Căutați ceva anume?

duminică, 10 aprilie 2011

Proiecţia unei drepte pe o altă dreaptă perpendiculară este un segment

Imaginaţi-vă două drepte coplanare şi concurente. Dacă unghiul dintre ele nu este un unghi drept, atunci proiecţia unei drepte pe cealaltă dreaptă va fi tot o dreaptă. Dar ne putem întreba şi despre ce formă va avea proiecţia unei drepte pe altă dreaptă atunci când unghiul dintre cele două drepte este tocmai un unghi drept.
Da, ştiu, veţi sări să spuneţi repede că rezultatul proiecţiei unei drepte pe o altă dreaptă perpendiculară pe dreapta dată va fi un punct. Dar oare chiar aşa să fie? Ce mi-aţi putea reproşa dacă v-aş spune că proiecţia unei drepte pe o altă dreaptă perpendiculară este un segment de dreaptă, nu un punct?! Cum m-aţi putea contrazice oare? Cum puteţi voi demonstra că proiecţia dreptei pe o altă dreaptă perpendiculară este un punct, nu un segment?

Ei bine, nu puteţi! Pentru că dacă aţi putea demonstra aşa ceva, atunci aţi putea demonstra şi că printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă la acea dreaptă. Deci, aţi putea demonstra postulatul euclidian al paralelelor şi, implicit, aţi putea demonta toate geometriile neeuclidiene apărute în decursul istoriei datorită acestei imposibilităţi.

Aşa că, va trebui să mă credeţi pe cuvânt şi să acceptaţi măcar pentru moment că proiecţia unei drepte pe o dreaptă perpendiculară este un segment de dreaptă, nu un punct. Şi, la urma urmei, ce aţi avea de pierdut dacă m-aţi crede? Că doar nu v-am spus ce lungime are acel segment. Deci el ar putea avea şi lungime nulă, caz în care am avea dreptate şi eu şi voi.

Atunci, să presupunem liniştiţi că proiecţia unei drepte pe o altă dreaptă perpendiculară este un segment. Ce proprietăţi are acest segment? De exemplu, de ce se află el de o parte a planului şi nu de cealaltă?
Ce proprietate a dreptei face ca acel segment să aibă o anumită orientare şi nu alta? Sau, ce lungime are acest segment? De ce acel segment are un metru şi nu un kilometru?

La prima vedere, răspunsul este imposibil de dat. Din punct de vedere geometric, dreapta este peste tot la fel şi nu are cum să ne prezinte orientări diferite sau lungimi diferite. Matematica, într-adevăr, nu poate răspunde la această problemă şi lasă toată greutatea răspunsului pe umerii... Fizicii. Numai Fizica poate răspunde, căci numai Fizica poate concretiza nedeterminările matematicii şi poate lucra cu repere orientate. Mai exact, Fizica poate face distincţie între două drepte, poate şti care dreaptă ce proiecţie va da pe o altă dreaptă, poate şti care este orientarea şi „densitatea” dreptei. Atunci când stabilim lungimea şi orientarea pe un reper, facem, de fapt, Fizică, pentru că, spre exemplu, matematica nu ne dă nicio informaţie despre scala unui reper cartezian.

Aşadar, proiecţia unei drepte pe o altă dreaptă perpendiculară va fi un segment. Dar ce va fi proiecţia unei drepte pe un plan perpendicular? Va fi tot un segment? Păi, în plan avem o libertate ceva mai mare, o libertate mai mare cu un ordin. Deci, în plan, proiecţia dreptei va fi ceva mai mult decât un segment. Ar putea fi un cerc sau chiar o elipsă. Sau, mai riguros, ar putea fi o pereche de două segmente reciproc perpendiculare aflate în acel plan. Prin aceasta, proiecţia unei drepte pe un plan perpendicular va duce la apariţia pe acel plan a unui reper cartezian orientat şi normat, prin analogie cu faptul că proiecţia pe o dreaptă a produs normarea şi orientarea acelei drepte.
În fine, ne putem imagina atunci că reperul cartezian orientat şi normat din spaţiul tridimensional este rezultatul proiecţiei pe spaţiu a unei drepte perpendiculare pe spaţiu. Iar dacă aici mai introducem şi o mişcare de rotaţie a reperului cartezian, atunci interpretarea spaţio-temporală a proiecţiei unei drepte este completă.

Postări populare

A apărut o eroare în acest obiect gadget

Arhivă blog

Etichete

Persoane interesate