O metodă elementară pentru calculul sumelor

În această lucrare prezint cititorilor într-o manieră simplă un procedeu care permite calcularea sumelor de forma altfel decât apelând la artificii matematice dictate de forma particulară a şirului . Printre lucrările pe care am avut răgazul să le consult – lucrări de istorie a matematicii, dicţionare, enciclopedii matematice, precum şi culegeri de probleme – nu am găsit prezentată sau folosită această metodă, fapt pentru care am considerat utilă publicarea ei. Deoarece sunt la prima încercare de acest gen, rog să-mi fie tratate cu îngăduinţă notaţiile şi denumirile inedite utilizate aici, precum şi eventualele scăpări datorate strădaniei mele de a nu îngreuna textul.

Ideea metodei mi-a venit când am observat că operaţia de însumare este foarte asemănătoare integrării. Iată câteva asemănări care mi-au atras atenţia:

şi

şi

şi

(unde, pentru claritate, am considerat constanta de integrare nulă).

Atunci mi-am pus problema dacă această analogie poate fi dusă mai departe şi, spre satisfacţia mea, am găsit că răspunsul este afirmativ, adică m reuşit să creez un calcul „infinitezimal” aplicat sumelor – numit simplu calculul sumelor – care mi-a permis determinarea elegantă a unor sume obţinute până atunci nesistematic, fără o regulă general valabilă. Daţi-mi voie să vă prezint în continuare aceste rezultate.

DEFINIŢIA 1. Fie un şir definit pentru orice număr natural . Formăm şirul definit de asemenea pentru orice număr natural . Numim şirul coborâtul şirului sau coborât şi notăm sau , sau dacă nu există pericol de confuzie , iar operaţia prin care obţinem şirul o numim coborâre. Denumirea poate fi justificată de faptul că prin coborâre scade gradul unui polinom.

EXEMPLE.

a) , unde este o constantă;

b) ;

c) ;

d) .

Astfel, putem forma un mic tablou cu coborâtele unor şiruri elementare în care presupunem subînţeles domeniul lor de definiţie

	0	1

În continuare, iată câteva dintre proprietăţile operaţiei de coborâre a şirurilor:

1. Dacă şi sunt două şiruri definite pe atunci

deoarece

.

2. Dacă c este o constantă, atunci

căci

.

3)

deoarece

.

4) Dacă , oricare ar fi , atunci

deoarece

.

OBSERVAŢIE. Proprietăţile 1), 2) şi 4) se găsesc, de pildă şi în lucrarea domnului N.Mihăileanu „Istoria matematicii”, volumul II, editura Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti, 1981, pagina 607, deci nu pot fi considerate noutăţi, chiar dacă acolo nu este evidenţiată valoarea lor în teoria sumelor.

Până în acest punct am prezentat cele mai relevante rezultate privind calculul „diferenţial” aplicat sumelor, numit calcul descendent, iar mai departe voi descrie la fel de sumar calculul ascendent.

DEFINIŢIA 2. Fie şirul , definit pe . Numim ridicatul şirului sau ridicat şirul , definit şi el pe , cu proprietatea .

Notăm sau , sau dacă nu există pericol de confuzie , iar operaţia prin care obţinem şirul o numim ridicare.

EXEMPLE.

a) căci ;

b) căci;

c)

căci

;

d)

căci

;

e) deoarece .

OBSERVAŢIE. Dacă şirul are un ridicat, atunci el are o infinitate de ridicate, căci

oricare ar fi . Mulţimea ridicatelor lui o putem numi ridicatul nedefinit al lui . Se poate, de asemenea, demonstra că două ridicate ale aceluiaşi şir diferă printr-o constantă.

Iată acum tabloul cu ridicatele unor şiruri elementare

	0	1

Printre proprietăţile mai utilizate ale operaţiei de ridicare sunt următoarele:

5)

căci

.

6)

căci

.

7) (Formula de ridicare prin părţi)

deoarece

.

8) Dacă , oricare ar fi natural, atunci

căci

8’) Făcând în 8) , obţinem

.

8’’) Făcând în 8) , obţinem

.

9)

căci

.

Din acest moment se poate evidenţia utilitatea calculului arătând cum poate fi folosit la determinarea sumelor. Pentru aceasta voi demonstra următoarea teoremă, corespunzătoare teoremei cu acelaşi nume din calculul infinitezimal:

TEOREMA LEIBNIZ — NEWTON. Dacă este un şir definit pe , şi sunt două numere naturale cu , iar este unul dintre ridicatele acestui şir, atunci

.

Demonstraţie. Fie o constantă oarecare. Avem

.

Dar, conform proprietăţii 9),

,

iar

.

Aşadar

.

Teorema poate fi demonstrată şi prin inducţie.

APLICAŢII.

1. Să se calculeze suma . Avem, conform teoremei,

. (Am utilizat simbolistica din calculul integral). Folosind formula de ridicare prin părţi, obţinem

,

deci

,

adică

.

Folosind acest ridicat (pe care îl regăsim și în tabel), avem

.

2. Să se calculeze suma .

Din tabel, aflăm că , deci

.

3. Demonstraţi că .

Din tabel știm că , deci

.

4. Calculaţi .

Observăm că şi, utilizând proprietatea 8’), obţinem

,

deci

.

În încheiere vreau să subliniez faptul că nu am avut intenţia şi nici posibilitatea să tratez aici toate aspectele pe care le generează calculul sumelor şi, de aceea, au rămas de studiat multe lucruri importante cum ar fi: coborâtul şirului compus, ridicarea prin schimbare de variabilă, coborâte de ordin superior, aportul teoriei diferenţelor finite, legătura dintre natura şirurilor şi coborâtele lor, coborâte parţiale sau ridicate multiple, etc. De asemenea, în ciuda strădaniilor mele, nu am reuşit să descopăr noi proprietăţi ale combinărilor (care sunt convins că există) sugerate de misterioasa relaţie , iar analogia, căutată cu pasiune, dintre ridicatul şirului şi primitiva funcţiei , mi-a rămas în continuare nedezvăluită. Însă aş fi bucuros să ştiu că şi în această formă lapidară, calculul prezentat aici a reuşit să stârnească interesul, şi că alţii, mai competenţi decât mine, îl vor înţelege mai profund.

-(1404071448) Având în vedere faptul că formulele nu se văd întotdeauna, am adăugat azi (8 aprilie 2014) acest iframe cu documentul de la gdocs care conţine materialul: .