Maxima despre gradient, rotor şi divergenţă

Preocupat fiind de găsirea unei relaţii între formulele lui Frenet şi ecuaţiile lui Maxwell, am reuşit să mai pun Maxima la lucru pentru ca acesta să-mi prezinte alte câteva rezultate interesante din calculul vectorial. Iată-le mai jos:
Iniţial definim cu Maxima noţiunile de diferenţiere (a unui vector în raport cu altul), gradient, divergenţă, rotor, produs vectorial, modul, produs scalar.

(%i1) difer(u,v):=[diff(u[1],x)*v[1]+diff(u[1],y)*v[2]+diff(u[1],z)*v[3],diff(u[2],x)*v[1]+diff(u[2],y)*v[2]+diff(u[2],z)*v[3],diff(u[3],x)*v[1]+diff(u[3],y)*v[2]+diff(u[3],z)*v[3]];grad(f,v):=[diff(f,v[1]),diff(f,v[2]),diff(f,v[3])];diver(u,v):=diff(u[1],v[1])+diff(u[2],v[2])+diff(u[3],v[3]);rotor(u,v):=[diff(u[3],v[2])-diff(u[2],v[3]),diff(u[1],v[3])-diff(u[3],v[1]),diff(u[2],v[1])-diff(u[1],v[2])];vectorial(x,y):=[x[2]*y[3]-x[3]*y[2],x[3]*y[1]-x[1]*y[3],x[1]*y[2]-x[2]*y[1]];modul(u):=sqrt(u[1]^2+u[2]^2+u[3]^2);scalar(x,y):=x[1]*y[1]+x[2]*y[2]+x[3]*y[3];

cu rezultatul afişat drept

.
Definim apoi noţiunile de rotor diferenţial şi divergenţă diferenţială prin expresiile matematice recunoscute de Maxima:

(%i8) rotdif(u,v):=vectorial(u,rotor(v,[x,y,z]))+difer(u,v);

,
(%i9) divdif(u,v):=u*diver(v,[x,y,z])+difer(u,v);

.

Definim apoi vectorii u şi v astfel încât Maxima să poată lucra cu ei:

(%i10) u:[xu(x,y,z,t),yu(x,y,z,t),zu(x,y,z,t)];v:[xv(x,y,z,t),yv(x,y,z,t),zv(x,y,z,t)];r:[x,y,z];

.

Din acest moment putem să-i dăm efectiv de lucru programului de calcul Maxima, interogându-l despre câteva rezultate banale din calculul vectorial, cum ar fi de exemplu despre adevărul faptului că rotorul unei sume este suma rotorilor:
(%i13) rotor(u+v,r)-(rotor(u,r)+rotor(v,r));

,
ori că divergenţa unui rotor este nulă

(%i14) ratsimp(diver(rotor(u,r),r));
 

.
Dar mai interesante şi mai greu de obţinut sunt rezultatele privind faptul că gradientul unui produs scalar este suma rotorilor diferenţiali corespunzători

(%i15) ratsimp(grad(scalar(u,v),r)-rotdif(u,v)-rotdif(v,u));

şi privind faptul că rotorul unui produs vectorial este diferenţa celor două divergenţe diferenţiale

(%i16) ratsimp(rotor(vectorial(u,v),r)-divdif(u,v)+divdif(v,u));

 .

Se observă că, prin definiţie, atât rotorul diferenţial, cât şi divergenţa diferenţială sunt nişte vectori.

Acum, având la dispoziţie puterea de calcul a Maxima, avem posibilitatea să determinăm o mulţime de alte relaţii interesante din calculul vectorial pe care l-am putea aplica şi câmpului electromagnetic în vid pentru a găsi relaţia căutată dintre ecuaţiile lui Maxwell şi formulele lui Frenet.