Raza şi pasul unei curbe oarecare

Să considerăm un reper cartezian drept OXYZ şi să calculăm curbura şi torsiunea unei elice circulare drepte, cu axa paralelă cu axa OZ.

Ecuaţia elicei circulare drepte într-un reper cartezian o putem defini astfel:

 

În această ecuaţie  este raza cilindrului pe care se înfăşoară elicea, iar  este pasul elicei, adică distanţa dintre două spire consecutive. Putem numi parametrul  drept „pasul barat”, deoarece se obţine din raportul pasului cu valoarea .

 

Pentru a putea determina curbura şi torsiunea acestei elice trebuie să calculăm cele trei derivate ale funcţiei care defineşte ecuaţia elicei.

Se stabileşte uşor că prima derivată este

 

a doua derivată este

 

iar a treia derivată este

 

Mai trebuie să calculăm produsul vectorial dintre prima şi a doua derivată, precum şi produsul mixt al celor trei derivate.

Avem atunci produsul vectorial dat de expresia

 

iar produsul mixt va fi

 

Modulul produsului vectorial este

 

iar modulul primei derivate (deci al vitezei) este

 

Acum avem calculate toate elementele necesare determinării curburii şi torsiunii acestei elice circulare.

Aşadar curbura este

 

iar torsiunea este

 

 

Să presupunem acum că noi cunoaştem doar curbura şi torsiunea acestei elice şi vrem să determinăm raza şi pasul ei. Ridicând la pătrat ultimele două relaţii şi adunându-le, avem

 

Apoi, din prima relaţie, obţinem că raza elicei este

 

iar din a doua relaţie rezultă că valoarea pasului barat este

 

 

 

După cum am văzut, pentru elicea circulară dreaptă (deci cu torsiune şi curbură mereu aceleaşi în fiecare punct), noţiunile de rază şi pas (barat) sunt uşor de definit şi de înţeles. Dar se pune problema de a defini asemenea parametri pentru orice curbă care posedă torsiune şi curbură. Pentru a rezolva problema este suficient să observăm că în fiecare punct al unei curbe oarecare (cu torsiune şi curbură, evident) există o elice tangentă la curbă în acel punct, având exact curbura şi torsiunea curbei în punctul de tangenţă. Aşadar, nu ne rămâne decât să definim raza şi pasul unei curbe într-un punct ca fiind egale tocmai cu raza şi pasul elicei tangente la curbă în acel punct. Prin urmare, de acum înainte, se poate afirma că orice curbă cu torsiune şi curbură are în fiecare punct raza şi pasul barat definite de relaţiile

 

 

Între aceste două cupluri de parametri ai unei curbe există nişte relaţii surprinzătoare, ce relevă o analogie profundă. Iată câteva dintre ele:

 

 

 

 

 

 

 

 

Asemenea relaţii fac o legătură armonioasă între versorii triedrului Frenet şi versorii triedrului complementar. Iată câteva relaţii care scot în evidenţă această armonie.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ultimele trei relaţii care ne spun cum se derivează versorii triedrului complementar, ne sugerează că, prin analogie cu derivatele versorilor Frenet, trebuie să denumim în aşa fel aceşti versori complementari, încât analogia dintre cele două sisteme de versori să poată fi dusă şi mai departe. Pentru aceasta, să observăm că, raportat la derivate, rolul pe care îl joacă normala în cazul triedrului Frenet este similar rolului pe care îl joacă versorul  în cazul triedrului complementar.

Aşadar, se pot introduce următoarele denumiri pentru versorii complementari:

-tangenta complementară pentru versorul ,

-normala complementară pentru versorul  şi

-binormala complementară pentru versorul .

Mai departe se trece într-un nou univers al Fizicii, un univers dominat de parametri complementari ce deschide drumul către mult visata deducere teoretică a ecuaţiilor lui Maxwell. Aceşti parametri complementari sunt tocmai parametrii macroscopici ai mişcării!

 

 

Acest material este o reproducere aproximativă a unui alt mesaj pe care l-am scris pe forumul de astronomie pe vremea când nu ştiam de existenţa teoremei care demonstrează că şi derivatele versorilor triedrului complementar al lui Frenet satisfac formulele lui Frenet.  

​