Urmăriți mișcarea triedrului Frenet în imaginea de pe saitul http://www.math.byu.edu
Se observă că viteza liniară cu care triedrul parcurge curba poate fi descompusă în două componente reciproc perpendiculare: o componentă paralelă cu axa elicei și o componentă perpendiculară pe axa elicei.
Viteza liniară a triedrului Frenet este paralelă cu tangenta, deci avem 
. Atunci, prin definiție, putem scrie că, în cazul general, 
. De aici rezultă că 
. Dar știm că 
este versorul vitezei unghiulare. Așadar, viteza de ordin superior este paralelă cu viteza unghiulară (deci cu axa elicei tangente la curbă în punctul respectiv). Cu alte cuvinte, viteza de ordin superior este tocmai componenta vitezei paralelă cu axa elicei, deci este proiecția pe axă a vitezei de ordin inferior. Prin urmare avem că 
. Dar știm că 
, deci 
, adică 
. Înlocuind în formula vitezei, obținem că 
, de unde rezultă că 
. Dar această ultimă formulă trebuie să fie valabilă pentru orice ordin, deci avem că
!!!
Așadar, produsul dintre viteza liniară superioară și viteza unghiulară inferioară este constant!
Dar până unde putem coborî ordinul? Știm că odată cu micșorarea ordinului viteza unghiulară scade, iar viteza liniară crește. Mai știm că 
și că viteza maximă posibilă este viteza luminii, deci o viteză finită. Prin urmare, ordinul nu poate fi 0 pentru că valoarea constantei ar trebui să fie nulă pentru orice ordin, ceea ce nu este adevărat deoarece există ordine pentru care nici viteza liniară și nici viteza unghiulară nu se anulează. Cum cel mai mic ordin diferit de 0 este 1, rezultă că
!
Acest lucru este universal valabil, deci este valabil pentru orice mișcare posibilă! În particular, dacă 
, atunci 
. Prin urmare, există o viteză unghiulară minimă în Univers! Nicio viteză unghiulară a vreunui triedru Frenet nu poate fi mai mică decât această viteză unghiulară minimă!
Consider că această consecință a teoremei are o valoare deosebită.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Comentariile vor fi moderate în măsura timpului meu disponibil, după care vor apărea pe blog. Voi încerca să public doar comentariile consistente sau interesante sau adevărate sau corecte sau la obiect. Voi căuta să le elimin pe cele din care nu avem nimic de învățat sau pe cele care afectează negativ mintea cititorului sau reclamele fără legătură cu blogul. De asemenea, voi face tot posibilul să răspund la comentariile care cer un răspuns. Vă mulţumesc pentru efortul vostru de a scrie în lumina acestor consideraţii!