Cercetări aprilie 2008

-(Marţi, 1 aprilie 2008, ora 6:17). Mă gândesc la faptul că încă nu am clarificat care este viteza la ordine mici. Ştiu doar că ea este constantă, dar nu ştiu dacă este infinită sau egală cu viteza luminii. Dacă aş admite că este infinită, aş veni oarecum în contradicţie cu teoria relativităţii (care, de fapt, postulează constanţa vitezei maxime). Totuşi, deocamdată pot amâna înţelegerea acestei chestiuni, lăsând-o pentru etapa în care voi fi stabilit relaţiile matematice care guvernează în Fizica elicoidală.

-(6:22). Atunci să revenim la relaţiile matematice privind curbura. Luna trecută am stabilit definiţia curburii şi a torsiunii în funcţie de parametrii cinematici prin relaţiile şi, respectiv, . Apoi am arătat că torsiunea de ordin superior se poate relaţiona direct numai cu parametrii geometrici de ordin inferior prin relaţia . Acum mă bate gândul să realizez acelaşi lucru şi pentru curbura de ordin superior. Mai precis, doresc să stabilesc o relaţie între curbura de ordin superior şi derivatele raportului de ordin inferior (nu pot scăpa de derivate pentru că trecerea la un ordin superior se datorează tocmai variaţiilor). Ştim că, prin definiţie, , deci . Să notăm . Atunci . Dar . Atunci, . Cum ...

-(Marţi, 8 aprilie 2008, ora 8:06). Aşadar, vreau să stabilesc o definiţie corectă pentru curbura de ordin superior, iar această definiţie să nu facă apel la nicio noţiune cinematică, ci doar la noţiunile geometrice de ordin inferior. În timp ce pentru torsiunea de ordin superior am aflat că , pentru curbură n-am reuşit să scap de viteză. Oare să mă mulţumesc cu relaţia ? Aş vrea să văd ce obţin dacă îl derivez pe . Aş avea . Să văd ce obţin acum dacă îl derivez pe . Am avea . Există vreo relaţie între cele două derivate?

-(Sâmbătă, 12 aprilie 2008, ora 16:09). Pe forumul de Fizica particulelor (acum, Forum de Ştiinţă) am deschis mai demult un topic despre misterul precesiei Pământului (iar astăzi am deschis unul despre inexistenţa găurilor negre). Aşa că m-am gândit să studiez mai profund şi mai cantitativ precesia unui inel aflat în câmpul gravitaţional al Soarelui. Înainte de toate aş vrea să văd ce consecinţe decurg din formula precesiei pentru un titirez. Această formulă zice că . Dar ştim că momentul de inerţie este , unde este raza de inerţie a titirezului. Atunci, viteza unghiulară de precesie devine . Aceasta este o altă formă a vitezei unghiulare de precesie pentru titirez. În primul rând trebuie să observăm că valoarea vitezei unghiulare de precesie nu depinde de unghiul sub care este înclinată axa titirezului.

-(Joi, 17 aprilie 2008, ora 8:56). Hmmm.... Datorită lui Electron, de pe forumul de Ştiinţă, am constatat că am greşit în raţionamentul privind găurile negre relativ la argumentul cosmogonic, raţionament expus şi pe blogul meu. Acolo eu am considerat că un corp care cade spre gaura neagră va atinge viteza luminii când atinge orizontul găurii negre, indiferent de unde ar veni acest corp, ceea ce nu este adevărat, deoarece numai corpurile care vin de la infinit vor atinge viteza luminii pe orizont. Totuşi, sunt convins că această eroare nu este fundamentală, deci sunt convins în continuare că pot demonstra imposibilitatea formării găurilor negre bazându-mă pe raţionamente ce iau în calcul energia corpurilor ce cad spre gaura neagră.

-(9:47). Ok. Ştim că energia potenţială gravitaţională a unui corp de masă de repaus aflat la distanţa de centrul de masă al corpului central este , unde este masa (de repaus a) corpului central. Atunci, energia totală a unui corp care se mişcă în câmpul gravitaţional cu viteza va fi suma dintre energia sa potenţială şi energia cinetică, adică . Prin definiţie, orizontul găurii negre este acea suprafaţă (nematerială) de la care viteza de evadare este egală cu viteza luminii. Asta înseamnă că, pentru ca un corp să poată evada de pe orizontul găurii negre încât să poată ajunge până la infinit, este necesar ca el să aibă viteza luminii, deci şi energie cinetică infinită.

-(10:15). Să vedem acum de câtă energie are nevoie corpul pentru a ajunge de pe orizontul găurii negre, nu la infinit, ci la o distanţă finită de orizontul găurii negre.

-(10:17). De fapt, mai bine studiez fenomenul invers, adică mai bine studiez ce se întâmplă cu un corp care cade din exterior spre gaura neagră, şi nu cu un corp care vrea să iasă din gaura neagră. Să stabilim atunci la ce distanţă de centrul găurii negre va atinge viteza luminii un corp care vine din exterior. Fixăm notaţiile: notăm cu raza orizontului găurii negre, adică distanţa de la centrul găurii negre până la locul în care un corp ce vine de la infinit atinge viteza luminii. Vreau să demonstrez acum că (aşa cum îmi spune mie intuiţia) un corp ce cade din exteriorul găurii negre spre gaura neagră va atinge viteza luminii pe orizontul găurii negre indiferent de unde ar veni, chiar dacă distanţa de la care vine nu este infinită. Să presupunem iniţial că un corp care cade din exteriorul găurii negre (mai precis, din exteriorul orizontului găurii negre) şi care nu vine de la infinit, ci de la distanţa , va atinge viteza luminii la distanţa faţă de centrul găurii negre. Evident, vrem să stabilim expresia funcţiei în aşa fel încât să fie respectată condiţia că.

-(10:32). Să stabilim întâi ce se întâmplă în cazul general. Mai precis, presupunem că lăsăm un corp cu masa de repaus să cadă din repaus de la distanţa spre un anumit corp şi îi determinăm energia pe care o are când a ajuns la distanţa . Deoarece câmpul gravitaţional este conservativ, energia totală a corpului care cade într-un asemenea câmp nu se modifică. Creşte doar energia cinetică şi scade energia potenţială. Aşadar, energia totală a corpului rămâne constantă şi finită. Şi mai precis, dacă la distanţa corpul de probă (deci corpul care cade) a fost în repaus, energia lui cinetică este nulă, deci energia lui totală este exact egală cu energia potenţială pe care o are în punctul aflat la distanţa . Aşadar, energia totală a corpului este . În momentul în care corpul ajunge la distanţa , el va avea atât energie potenţială, cât şi energie cinetică, dar suma lor trebuie să fie egală cu energia totală. Aşadar, vom avea relaţia . Dar .

-(10:50). Acum putem să stabilim expresia funcţiei cunoscând că . Relaţia stabilită mai sus este valabilă pentru orice punct aflat la distanţa , deci este valabilă şi pentru un punct aflat la distanţa . Atunci, vom avea sau , adică .

-(11:22). Am stabilit că energia cinetică a unui corp care pleacă din repaus în punctul şi ajunge în punctul este . Să scoatem pe din această relaţie. Avem , deci .

-(11:45). Se pune problema de a stabili cât este când ştim că un corp cade de la distanţa şi ajunge în punctul de la distanţa cu energia cinetică infinită (corespunzătoare vitezei luminii). Avem , deci . De asemenea, .

-(Vineri, 18 aprilie, 2008, ora 11:08). Ok, am eliminat ultimul dubiu pe care l-am mai avut privind argumentul cosmogonic, aşa încât mă pot ocupa mai departe de problema precesiei. În ce constă această problemă a precesiei? În stabilirea unei formule care să ne dea valoarea şi direcţia precesiei unui inel care orbitează în jurul Soarelui.

-(12:58). Presupunem că inelul este format din n puncte materiale considerate legate rigid între ele. Vrem să determinăm forţele care acţionează asupra acestor puncte materiale în momentul în care inelul se află într-o anumită poziţie pe orbită. Presupunem că acţiunea Soarelui asupra inelului începe la „solstiţiul de iarnă”.

-(13:04). Înainte de toate trebuie să stabilesc forţa totală care acţionează asupra inelului într-o poziţie oarecare pe orbită şi pentru o orientare oarecare. Să vedem întâi cum putem caracteriza poziţia inelului. Poziţia lui pe orbită poate fi caracterizată printr-un unghi (unghiul pe care îl face raza vectoare cu axa OX). Vom nota acest unghi cu . Odată fixată poziţia pe orbită ne mai rămâne să determinăm orientarea inelului. Pentru aceasta putem observa că oricum am roti inelul (menţinând fixat centrul său de masă), acesta descrie o sferă concentrică cu inelul şi cu raza egală cu raza inelului. În acest caz, inelul este tocmai un cerc mare pe sfera descrisă, sferă pe care o vom numi sferă de referinţă. Aşadar, poziţia inelului pe sfera de referinţă va putea fi exprimată prin două unghiuri (latitudine şi longitudine), notate cu şi, respectiv, . Aşadar, exprimarea riguroasă a poziţiei inelului este dată de ansamblul ordonat format de cele trei unghiuri, adică .

-(20:41). Mai bine caracterizez poziţia inelului tocmai prin momentul său cinetic propriu, care este produsul dintre momentul său de inerţie şi viteza unghiulară.

-(20:43). Ia să vedem, nu cumva apare o inconsistenţă în studiul conservării momentului cinetic al sistemului format de Soare şi Pământ? Fie momentul cinetic propriu al Soarelui, momentul cinetic propriu al Pământului şi momentul cinetic orbital al Pământului.

-(Miercuri, 30 aprilie 2008, ora 22:09). Se pare că doar atât am reuşit să cercetez în această lună. De câteva zile am instalat Linux Ubuntu 8.04 şi de atunci îl tot dichisesc, personalizându-l. Mi-ar fi plăcut să studiez problema precesiei, dar mai ales aş fi vrut să aprofundez consecinţele teoremei de recurenţă a formulelor lui Frenet. Nicio problemă, mai sunt zile cu duiumul până la 100 de ani!