Un răspuns pentru Alexandru Răuţu

​Un răspuns pe care i l-am oferit lui Alexandru Răuţu pe forumul de astronomie, răspuns pe care îl consider ajutător pentru înţelegerea teoremei de recurenţă.

Totul a pornit de la constatarea (cunoscută, dealtfel, a) faptului că viteza unghiulară cu care se rotește triedrul lui Frenet este mereu perpendiculară pe normală. Pentru mine acest fapt nu a rămas doar o ciudățenie simplă a naturii, ci am considerat că are o importanță deosebită. Mai concret, având în vedere această perpendicularitate dintre viteza unghiulară și normală, putem să construim și un alt triedru, ai cărui versori să fie dați de versorul vitezei unghiulare (pe care l-am notat cu ), normala și produsul vectorial dintre acești doi versori (notat cu ). Pe vremea când nu știam ce proprietăți remarcabile de recurență are, ci doar bănuiam că merită o atenție deosebită, am numit acest triedru ca fiind triedrul complementar al lui Frenet și am sugerat că merită studiat.

Mai precis, cunoscând proprietățile

pe care le are triedrul Frenet, (unde , este curbura traiectoriei, torsiunea ei și viteza unghiulară de rotație a triedrului), am construit triedrul

.

Curios din fire, am început să studiez proprietățile noului triedru și am constatat cu stupoare că derivatele versorilor săi satisfac și ele proprietățile lui Frenet!

Mai detaliat, calculând derivatele versorilor triedrului complementar, am obținut

.

Apoi, după ce am notat

și , am obținut că

​

,

care, din nou, reprezintă proprietăți Frenet, dar aplicate de data aceasta la triedrul complementar. Această constatare m-a condus la concluzia că procesul de construire a unui triedru cu proprietăți Frenet este recursiv și m-am străduit să demonstrez aceasta. Tipul de demonstrație pe care l-am ales a fost acela al inducției matematice. Cum etapa de verificare a demonstrației a fost rezolvată prin existența triedrului complementar și a proprietăților sale, mai urma să rezolv etapa de inducție propriu-zisă.

Pentru această a doua etapă am presupus că se poate construi un asemenea triedru până la un oarecare ordin n inclusiv (inițial am notat ordinele superioare cu k în loc de n, dar apoi am observat că ar fi fost posibilă o confuzie cu pasul barat) și am intenționat să demonstrez că triedrul de ordinul n+1 are și el proprietățile lui Frenet.

Cum, în cazul general, trebuia să adaug indicele n la fiecare element al triedrului Frenet cunoscut (deci negeneral), am urmărit dacă și cum depind de ordin proprietățile acelui triedru, și am obținut

sau

cu .

Atunci era evident că, prin analogie cu triedrul complementar, triedrul de ordinul n+1 va fi constituit din versorul vitezei unghiulare de ordinul n, versorul normalei de ordinul n și din produsul vectorial al acestor doi versori, adică

.

Am derivat acești versori și am obținut

,

și

.

Apoi am notat cu și cu , notații cu care am obținut forma dorită a proprietăților lui Frenet pentru triedrul de ordin n+1:

.

Cum , am avut,

.

Cam aceasta a fost calea urmată de mintea mea pentru a ajunge la relația de recurență. Probabil, această cale este mai explicită și mai ușor de înțeles, iar problema pusă de Alex a meritat efortul. Mulțumesc pentru interes, Alex !