Clasificarea curbelor

În contextul articolului precedent, un utilizator simpatic de pe forumul pentru cercetare (virgil_48) mi-a pus o problemă interesantă (și justificată și mult așteptată) privind deosebirea dintre o curbă simplă și una complicată. Îi voi răspunde acum mai riguros aici.

Există un parametru fundamental care face distincția dintre o curbă simplă și una complicată: lancretianul. Lancretianul unei curbe este raportul (deci fracția) dintre curbura curbei și torsiunea curbei. Bineînțeles, așa cum curbura curbei și torsiunea curbei depind de locul de pe curbă în care le măsurăm, la fel și lancretianul este o funcție de locul de pe curbă în care îl măsurăm. 

Cu lancretianul în minte putem să vorbim despre clasificarea curbelor. 

1. Cea mai simplă curbă este curba al cărei lancretian este constant (mai simplu decât constant nu se poate). Numim această curbă așa cum este numită ea și astăzi: elice propriu-zisă (noi i-am mai putea spune „elice de ordinul întâi”). Elicea are proprietatea remarcabilă că „se rotește” în jurul unei drepte.
2. Următoarea curbă, puțin mai complicată decât elicea, dar cea mai simplă curbă după elice este curba al cărei lancretian nu mai este constant, ci este variabil, dar variația lui este constantă. Mai exact derivata de ordinul întâi a lancretianului este constantă. Am putea să mai spunem că în acest caz „viteza lancretianului” este constantă. Cum să numim această curbă? Eu am ales denumirea de „elice de ordinul al doilea” sau „elice de ordinul doi”. În studiile curente, elicea de ordinul doi se mai numește și „curbă de precesie constantă” deoarece curba „precesează” în jurul unei drepte.
3. Următoarea curbă, puțin mai complicată decât elicea de ordinul doi, dar cea mai simplă curbă după această elice de ordinul doi este curba al cărei lancretian nu mai are „viteza” constantă, dar are „accelerația” constantă. Mai exact, lancretianul acestei curbe are derivata de ordinul doi constantă. Desigur, numesc această curbă „elice de ordinul trei”. Ea ar mai putea fi numită și „curbă de nutație constantă”, deoarece curba „nutează” în jurul unei drepte.
4. Și așa mai departe...

Așadar, sper că acest articol face o idee despre complexitatea curbelor. Teorema de recurență a formulelor lui Frenet ne demonstrează că orice curbă, oricât de complicată ar părea ea, nu este altceva decât o elice de un anumit ordin. Cu cât este mai mare acest ordin, cu atât este mai complicată curba.

Despre eforturile depuse pentru a complica traiectoria unui corp

Deși nu este ceva banal, cred că oricine va fi de acord că pentru a putea complica traiectoria unui corp este necesar să depunem un oarecare efort, deci este necesar să consumăm energie. Altfel spus, traiectoria unui corp nu se complică spontan, de una singură, de capul ei, ci numai cu un oarecare efort depus din exterior. Dacă lăsăm corpul liber, fără să consumăm energie cu complicarea traiectoriei sale, atunci corpul se va deplasa din inerție pe cea mai simplă traiectorie posibilă pentru el.  

Așadar, cred că suntem cu toții de acord că pentru a complica o traiectorie trebuie să consumăm energie. Ar fi interesant de văzut cam câtă energie se consumă pentru a complica o traiectorie. Dar pentru aceasta ar trebui să știm cum putem evalua numeric gradul de complicare a unei traiectorii. Este o problemă dificilă asupra căreia voi mai reveni cu altă ocazie, dar o idee despre rezolvarea ei puteți găsi deja pe acest blog, dacă veți căuta ce am scris despre teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet și elicea generalizată. 

Deci, un corp care se deplasează pe o traiectorie complicată ne transmite informația că el a primit suficientă energie pentru a se deplasa cu o asemenea traiectorie complicată. 

Am spus "a primit", dar de ce nu am spus "primește" din moment ce tendința inerțială  corpului este (mereu), așa cum spuneam mai sus, aceea de a se deplasa pe cea mai simplă traiectorie? Este oare posibil ca un corp să "împacheteze" energia primită la un moment dat și să o transporte cu el mai departe chiar și după ce a încetat să mai primească energie? 

Din fericire, răspunsul este pozitiv. Corpurile pot absorbi energia primită, o împachetează și o transportă astfel cu ele mai departe. Împachetând energia primită, corpul capătă o masă mai mare, devine mai masiv. 

Dar oare prin ce mecanism pot corpurile să împacheteze energia? Prin ce mecanism pot corpurile să ducă cu ele energie? Prin ce mecanism traiectoria corpurilor poate rămâne complicată chiar și departe de sursa care le-a furnizat energia necesară complicării traiectoriei? De ce în unele cazuri energia este împachetată, iar în alte cazuri nu?

Răspunsul este următorul: corpurile împachetează energia doar atunci când traiectoria lor se inchide, adică atunci când pentru un observator care se deplasează "împreună cu corpul" (este solidar cu centrul de simetrie al traiectoriei) traiectoria este închisă. De exemplu, știm că traiectoria unui corp care se deplasează pe un cerc este o traiectorie închisă, deoarece un observator care se află în repaus față de centrul cercului constată că acel corp revine periodic în același loc. 

Închiderea traiectoriei este echivalentă cu fenomenul numit "rezonanță".  Așa cum câmpul electromagnetic se transformă în undă electromagnetică la rezonanță, așa și corpurile ce se deplasează pe traiectorii închise împachetează energia și o transportă cu ele departe de sursa de energie. 

Dar pasul uriaș pe care l-a făcut Fizica elicoidală a fost acela de a postula că întreaga energie pe care o transportă un corp, deci întreaga sa masă, se regăsește în forma traiectoriei acelui corp, în gradul de complicare a traiectoriei sale. Altfel spus, masa unui corp nu este altceva decât o informație despre cât de complicată este traiectoria corpului respectiv.