Demonstrarea existenţei triedrelor Frenet de ordin superior

Mai jos este prima formă, forma algebrică, a teoremei de recurenţă a formulelor lui Frenet, aşa cum a fost postată ea pe forumul de astronomie.

În acest post prezint demonstraţia prin inducţie matematică a faptului că există triedre Frenet de orice ordin finit. Sunt convins că înălţimile voastre vor aprecia această demonstraţie la adevărata ei valoare. Rezultatul pe care vi-l prezint mai jos nu este doar inedit, ci, după cum veţi vedea în posturile următoare, are consecinţe revoluţionare în Fizică!

Teoremă. Dacă există un triedru drept (numit triedru de ordinul k) de vectori unitari şi două numere reale care depind de timp, astfel încât:

atunci se poate construi un alt triedru (de ordinul k+1) de vectori unitari

pentru care există alte două numere reale dependente de timp, astfel încât:

Demonstraţie. Fie

şi

şi să alegem versorii triedrului de ordinul k+1 în modul următor:

Din aceste definiţii obţinem că

deci

În plus

deci

şi, evident,

Deci am obţinut versorii de ordinul k în funcţie de versorii de ordinul k+1. Aceste relaţii ne vor fi utile pentru a înlocui în derivatele următoare versorii de ordin k cu versorii de ordin k+1 pentru a obţine forma dorită a relaţiilor care trebuie demonstrate.

Din alegerea făcută pentru definirea versorilor de ordinul k+1 rezultă că, în funcţie de versorii de ordinul k, derivatele versorilor de ordinul k+1 vor fi stabilite după cum urmează:

aşadar

Dar componenta paralelă cu trebuie să fie nulă, deoarece este un vector de modul unitar (deci de modul constant). Atunci, folosind definiţia lui , avem

Mai departe avem

Am folosit şi aici proprietatea conform căreia derivata unui versor este perpendiculară pe versorul însuşi.

Acum ne-a mai rămas să calculăm derivata

Cu aceasta, demonstraţia este terminată.

Definiţii. Se numeşte triedru Frenet de ordinul k orice triplet de versori care satisfac aşa numitele relaţii de ordinul k ale lui Frenet:

Având în vedere că există triedrul lui Frenet (de ordinul 1) definit în funcţie de curbură şi torsiune, teorema demonstrată mai sus ne spune că, prin inducţie matematică, se pot construi triedre ale lui Frenet de orice ordin.

Din punct de vedere fizic, aceasta înseamnă că, în mişcarea sa, orice corp se deplasează pe o elice determinată de triedrul lui Frenet de ordin maxim. Ordinul maxim al acestui triedru este dat de ordinul de derivabilitate al curburii şi torsiunii.

Altfel spus, dacă torsiunea şi curbura sunt constante, atunci derivatele lor de primul ordin se anulează, deci triedrul mişcării este triedrul lui Frenet de ordinul 1 şi spunem că traiectoria este o elice de ordinul 1. Dacă prima derivată a curburii şi torsiunii este constantă, atunci traiectoria este o elice de ordinul 2. Şi aşa mai departe...

Atunci când vom defini forma cinematică a relaţiilor lui Frenet, vom înţelege care este rolul vitezei luminii în universul triedrelor lui Frenet. Vom afla atunci că, aşa numitele „particule elementare”, nu sunt altceva decât corpuri uşoare cu triedre Frenet de ordin mult mai mic decât ordinul corpurilor macroscopice. Acestea din urmă, fiind foarte masive, posedă energie din variaţiile mari ale traiectoriei, fapt pentru care derivatele de ordin superior, ce intervin în determinarea triedrului lor Frenet, sunt importante. Din acest motiv, în câmpuri externe slabe, corpurile macroscopice se deplasează pe traiectorii foarte întortocheate, care ne lasă impresia că sunt corpuri lente.

​

Prin abuz de limbaj, am numit ordin al mişcării sau ordin al unui corp tocmai ordinul maxim al triedrului Frenet ce guvernează traiectoria mişcării corpului respectiv.