Despre supraacceleraţie şi supraforţă

Se ştie că cea mai generală traiectorie pe care o poate avea un punct material aflat în mişcare este o curbă strâmbă, adică o curbă care nu se găseşte într-un plan. În fiecare punct al unei asemenea curbe există trei versori reciproc perpendiculari bine definiţi care se numesc: tangentă (notat cu ), normală (notat cu ) şi, respectiv, binormală (notat cu ). Aceşti trei versori formează un triedru drept numit triedrul lui Frenet. Frenet a descoperit că între versorii triedrului său există nişte relaţii extrem de frumoase, numite formulele lui Frenet. Acestea sunt

, , şi .

Aici este vectorul de poziţie a punctului material, este lungimea arcului de curbă, iar şi sunt două mărimi independente numite curbură şi, respectiv, torsiune a curbei. Parametrii şi nu depind de sistemul de referinţă în care se fac măsurătorile, fiind nişte parametri intrinseci ai curbei. Altfel spus, dacă am cunoaşte aceşti doi parametri în orice punct al curbei, atunci am putea spune cum arată curba, indiferent cum ar fi aceasta deplasată sau rotită în spaţiu. În particular, o curbă cu torsiunea şi curbura constante este o elice circulară. Tare dragă îmi este elicea…

Este foarte util să scriem multe mărimi fizice vectoriale ce caracterizează punctul material în funcţie de versorii triedrului lui Frenet. De exemplu, viteza unui punct material este

unde este vectorul viteză, modulul vitezei, iar este versorul tangentei. Dacă derivăm viteza obţinem acceleraţia

, deci . Punctele de deasupra unei mărimi arată de câte ori este derivat vectorul în raport cu timpul (notaţie folosită frecvent şi iniţiată de Newton).

Ajunşi aici, putem observa deja un lucru extrem de important pe care ni-l relevă proprietăţile triedrului lui Frenet: acceleraţia se află mereu în planul format de tangentă şi normală (numit plan osculator). Dar ce-i aşa mare lucru în asta? Este mare lucru pentru că, dintre mărimile cinematice fundamentale, Fizica actuală studiază NUMAI viteza şi acceleraţia unui punct material, ori acestea nu pot oferi mişcare în spaţiu, ci numai mişcare în plan, deoarece nu depind de torsiune. Altfel spus, dacă un corp ar avea numai viteză, atunci el s-ar deplasa pe o dreaptă, iar dacă ar avea numai acceleraţie, atunci s-ar mişca într-un plan şi nicidecum în spaţiu, cum fac majoritatea corpurilor. Să fie aceasta o mare lipsă a Fizicii actuale? Eu cred că da.

De aceea, vă invit să studiem şi o altă mărime cinematică despre care putem spune că exprimă proprietăţile mişcării unui punct material ÎN SPAŢIU, nu doar în plan. Această mărime se numeşte supraacceleraţie. Expresia ei în triedrul lui Frenet se cunoaşte, dar se consideră că este inutilă în teorie. Şi ne mai mirăm că nu ştim atâtea în Fizică! Iată această expresie:

.

Aşadar,

Observăm că în expresia supraacceleraţiei apare şi binormala şi torsiunea, deci un corp care are supraacceleraţie se poate mişca şi pe o curbă strâmbă, nu doar pe una plană.

Din păcate, la fel stau lucrurile şi în dinamică: Fizica noastră neglijează mărimile dinamice de ordin superior. Mai precis, dacă despre supraacceleraţie am mai putut citi în puţine lucrări foarte bine elaborate (vezi [1], la pagina 152), despre „supraforţă” nu am mai găsit nimic în aproximativ 300 de lucrări de Fizică la care am avut acces. De aceea, vreau să elimin această nedreptate care i se face tânărului cercetător şi voi descrie aici mărimile dinamice ale unui punct material care se deplasează pe o curbă strâmbă.

Să începem cu impulsul. Ştim că impulsul este produsul dintre masa şi viteza . Deci, în reperul lui Frenet, vom avea

,

unde este un coeficient foarte utilizat în teoria relativităţii. Derivând în raport cu timpul acest coeficient, obţinem

.

Mai avem relaţia utilă .

De aici obţinem expresia forţei

,

aşadar, . Comparând forţa cu acceleraţia, avem relaţiile evidente . De aici rezultă că dacă masa este constantă în modul, atunci forţa este produsul dintre masă şi acceleraţie.

Observăm că forţa, ca şi acceleraţia, se găseşte în planul osculator, deci nu poate fi o cauză pentru mişcarea unui punct material pe o curbă nesituată într-un plan. Aşadar, se impune studiul unei mărimi dinamice care să poată determina mişcarea pe o curbă strâmbă. Vom numi o asemenea mărime chiar supraforţă, prin analogie cu modul în care a fost numită supraacceleraţia.

Să calculăm expresia supraforţei în reperul lui Frenet. Pentru aceasta vom deriva forţa în raport cu timpul. Avem următoarele egalităţi

deci

Dar am văzut mai sus că . Deci

, unde

, iar

Să-l calculăm pe , unde , iar .

Atunci

iar

.

Aşadar, .

Grupând termenii asemenea, obţinem

de unde

.

Să prelucrăm puţin componenta normală a supraforţei.

Avem .

Atunci, putem scrie că supraforţa este

.

Am văzut că supraaceleraţia era

.

De aici rezultă printre altele că . Însă am arătat că .

Atunci mai putem scrie .

Mai putem avea expresia supraforţei în funcţie de derivatele masei .

Observăm că, dacă masa este constantă în modul, atunci supraforţa nu este altceva decât produsul dintre masă şi supraacceleraţie.

Observăm, din nou, cum apare binormala, semn că acest vector nu este în planul osculator cum era forţa.

Ca un exerciţiu, putem calcula supraforţa forţei gravitaţionale. Fie forţa gravitaţională scrisă sub forma

.

Atunci, în ipoteza că valoarea lui k este constantă, supraforţa ei este

.

Dar. Deci

şi observăm că se află în planul format de şi .

Mai interesantă şi mai bogată în consecinţe este supraforţa forţei Lorentz. Ştiind că forţa Lorentz este dată de expresia şi utilizând ecuaţiile lui Maxwell, putem calcula supraforţa forţei Lorentz şi obţinem

.

Aceasta înseamnă, printre altele, că atunci când câmpurile şi sunt nule, obţinem că supraforţa este

,

care trebuie să fie şi ea nulă pentru că derivata în raport cu timpul a unei forţe nule este, la rândul ei, nulă. Dar atunci rezultă că şi este nulă, deci în absenţa câmpului electromagnetic, densitatea de curent este nulă, adică sarcina este în repaus. Nu ştiu cât de important vi se pare acest rezultat, dar el este un rezultat nou şi surprinzător, pentru că impune o legătură rigidă între densitatea de curent şi câmpul electromagnetic într-un sens mai profund decât cel cunoscut până acum: nici un corp încărcat electric nu se poate deplasa (nici măcar cu viteză constantă) decât sub influenţa unui câmp electromagnetic!

În final aş vrea să vă mai spun ceva. Suntem obişnuiţi să credem că un corp liber se deplasează rectiliniu şi uniform, deci paralel cu tangenta, adică pe o curbă aflată nici măcar în plan, ci doar pe o dreaptă. De unde ştim aceasta? De la experienţele imprecise ale lui Galilei. Este vorba doar de un principiu, de o presupunere. Nu ştim sigur dacă este aşa, mai ales de când, Einstein, cu relativitatea generală, ne-a inoculat ideea că principiul inerţiei poate avea o altă formă decât cea dată de Galilei, depinzând de neinerţialitatea reperului. De aceea, se poate pune sfredelitoarea întrebare: „Nu cumva am fi mai corecţi faţă de natură dacă am presupune că un corp liber se deplasează pe o curbă în spaţiu, pe cea mai simplă curbă, dar DIN SPAŢIU (care este o elice)?”. Nu ştiu să vă răspund riguros la această întrebare, dar am convingerea că răspunsul este afirmativ.

Bibliografie

[1] Caius Iacob, Mecanică teoretică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980,

[2] Richard Feynman, Fizica modernă.

Acest material este o versiune îmbunătăţită a celui publicat în revista de Fizică „Evrika!”, numărul din iulie-august 2005.