătat eu, unul care nu mă pune să mă înregistrez aiurea pe internet.
Lasa-mi o adresa de e-mail si-ti trimit eu cartea, atunci.
RăspundețiȘtergereabel punct cavasi la gmail punct com
RăspundețiȘtergereAm trimis. Succes!
RăspundețiȘtergereMulţumesc! Am primit cartea şi m-am apucat să citesc ce mi-ai indicat.
RăspundețiȘtergerePăi, am crezut că acolo chiar se vorbeşte despre triedrul lui Frenet al oricărui vector, nu doar al vectorului tangent la curbă. Şi când colo ce să vezi, nu este altceva decât teoria curbelor. Ai citit primul rând din prefaţă, unde ai găsit ceva despre Gibbs şi Heaviside, apoi ai dat o căutare după formulele lui Frenet şi ai ajuns la teoria curbelor. Păi, prin ce diferă rezultatul prezentat în această carte de rezultatul descoperit de Frenet? Prin nimic. Acolo nu este vorba despre nimic nou, ci doar despre ceea ce a descoperit şi Frenet.
RăspundețiȘtergereAaaa, că după război mulţi viteji s-arată, aia-i altceva! Într-adevăr, rezultatul conform căruia oricărui vector îi putem asocia un triedru Frenet poate fi considerat ca fiind echivalent cu rezultatul lui Frenet din teoria curbelor, după cum bine ai observat, căci putem să considerăm că spaţiul acelor curbe nu este neapărat spaţiul fizic, ci este un alt spaţiu vectorial, ale cărui coordonate sunt alte mărimi fizice decât lungimile, caz în care teoria curbelor devine teoria hodografelor.
Dar de la a se putea ajunge la un rezultat până la a ajunge efectiv la acel rezultat este o cale lungă. Eu m-am aşteptat să-mi arăţi că generalizarea la orice vector a formulelor lui Frenet chiar a fost aplicată efectiv la ceva şi încă „de cel puţin un secol”. M-am aşteptat să-mi arăţi, de exemplu, că teoria lui Frenet a fost aplicată la câmpul electromagnetic sau la câmpul gravitaţional sau la deducerea unor fenomene hidrodinamice prin aplicarea formulelor lui Frenet nu doar la viteză, ci şi la poziţie, la impuls, la forţă, etcetera. Când colo, tu vii să ne prezinţi bine-cunoscutele formule ale lui Frenet, fără absolut nici o modificare. Păi, asta-i treabă?
Abel, cred ca inteleg ce-a vrut sa spuna. Oricum, aceea pare sa fie o carte de matematica, nu de fizica. Intr-adevar, nu stiu sa se fi intrebuintat formulele lui Frenet in studiul campului electromagnetic, se folosesc alte tehnici acolo. Cred ca ne ramane noua sa fim deschizatori de drumuri si pe acest fagas!
RăspundețiȘtergereÎntr-adevăr, Ilie, ne rămâne nouă să continuăm aplicarea formulelor lui Frenet în toate domeniile în care apar vectori, nu doar la teoria curbelor. Asta am şi vrut să transmit în acest material şi mă bucur că tu ai înţeles aşa ceva.
RăspundețiȘtergereTrebuie sa tii cont insa si de urmatorul aspect. Teorema Helmholtz spune ca intr-un spatiu tridimensional, un camp vectorial suficient de neted poate fi descris complet de functiile divergenta si rotor, asa cum descriu ecuatiile Maxwell campul electromagnetic. Nu stiu inca, si aparent nici in cartea aceea nu pare sa fie mentionat, ce se alege de formulele lui Frenet intr-un spatiu cuadridimensional, ca sa le gasim o utilitate in tratarea relativista a campului electromagnetic. In ceea ce priveste campul gravitational, ecuatiile lui Einstein sunt tensoriale, care este semnificatia formulelor lui Frenet acolo?
RăspundețiȘtergereBune întrebări, Ilie! Cu siguranţă că trebuie să ne punem astfel de întrebări pentru a duce mai departe studiul. Şi, într-adevăr, ar trebui început cu câmpul electromagnetic, căci despre el ştim multe lucruri. Şi (încep acum să) mă gândesc mai ales la câmpul electromagnetic din vid, căci el are ecuaţiile mai simple şi poate mai relevante pentru un asemenea studiu. În acest sens, cum atât ecuaţiile lui Maxwell sunt adevărate, cât şi formulele lui Frenet, în mod sigur există undeva o punte de legătură între ele, care legătură trebuie scoasă la iveală cumva (dar eu încă nu ştiu cum).
RăspundețiȘtergereTrecerea la spaţiul cuadridimensional mi se pare deocamdată pripită. Consider că până când nu înţelegem bine foarte multe aspecte ale formulelor lui Frenet în spaţiul tridimensional, nu avem prea mari şanse să înţelegem ceva util din spaţiul cuadridimensional. Mai mult, spaţiul tridimensional este cel care ne stă mai mult la îndemână, iar cel cuadridimensional este oarecum mai îndepărtat de intuiţia noastră. Fiind îndepărtat de intuiţie, sunt mai puţine şanse să facem descoperiri profunde în domeniul respectiv.
Evident, s-ar putea să mă înşel. S-ar putea ca spaţiul cuadridimensional, prin unificarea pe care o permite, să fie mai interesant de studiat. Eu voi lăsa acest studiu deoparte deocamdată (poate altcuiva) şi mă voi concentra mai mult asupra spaţiului tridimensional, care mi se pare mai real şi mai sigur.