The circular helix is the necessary and sufficient curve
Suppose we want to know with largest possible accuracy the trajectory of a material point in space. We know that it can not be known with infinite precision, but only with some approximation. We are interested, therefore, which is the curve that best approximates the trajectory of the material point.
To determine this curve we have available the successive positions of material point determined at different moments of time. If we could have an infinite number of such successive positions, even when we could not be sure that we have all necessary points of trajectory, because the infinity can be countably or uncountably. So, anyway have to resort to approximations.
Then, the next question to ask is what kind of approximations we use, realizing that we can not have every points of trajectory. A first solution that comes to mind is commonly used today, namely the solution based on the assumption that between two successive points observed material point would move just on straight line. If material point would really move on straight, then of course, our assumption would be great.
But, alas, what if after several successive points we find that our material point does not move along a straight line, but on a more complicated curve? Can we also admit that is justified our assumption that the material point has moved in a straight line? Obviously not.
Then we may admit eventually that between the first two successive our material point has moved along a straight line, and between the following two successive points the material point has moved along an another straight line and so on. Such an approach would be correct? Nooooooo! Not even this approach would not be correct, because the material point can not pass suddenly from one straight line to another. No body in the universe can move in this way, so can not turn such suddenly if it has mass. So, no! We can not allow the division of trajectory in straight line segments! Therefore, the straight line is not sufficient to approximate the trajectory.
So we have to look for another solution. Another solution would be to smooth out more the trajectory and to admit that the material point moves, not in line segments, but in circular arcs. We thus obtain a more realistic approximation, which may take into account the curvature of the trajectory. Just that, in this case, we should consider three points, not two as in the line segments, because only in three points passing a unique circle.
Gooooood. So circular arcs. But is this approach sufficient? Did not appear the problems that occurred in the case of straight line segments? Did not appear here also some sudden jumps? Hmmm ... Well, let's see. The circle is a plane curve. So, if we find that the trajectory is a plane curve after any period of time, then we could say that the approximation curve with a sequence of circles is reasonable.
But, as we have not been limited to the straight line, we can not restrict on any such assumption with circles. Material points do not move in the plane curves, except in very, very specific or non-existent cases. Or, if the point does not move in the plane curves, then the triplets of points located on the trajectory we would provide circles in different planes. And switching from one plan to another, again, can not be done suddenly, but gradually, smoothly. So, circle is insufficient, also. We need to go further, to seek other solutions.
The next solution would be the circular helix. As we saw, the circular helix is at least necessary to pass from the straight trajectory to the curved trajectory in plan and from the curved trajectory in plan to the trajectory curved in space. Let us see then if it meets our fastidiousness. Let's see if it meets all the requirements to approximate the trajectory.
We can observe first that the circular helix not assume any sudden jump. Circular helix does not require us to make sudden jumps from one straight line to another, or from one plan to another plan. Why? Because it gives us the curvature and torsion. The straight line does not give us anything, no curvature, no torsion, and the circle does not give us the torsion, although gives us curvature. Circular helix, however, gives us both.
Good. If circular helix gives us both, then it is sufficient? Of course. Because anything other than curvature and torsion we do not need. Curves in space are completely described by the curvature and torsion. In conclusion, the circular helix is necessary and sufficient for approximating the curves. Therefore, it is not fair to split a trajectory into straight line segments or circular arcs either, but only into portions of the circular helix.
So, it is unfair to limit ourselves to pairs of points for straight line segments or triplets of points for circular arcs, but we must evaluate the quadruplets of points to fix a single circular helix passing through these four points. In principle, accurate approximation of the trajectory analyze oneby one the quadruplet of observed points and make a smooth connection between all possible quadruplets that we obtain with the observed points. With n points we have combination of n taken by 4 circular helices that approximate the curve. Go ahead!
Elicea ciculară este curba necesară şi suficientă
Să presupunem că dorim să cunoaştem cu o acurateţe cât mai mare traiectoria unui punct material prin spaţiu. Ştim că aceasta nu poate fi cunoscută cu precizie, ci doar cu o oarecare aproximaţie. Ne interesează, deci, care este curba ce aproximează cel mai bine traiectoria punctului material.
Pentru a determina această curbă avem la dispoziţie poziţiile succesive ale punctului material, determinate la diferite momente de timp. Dacă am putea dispune de o infinitate de astfel de poziţii succesive, nici măcar atunci nu am putea fi siguri că avem toate punctele necesare traiectoriei, căci infinitul poate fi numărabil sau nenumărabil. Aşadar, oricum trebuie să recurgem la aproximări.
Atunci, următoarea problemă care se pune este la ce fel de aproximări vom recurge, conştienţi fiind de faptul că nu putem dispune de toate punctele traiectoriei. O primă soluţie care ne vine în minte este aceea folosită azi în mod frecvent, anume soluţia bazată pe presupunerea că între două puncte succesive observate punctul material s-ar deplasa tocmai pe o dreaptă. Dacă punctul material s-ar deplasa cu adevărat pe o dreaptă, atunci, desigur, presupunerea noastră ar fi minunată.
Dar, vai, ce ne facem dacă după câteva puncte succesive constatăm că punctul nostru material nu s-a deplasat pe o dreaptă, ci pe o curbă mai complicată? Mai putem admite ca fiind justificată presupunerea noastră că punctul s-a deplasat pe o dreaptă? Evident, nu.
Atunci am putea admite eventual că între primele două puncte succesive punctul s-a deplasat pe o dreaptă, apoi între următoarele două puncte succesive punctul s-a deplasat pe o altă dreaptă şi tot aşa mai departe. Ar fi corectă o asemenea abordare? Nuuuuuuuuuuu! Nici această abordare nu ar fi corectă, deoarece punctul material nu poate trece brusc de la o dreaptă la alta. Niciun corp din Univers nu se poate deplasa astfel, nu poate coti atât de brusc, dacă are masă. Deci, nu! Nu putem admite împărţirea traiectoriei în segmente de dreaptă! Aşadar, dreapta nu este suficientă pentru aproximarea traiectoriei.
Aşa că va trebui să căutăm o altă soluţie. Altă soluţie ar fi să mai netezim puţin traiectoria şi să admitem că punctul material se deplasează, nu pe segmente de dreaptă, ci pe arce de cerc. Am obţine astfel o aproximare mai realistă, care ar putea ţine seama de curbura traiectoriei. Doar că, în acest caz, ar trebui să luăm în considerare trei puncte, nu două ca în cazul segmentelor de dreaptă, căci doar prin trei puncte trece un cerc unic.
Buuuuun. Deci, arce de cerc. Dar este această abordare suficientă? Nu cumva apar problemele care au apărut în cazul segmentelor de dreaptă? Nu cumva apar şi aici nişte salturi? Hmmm... Păi, să vedem. Cercul este o curbă plană. Aşadar, dacă am constata că traiectoria este o curbă plană după orice interval de timp, atunci am putea spune că aproximarea curbei cu o succesiune de cercuri este rezonabilă.
Dar aşa cum nu ne-am putut limita la drepte, nu ne putem limita nici la o asemenea presupunere cu cercurile. Punctele materiale nu se mişcă pe curbe plane, decât în cazuri foarte, foarte, foarte particulare sau poate chiar inexistente. Ori, dacă punctul material nu se mişcă pe curbe plane, atunci tripletele de puncte aflate pe traiectorie ne-ar furniza cercuri aflate în plane diferite. Iar trecerea de la un plan la altul, din nou, nu se poate face brusc, ci treptat, lin. Aşadar şi cercul este insuficient. Trebuie să mergem mai departe, să căutăm alte soluţii.
Următoarea soluţie ar fi elicea circulară. După cum am văzut, elicea circulară este cel puţin necesară pentru a trece de la traiectoria dreaptă la traiectoria curbată în plan şi de la traiectoria curbată în plan la traiectoria curbată în spaţiu. Să vedem atunci dacă ea ne satisface capriciile. Să vedem dacă ea îndeplineşte toate cerinţele de aproximare a traiectoriei.
Putem observa în primul rând că elicea circulară nu mai presupune niciun salt brusc. Elicea circulară nu ne obligă să facem salturi bruşte de la o dreaptă la o altă dreaptă, ori de la un plan la alt plan. De ce? Pentru că ea ne dă şi curbură şi torsiune. Dreapta nu ne dădea nimic, nici curbură, nici torsiune, iar cercul nu ne dădea torsiune, deşi ne dădea curbură. Elicea circulară, însă, ni le dă pe amândouă.
Bun. Dacă elicea circulară ni le dă pe amândouă, este ea atunci şi suficientă? Desigur. Pentru că altceva în afară de curbură şi torsiune nu ne mai trebuie. Curbele din spaţiu sunt complet descrise de curbură şi torsiune. În concluzie, elicea circulară este necesară şi suficientă pentru aproximarea curbelor. De aceea, nu mai este corect să împărţim o traiectorie în segmente de dreaptă şi nici în arce de cerc, ci numai în porţiuni de elice circulară.
Aşadar, nu este corect să ne rezumăm la perechi de puncte pentru segmente de dreaptă sau la triplete de puncte pentru arce de cerc, ci trebuie să evaluăm cvadruplete de puncte pe care să fixăm elicea circulară unică ce trece prin acele patru puncte. În principiu, pentru aproximarea corectă a traiectoriei analizăm câte un cvadruplet de puncte observate şi facem o legătură armonioasă între toate cvadrupletele posibile pe care le obţinem cu punctele observate. Cu n puncte observate vom avea combinări de n luate câte 4 elice circulare ce aproximează curba. Daţi-i bătaie!
