Căutați ceva anume?

luni, 16 mai 2011

Maxima confirmă că orice vector are un triedru Frenet

Am început recent să utilizez programul de calcul automat Maxima pentru a testa din nou valabilitatea celor spuse de teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet.

Pentru început, am testat dacă este adevărat că orice vector variabil are un triedru Frenet. În câteva minute, Maxima a prezentat următoarele rezultate:


-La (%i1) sunt definite viteza unui vector oarecare u, modulul său, tangenta, normala, binormala, produsul scalar şi vectorial precum şi viteza unghiulară de curbare şi de torsionare:
  
-(%i12) este definiţia vectorului oarecare şi a derivatei sale în raport cu parametrul t.
-Rezultatul (%o14) ne arată că produsul vectorial dintre derivata binormalei şi normală este nul, ceea ce înseamnă că derivata binormalei şi normala sunt vectori coliniari, oricum ar fi definit vectorul r(t).



-De asemenea, (%o15) ne spune că şi derivata tangentei este coliniară cu normala, oricare ar fi vectorul r(t).
-De la (%o16) se observă că viteza unghiulară vu(t), aşa cum a fost ea definită, este viteza de variaţie atât a tangentei, cât şi a normalei şi a binormalei, deci este viteza de rotaţie a triedrului Frenet asociat vectorului r(t).
-În fine, ultimul rezultat, (%o19) este cel care demonstrează că viteza unghiulară a triedrului Frenet (asociat oricărui vector) este întotdeauna perpendiculară pe normală.




Cei care doriţi să testaţi aceste rezultate, instalaţi Maxima, deschideţi un fişier gol şi lipiţi definiţiile „viteza(u):=diff(u,t);modul(u):=sqrt(u[1]^2+u[2]^2+u[3]^2);tangenta(u):=u/modul(u);normala(u):=viteza(tangenta(u))/modul(viteza(tangenta(u)));vectorial(x,y):=[x[2]*y[3]-x[3]*y[2],x[3]*y[1]-x[1]*y[3],x[1]*y[2]-x[2]*y[1]];binormala(u):=vectorial(tangenta(u),normala(u));scalar(x,y):=x[1]*y[1]+x[2]*y[2]+x[3]*y[3];vc(u):=modul(viteza(tangenta(u)));vt(u):=modul(viteza(binormala(u)));vu(u):=vt(u)*tangenta(u)+vc(u)*binormala(u);l(u):=vc(u)/vt(u);
”, apoi testaţi rezultatele pentru vectorul „r(t):=[a(t),b(t),c(t)]”, cerându-i minunatului program să vă calculeze fiecare dintre cerinţele anterioare:
radcan(trigsimp(vectorial(viteza(binormala(r(t))),normala(r(t)))));

radcan(trigsimp(vectorial(viteza(tangenta(r(t))),normala(r(t)))));

radcan(trigsimp(viteza(tangenta(r(t)))-vectorial(vu(r(t)),tangenta(r(t)))));

radcan(trigsimp(viteza(normala(r(t)))-vectorial(vu(r(t)),normala(r(t)))));

radcan(trigsimp(viteza(binormala(r(t)))-vectorial(vu(r(t)),binormala(r(t)))));


radcan(trigsimp(scalar(vu(r(t)),normala(r(t)))));”.

Prin aceasta, prezentul material demonstrează încă o dată că oricărui vector, de orice natură ar fi acesta (fie că este poziţia, impulsul, câmpul magnetic, electric sau gravitaţional) i se asociază tangenta, normala şi binormala, dar mai ales, aceşti versori satisfac formulele lui Frenet. Faceţi cumva şi profitaţi de aceste rezultate inedite şi cu consecinţe în întreaga Fizică!

Postări populare

Arhivă blog

Etichete

Persoane interesate