(Sâmbătă, 8 noiembrie 2008)
-(14:15). Mi-ar plăcea să analizez relaţia dintre componentele carteziene ale unui vector şi componentele sale Frenet (lungime, curbură şi torsiune). Mai concret, dat fiind un vector oarecare
, vrem să găsim lungimea, curbura şi torsiunea acestui vector.
Lungimea este
-(14:58). Să găsim curbura. Avem relaţiile
-(19:00). Torsiunea este
(Duminică, 9 noiembrie 2008)
-(10:51). Încerc să scriu un vector în forma exponenţială, folosind unghiurile lui Euler. Ştiu, ştiu, e posibil să nu fie ceva nou şi poate că aş găsi asemenea raţionamente pe undeva pe la studiul cuaternionilor, dar mai bine încerc să redescopăr eu însumi această scriere (ce pare a fi extrem de utilă pentru Fizica elicoidală). Unghiurile lui Euler sunt: unghiul de rotaţie
, unghiul de precesie
şi unghiul de nutaţie
. Să vedem cum putem scrie un vector în forma exponenţială folosind aceste unghiuri. Trebuie să fie ceva analog scrierii unui număr complex în forma exponenţială.
(Duminică, 23 noiembrie 2008)
-(16:16). Bun, transformarea din sistemul cartezian în cel al lui Frenet pare a fi uşoară. Dar oare cum este cea din sistemul lui Frenet în cel cartezian? O asemenea transformare pare a nu fi unică, deoarece ne obligă să facem abstracţie de o rotaţie şi o translaţie. Cred că mă complic inutil. Ce urmăresc cu aceste transformări? Mă ajută la ceva important acum?
-(16:21). Ce este important acum? Îmi trec prin minte o mulţime de gânduri privitor la inerţie (la translaţie, rotaţie, precesie). Oare o fi şi inerţie la nutaţie? Dar mai departe, există şi alte variaţii pentru care putem găsi inerţie? Oare, aşa cum există o recurenţă a vectorilor viteză, nu există şi o recurenţă a vectorilor de rotaţie? Of, ce banalităţi întreb şi eu! Cum să nu existe o asemenea recurenţă din moment ce am demonstrat generalitatea ei, valabilitatea ei pentru orice tip de vectori? Păi, întreb pentru că n-am înţeles-o aşa cum aş vrea. N-am înţeles bine cum este analoagă mişcarea pe o elice cu mişcarea de precesie. N-am înţeles cum fac comparaţie între curbură şi torsiune, pe de o parte, şi precesie şi nutaţie, pe de altă parte.
-(16:28). Există inerţia la translaţie şi la rotaţie. Eu mai descopăr şi inerţia la precesie. Mai nou bănuiesc că există şi inerţie la nutaţie. Ce legături putem face între aceste noţiuni? Inerţie... draga mea inerţie... ce mistere mai ascunzi tu?
-(17:07). De ce au două corpuri inerţie la translaţie? Observaţi că un singur corp nu poate avea asemenea inerţie! Deci, două corpuri au inerţie la translaţie pentru că impulsul lor total se conservă. De ce au două corpuri (care merg pe acelaşi cerc şi care sunt legate solidar) inerţie la rotaţie? Pentru că momentul lor cinetic total se conservă (cu toate că impulsul lor este variabil). Observaţi că momentul lor cinetic ar fi acelaşi chiar dacă ele ar merge rectiliniu cu impuls constant, pe drepte paralele dar diferite. Apoi intervine inerţia la precesie a două corpuri.
-(17:16). Pentru ca momentul cinetic al celor două corpuri să nu fie nul este necesar ca dreapta pe care se află cele două corpuri să fie variabilă. Aceasta este condiţia fundamentală pentru inerţia la rotaţie. De aici putem obţine condiţia fundamentală pentru inerţia la precesie: planul pe care se mişcă cele două corpuri trebuie să fie variabil. Dacă planul este variabil, atunci impulsul volumic nu este nul.
-(17:19). Dar cum facem pentru nutaţie? Ce variază în cazul nutaţiei? Spaţiul mişcării? Cum putem detecta asta într-un spaţiu tridimensional? Îmi amintesc aici de torsiunea dreptelor şi îmi surâde ideea că aceasta ar fi rezolvarea. În plus, mă gândesc că un spaţiu în care dreptele au torsiune ar putea fi un spaţiu în care trece timpul.
-(17:21). Ia să valorific întâi ultima idee! Cum adică, „un spaţiu în care dreptele au torsiune ar putea fi un spaţiu în care trece timpul” ?
(Luni, 24 noiembrie 2008)
-(20:19). Din punct de vedere geometric nu putem face distincţie între drepte după criteriul torsiunii. Prin urmare, numai implicarea unei mărimi negeometrice ne-ar putea permite această distincţie. Timpul ar putea fi o asemenea mărime negeometrică. Timpul generează mărimi cinematice, deci geometria cinematică poate lua în considerare torsiunea dreptelor.
-(20:26). Bun, acum să vedem care ar fi legătura între torsiunea dreptelor şi timp. Ce s-ar întâmpla cu torsiunea dreptelor dintr-un spaţiu dacă timpul ar trece mai repede? Cum ar trece timpul într-un spaţiu în care torsiunea dreptelor este nulă?
-(20:43). Pentru a putea stabili cât de repede trece timpul am putea să măsurăm vitezele de rotaţie ale corpurilor. Ştim din teoria relativităţii că dacă timpul trece mai încet, corpurile merg mai repede, iar vitezele de rotaţie scad şi ele.
-(20:46). De exemplu, putem deduce cumva torsiunea dreptei pe care se deplasează un corp liber, măsurând viteza de rotaţie a acestuia în jurul dreptei de mişcare. Pe forumul astronomy.ro am demonstrat care este legătura dintre torsiunea traiectoriei şi parametrii cinematici ai mişcării.
