Am văzut că vectorul lui Darboux are modulul dat de radicalul sumei pătratelor curburii şi torsiunii. Altfel spus, vectorul lui Darboux este ipotenuza unui triunghi dreptunghic ale cărui catete au ca mărimi tocmai curbura şi torsiunea.
Totodată,
din teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet, mai rezultă că
vectorul lui Darboux de ordinul 2 are ca modul, de data aceasta,
radicalul sumei pătratelor curburii de ordinul 2 şi torsiunii de ordinul
2. Altfel spus, vectorul lui Darboux de ordinul 2 este ipotenuza unui
triunghi dreptunghic ce are o catetă de mărimea egală tocmai cu
modulul vectorului lui Darboux (de ordinul 1).
Dar
această recurenţă se extinde la orice ordin. Mai precis, vectorul lui
Darboux de un anumit ordin este ipotenuza unui triunghi dreptunghic ce
are o catetă de mărimea egală cu modulul vectorului lui Darboux de ordin
inferior. Şi cum ipotenuza este întotdeauna mai mare decât o catetă,
rezultă că modulul vectorului lui Darboux de un anumit ordin este mai mare decât modulul vectorului lui Darboux de ordin inferior.
Cum modulul vectorului lui Darboux de un anumit ordin este tocmai torsiunea de ordin imediat superior, rezultă ceea ce trebuia demonstrat, şi anume că şi torsiunea este o funcţie crescătoare cu ordinul.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Comentariile vor fi moderate în măsura timpului meu disponibil, după care vor apărea pe blog. Voi încerca să public doar comentariile consistente sau interesante sau adevărate sau corecte sau la obiect. Voi căuta să le elimin pe cele din care nu avem nimic de învățat sau pe cele care afectează negativ mintea cititorului sau reclamele fără legătură cu blogul. De asemenea, voi face tot posibilul să răspund la comentariile care cer un răspuns. Vă mulţumesc pentru efortul vostru de a scrie în lumina acestor consideraţii!