Cercetări aprilie 2009

Cercetările mele din luna aprilie 2009

(Joi, 2 aprilie 2009)

-(00:33). Ceva îmi spune că nu doar constanţa raportului dintre curbură şi torsiune defineşte o curbă interesantă (elicea), ci şi constanţa radicalului sumei pătratelor curburii şi torsiunii. Aşadar, merită studiate proprietăţile unei curbe pentru care radicalul este constant, chiar dacă raportul este variabil. O primă încercare (poate chiar reuşită) este de a considera că torsiunea este un cosinus, iar curbura este un sinus. Atunci, suma pătratelor lor va fi constantă, deci şi radicalul acestei sume.

-(00:42). Deci, cum arată o curbă pentru care radicalul este constant, dar raportul nu? Aoleu! Văleleu! Abia acum văd! Păi, dacă raportul este tangentă, curbura sinus şi torsiunea cosinus, atunci radicalul este mereu constant! Doamne, greu mi-a fost! Ce bleg sunt! Abia acum constat că radicalul este constant pentru orice curbă! Dumnezeule, ce minunată proprietate! Auzi, dom'le, radicalul este constant pentru orice curbă!

-(00:48). Stai puţin, că mi se pare ciudată această proprietate! Cum adică, radicalul este constant pentru orice curbă? Eşti sigur de asta? Ar fi prea frumos să fie adevărat! E posibil ca suma dintre pătratul curburii şi pătratul torsiunii să fie constantă pentru orice curbă? Remarcabil! Ce bine e că am trăit atât încât să aflu şi asta! Sunt foarte fericit!

-(00:59). Ca să mă asigur că radicalul este constant va trebui să reanalizez modul în care am asociat raportului o tangentă şi să verific în ce măsură această asociere este necondiţionată. Totuşi, frumuseţea ideii nu-mi permite acum să fiu suficient de lucid pentru a-i analiza corectitudinea.

-(01:06). Haide, totuşi, să încerc! Să-mi amintesc cum mi-a venit ideea să scriu sub formă trigonometrică formulele lui Frenet. Cât de justificată a fost acea idee?

-(01:08). Sau putem încerca şi altfel. Putem încerca să răspundem la întrebarea: „Este posibil ca raportul dintre curbură şi torsiune să fie constant în timp ce radicalul să varieze?”. Răspunsul trebuie să fie afirmativ deoarece putem scrie

ceea ce înseamnă că în ciuda constanţei raportului, radicalul mai depinde explicit şi de torsiune (sau de curbură). Atunci ce ne facem? Pierdem o idee atât de frumoasă? Să înţeleg că este o problemă cu forma trigonometrică a formulelor lui Frenet? Nu cumva această formă este justificată de teorema de recurenţă (pe care ştim că am demonstrat-o şi independent de forma trigonometrică)?

-(01:43). Aşadar, în consideraţiile noastre trebuie să ţinem seama şi de valoarea lui lambda, pentru că radicalul este tocmai lambda. Deci, numai dacă lambda este constant, numai atunci este constant şi radicalul!

-(12:34). Deci, să ne fie clar, radicalul nu este constant pentru orice curbă! Asta ca să nu inducem în eroare cititorii. Totuşi, ei trebuie să ştie cât de uşor mă entuziasmez când aflu ceva ce mie mi se pare a fi interesant, chiar dacă nu am înţeles suficient de bine acel aspect.

-(12:37). Ok, să mergem mai departe acum. Să vedem cum arată o curbă pentru care radicalul este constant, dar raportul nu. Pentru o asemenea curbă, modulul vitezei unghiulare este constant, iar unghiul dintre tangentele de ordin vecin variază. Curba nu mai poate fi o elice de ordinul unu, dar poate fi o elice de ordinul doi (dacă viteza de variaţie a unghiului este constantă).

(Duminică, 5 aprilie 2009)

-(22:01). Curba pentru care radicalul este constant, în timp ce raportul nu este constant, ar putea fi un tor, pentru că dacă modulul vitezei unghiulare este constant, atunci rămâne să varieze direcţia acestei viteze. Cum modulul vitezei unghiulare este constant, rezultă că variaţia ei este perpendiculară pe viteza unghiulară.

(Luni, 6 aprilie 2009)

-(14:41). Dar ştim că viteza unghiulară de ordin superior este radicalul sumei pătratelor derivatelor rapoartelor de ordin inferior. Asta înseamnă că numai radicalul de ordinul unu poate fi constant? -(14:43). Mai mult, înseamnă oare că este posibil ca un corp să se mişte şi în aşa fel încât radicalul să rămână constant, nu doar raportul? -(15:11). Nu are rost să mă complic cu alte presupuneri privind mişcarea unui corp, din moment ce am postulat că orice corp se mişcă în aşa fel încât traiectoria sa are un ordin finit. -(15:18). Ce putem spune despre tor? Ce torsiune şi ce curbură are acesta? -(17:26). Atenţie, torul este o suprafaţă, nu o curbă! Să nu facem confuzie între cele două! La ce mă refer mai exact? La o curbă dusă pe suprafaţa torului cu proprietatea că tangenta curbei... Hmmmm... -(17:32). Fie R raza mare a torului şi r raza sa mică. Putem scrie că...

(Luni, 13 aprilie 2009)

-(12:03). Mi-am amintit despre ceea ce am scris pe astronomy.ro în legătură cu formarea structurilor şi aş dori să mai analizez puţin această chestiune interesantă. Vreau să văd dacă nu cumva pot ajunge la concluzia că o structură de ordinul n+1 este perpendiculară pe o structură de ordinul n. În primul rând, ce ar trebui să însemne că o structură este perpendiculară pe alta? Pentru a clarifica lucrurile, să observăm că orice structură are un plan care conţine centrul ei şi periferia. Ei bine, perpendicularitatea structurilor este echivalentă cu perpendicularitatea planelor acelor structuri. -(21:46). Stai aşa! Dacă structurile de ordin vecin ar fi reciproc perpendiculare, atunci planul inelelor lui Saturn ar fi perpendicular pe ecliptică, ceea ce nu este adevărat. Aşadar, renunţăm la ipoteza perpendicularităţii structurilor de ordin vecin. Păcat! Eram pregătit chiar şi să argumentez asta, pornind de la poziţia tangentelor de ordin vecin. Cu toate că mi se părea ciudat dacă începeam să argumentez aşa, pentru că tangentele de ordin vecin nu sunt perpendiculare. -(21:58). Bun, şi totuşi, ce m-a determinat să le cred perpendiculare? Păi, probabil, ştiind că Sistemul Solar se deplasează în jurul centrului Galaxiei, ai crezut că ecliptica este perpendiculară pe planul galactic, deşi nu era decât o prejudecată. -(22:01). Ok, atunci, că am clarificat şi asta, să vedem dacă neperpendicularitatea se încadrează bine în Fizica elicoidală. Oare de ce am impresia că dacă structurile de ordin vecin ar fi neperpendiculare, atunci mişcarea lor nu ar mai fi elicoidală? Pentru că eşti superficial! Păi nu am stabilit noi deja odată faptul că tangenta de ordin superior face un unghi ascuţit cu tangenta de ordin inferior? Tocmai în asta constă mişcarea elicoidală! Pentru că dacă cele două tangente ar fi perpendiculare, atunci mişcarea nu ar mai fi elicoidală, ci doar circulară. -(22:10). Planul unei structuri este determinat de tangenta şi normala structurii respective. Binormala este perpendiculară pe acest plan. Deci binormala este versorul relevant pentru stabilirea direcţiei planului. Atunci, am putea conchide că binormala este axa de rotaţie a structurii. -(22:32). Oare ce legătură există între centrul unei structuri şi periferia ei? Există forţe de atracţie? Ne spune radicalul ceva în această privinţă? Ce se întâmplă cu un corp care trece de la radical mic la radical mare, precum o cometă care vine de la periferia Sistemului Solar şi se apropie de centrul său? -(22:40). Interesant este că toate componentele unei structuri se menţin în timp în acelaşi plan. Să fie adevărat asta? Să fie adevărat că toate aceste componente au acelaşi pas (ceea ce este echivalent cu faptul că ele se menţin în acelaşi plan de-a lungul timpului)? Dacă este adevărat acest fapt, îl putem deduce teoretic? -(22:44). Ce tendinţă există pentru componentele structurii în ceea ce priveşte radicalul lor? Ştim că orice sistem tinde să aibă o energie potenţială cât mai mică şi că energia potenţială a unui sistem creşte spontan numai datorită inerţiei.

(Marţi, 14 aprilie 2009)

-(13:07). Poate că am putea defini o structură şi în funcţie de radical, nu doar în funcţie de raport. Mai precis, am putea numi structură de ordin n ansamblul unor corpuri care au acelaşi radical de ordin n. Centrul acestei structuri ar fi ansamblul corpurilor al căror ordin este mic, iar periferia ar fi ansamblul corpurilor al căror ordin este mare. Putem spune că această definiţie a structurii este bazată pe radical, nu pe ordin. -(13:13). O asemenea definiţie mi se pare parcă mai plauzibilă decât cea bazată pe ordin. -(13:14). Mai vreau să adaug printre postulatele Fizicii elicoidale şi relaţiile şi , unde , şi sunt versorii triedrului Frenet. Asemenea relaţii ne-ar ajuta să scriem formulele lui Frenet în forma lor exponenţială şi ne-ar permite să reevaluăm proprietăţile cuadrivectorilor relativişti, considerându-i cuaternioni. -(13:22). Mai vreau, de asemenea, să construiesc progresiv în ZohoWiki o bază de date pe care s-o poată interpreta Prologul, astfel încât să pot separa clar axiomele de teoreme şi să am posibilitatea de a obţine automat demonstraţia oricărei teoreme sub forma unei liste ordonate de propoziţii. -(17:15). Şi pentru că am chef să mă relaxez un pic, vreau să studiez mai aprofundat această chestiune a bazelor de date. Deci, întâi să vedem cum pot fi reprezentate cunoştinţele. Din punctul meu de vedere, orice cunoştinţă este de forma „dacă P atunci Q”, unde P este o propoziţie simplă sau o conjuncţie de propoziţii simple, iar Q este o propoziţie simplă sau o disjuncţie de propoziţii simple. Aceasta este, cred eu, cea mai generală formă de reprezentare a unei cunoştinţe. Mai mult, consider că toată cunoaşterea noastră poate fi scrisă în această formă. -(17:21). Dacă aceasta este adevărat, înseamnă că baza de date a Fizicii elicoidale (şi a oricărui altui domeniu al cunoaşterii umane) poate fi scrisă într-un tabel, deci am putea folosi orice program care lucrează cu tabele. Prologul lucrează bine cu liste şi are funcţii avansate de operare asupra listelor. -(17:25). Mai există ceva important de scos în evidenţă aici: faptul că am putea utiliza calculul probabilităţilor în construirea bazei de date. Mi-ar plăcea să pot asocia automat o anumită probabilitate unei anumite propoziţii, iar această probabilitate să se actualizeze pe măsură ce baza de date se îmbogăţeşte. În acest fel am putea porni de la zero, considerând că toate propoziţiile posibile sunt egal probabile, iar pe măsura introducerii anumitor reguli „de producţie” a propoziţiilor, această probabilitate să se diversifice. -(17:31). Bine, bine, ştiu că această chestiune a fost răscolită până în pânzele albe, dar aşa am eu chef acum să mă gândesc la ea fără să mă chinui să caut ce s-a mai scris în acest domeniu. Dar nu e corect faţă de cititor... Ia să încerc să caut, să văd ce s-a mai scris în legătură cu reprezentarea cunonştinţelor... Am găsit ceva... -(17:40). Probabil, noţiunea de listă ar fi suficientă pentru construirea oricărei baze de date. Sau mai bine noţiunea de slot, folosită în programarea dinamică? Trebuie o listă care să aibă două elemente: ipoteză şi concluzie, unde ipoteza este conjuncţia de propoziţii simple, iar concluzia este disjuncţia de propoziţii simple pe care o implică ipoteza. -(17:44). Mă mai gândesc că pentru Fizica elicoidală noţiunea centrală ar fi curentul electric de deplasare în vid, rezultând apoi că orice corp nu este altceva decât o combinaţie de asemenea curenţi de deplasare.

(Joi, 16 aprilie 2009)

-(11:11). Hai să încercăm să înţelegem cum e cu energia corpului care se deplasează pe o elice. Să presupunem că iniţial corpul de o anumită masă se deplasează pe o dreaptă cu o anumită viteză. Apoi, un alt observator, constată că acest corp se mişcă pe o elice de anumită curbură şi torsiune. Se pune problema de a stabili care este diferenţa de energie dintre cele două corpuri. -(11:13). Aici trebuie să aplicăm un fapt fundamental: o forţă perpendiculară pe traiectorie nu poate modifica energia cinetică. Aşadar, energia cinetică a celor două corpuri trebuie să fie identică. Dar noi ştim că un corp care merge pe o elice ne apare ca fiind un corp care merge pe axa elicei respective. Iar ca să formalizăm riguros acest fapt vom admite că energia totală a corpului trebuie să fie egală cu energia cinetică din reperul în care corpul se deplasează rectiliniu. -(11:18). Deci, dacă admitem că un corp se deplasează pe axa elicei, atunci trebuie să admitem că energia lui potenţială este dată de diferenţa energiilor. Stai aşa, că nu e suficient de explicit! De ce există o diferenţă de energie, din moment ce energiile cinetice trebuie să fie identice? Pentru că energia cinetică scade cu viteza, iar corpul care merge pe axa elicei are viteză mai mică decât corpul care merge de-a lungul elicei. -(11:22). Mai precis, un corp care merge rectiliniu are toată energia sa egală cu energia cinetică, pe când un corp care merge pe o elice are o energie potenţială dată de curbura şi torsiunea elicei. Nu uităm că asta este valabil şi pentru corpuri care merg cu viteza luminii în vid (şi mai ales pentru ele!). -(11:25). Bun, deci încercăm să găsim relaţia matematică dintre energia potenţială şi parametrii traiectoriei. Trebuie să avem relaţia , unde este energia totală, egală cu energia cinetică maximă, adică acea energie cinetică pe care o are corpul care merge rectiliniu. -(11:33). Apoi, mai trebuie să construim o relaţie care să ne definească energia cinetică. Aici va fi ceva mai mult de gândit... Ce definiţie să luăm pentru energia cinetică? O luăm pe cea din mecanica newtoniană? Nicidecum, ar fi prea particulară. Dacă o luăm pe cea din relativitate, apar ceva probleme cu noţiunea de masă, care ştim că e variabilă, depinzând de viteză. Deci, cum facem? Evident, trebuie să ne gândim mai mult la noţiunea de energie cinetică relativistă. -(11:37). Ia să-i vedem întâi forma, poate ne vine vreo idee... Avem . Observaţi că singura diferenţă este indicele energiei de repaus. Asta înseamnă că am putea identifica energia potenţială cu energia de repaus. Iar energia de repaus ar fi acea energie în care corpul merge pe un cerc (deci, fără torsiune), cerc perpendicular pe axa elicei. -(11:42). Ok. Hai să vedem ce „monştri” se nasc dacă facem aceste presupuneri . Dacă am admite aşa ceva, am admite că energia de repaus depinde de raza cercului pe care se deplasează corpul. Pare ok până aici. Care este formula? Trebuie s-o postulăm? Trebuie să definim energia de repaus? -(11:51). Dacă raza cercului este mare, energia de repaus este mică sau mare? -(11:54). Ce energie asociem unui corp care merge rectiliniu cu viteza luminii în vid? Mecanica cuantică asociază unui foton o energie dată de constanta lui Planck şi o frecvenţă. Ce frecvenţă poate avea un corp care merge rectiliniu? Probabil, frecvenţa de variaţie a radicalului traiectoriei. Cum traiectoria este o dreaptă, curbura ei este nulă şi îi rămâne doar torsiunea, deci radicalul rămâne tocmai egal cu torsiunea. Atunci frecvenţa corpului ar fi frecvenţa de variaţie a torsiunii dreptei pe care se deplasează corpul (fotonul).

(Vineri, 17 aprilie 2009)

-(23:54). Sunt foarte fericit pentru că mi-a venit ideea să creez în Wiki-ul meu o pagină cu structura cercetării mele. Cu această ocazie am clarificat şi definiţia importantei noţiuni pe care am numit-o „curbă fizică”.

(Sâmbătă, 18 aprilie 2009)

-(00:06). Aş vrea acum să stabilesc care este cea mai simplă curbă fizică. Evident, ea este elicea de ordinul unu. Dar cum arată ea? Şi ce curbură şi torsiune are elicea de ordinul unu? Sunt ele constante universale, aceleaşi pentru toţi observatorii? Au ele vreo legătură cu permitivitatea electrică şi permeabilitatea magnetică ale vidului?

(Luni, 20 aprilie 2009)

-(09:20). Este foarte important acum să înţeleg proprietăţile unei elice închise. Am trei variante în minte: una în care elicea se înfăşoară pe un tor, una în care elicea se înfăşoară pe cilindru de grosime variabilă cu un punct în mijloc şi două cercuri la capete, iar una în care elicea se înfăşoară tot pe un cilindru de grosime variabilă dar cu două puncte la capete şi un cerc în mijloc. Ei bine, care dintre aceste variante este o elice fizică închisă de ordinul unu? Varianta cu torul îmi place cel mai mult, dar ea nu pare a fi o elice, pentru că axa unei asemenea curbe este variabilă. -(09:42). Şi chiar dacă elicea de pe tor are axa variabilă, este posibil să merite studiată mai amănunţit. Pentru aceasta trebuie să înţeleg cum se face trecerea de la elicea de ordinul n la elicea de ordinul n+1, pentru că este posibil ca elicea de pe tor să fie rezultatul trecerii de la elicea de ordinul zero la elicea de ordinul unu. -(09:45). Ştim că, indiferent de mărimea şi variaţiile radicalului, elicea este o curbă cu axa constantă. Să vedem dacă o asemenea curbă poate fi închisă. Cum raportul este constant, numai radicalul poate fi modificat. -(09:50). Trebuie să rememorez formulele ce guvernează ordinele Frenet, pentru că încep să nu mai înţeleg clar relaţia dintre curbele de ordin vecin. O elice de ordinul unu are raportul de ordinul unu constant şi nenul. Faptul că acest raport este nenul înseamnă că nici curbura nu este nulă şi nici torsiunea nu este infinită. -(09:54). Dacă raportul de ordinul unu este constant, atunci raportul de ordinul doi (care depinde de variaţia raportului de ordinul unu) este nul. Dar o curbă pentru care raportul este nul este o curbă pentru care curbura este nulă sau torsiunea este infinită. Numai dreptele (cu torsiune) pot avea această proprietate. -(10:36). Aşadar, speranţa mea în legătură cu torul este spulberată de fapte. Va trebui să mă mulţumesc cu ideea că natura nu acceptă torul între elementele ei. Curbe asemănătoare elicelor înfăşurate pe tor ar avea raportul de ordinul unu variabil şi raportul de ordinul doi infinit pentru că torsiunea de ordinul doi ar fi nulă, iar o torsiune nulă ne dă un raport infinit. -(10:44). Înseamnă că trebuie să renunţ şi la ideea de curbă închisă? Nu. Rămân celelalte două variante de analizat, cele în care elicea se înfăşoară pe un cilindru de grosime variabilă. Unde se închide o asemenea curbă? La capete. Se pare că la capete torsiunea îşi inversează semnul. Şi pentru ca raportul să rămână constant, trebuie ca şi curbura să-şi inverseze semnul. Semnul nu se poate inversa decât după trecerea prin zero. Înseamnă că la capete atât curbura cât şi torsiunea se anulează. -(10:54). Să înţeleg atunci că o elice de ordinul unu închisă ar fi o curbă care se înfăşoară pe un cilindru de o lungime finită şi grosime variabilă, iar la capete acest cilindru are grosimea maximă şi în mijloc grosimea minimă? Nu-mi place... Poate e chiar invers. Deci mi se pare că la capete grosimea ar fi minimă, poate chiar nulă şi la mijloc grosimea maximă. Doar că în acest caz, la capete atât curbura cât şi torsiunea ar trebui să fie infinite. Atunci semnul lor nu s-ar schimba la trecerea prin zero, ci la trecerea prin infinit. -(11:00). Dar dacă semnul raportului se schimbă şi el la infinit? E posibil? Şi atunci unul dintre parametri ar păstra un semn constant. Oare cum îi place naturii? -(11:09). Şi dacă acest „cilindru” de grosime variabilă ar fi chiar o sferă? Iar capetele sale ar fi polii sferei, iar curba descrisă ar fi o loxodromă? Mă gândesc că ar fi aşa ca să pot ajunge la forma unei planete, precum Saturn. Deci Saturn ar consta în mai multe asemenea curbe, a căror „medie” ar fi tocmai planeta. -(11:16). Bine, bine, dar loxodroma nu este curbă închisă. Oare cât ar fi raportul ei, ordinul ei, curbura şi torsiunea? -(12:08). Am calculat cu Maxima raportul dintre curbura şi torsiunea loxodromei şi se pare că rezultatul este terifiant de complex. Mă tem că natura preferă ceva mai simplu aşa că, înainte de a accepta asemenea complexităţi, voi analiza lucrurile simple, care sunt mult mai probabile.

(Luni, 27 aprilie 2009)

-(20:45). Constat că dacă radicalul este constant, atunci şi produsul trebuie să fie constant. Deci derivata acestui produs trebuie să fie nulă, adică trebuie să avem . -(21:13). Notăm acum . Atunci avem , iar derivata produsului (radicalului) poate fi scrisă ca . -(21:23). Cum această derivată trebuie să fie nulă, avem , de unde rezultă şi că . -(21:33). Am putea să integrăm această relaţie şi am obţine o legătură directă între torsiune şi raport.

(Joi, 30 aprilie 2009)

-(13:33). Dacă un corp ar merge rectiliniu, atunci el nu ar avea masă (aşa zice Fizica elicoidală). Dar ştim că dreptele pot avea torsiune. Să însemne oare că un corp fără masă poate avea torsiune, care torsiune la rândul ei poate fi interpretată ca şi sarcină electrică? -(13:40). Dar un corp cu sarcină electrică are energie (potenţială) electrică (aşa zice Fizica actuală). Deci ceva nu se împacă aici.