Căutați ceva anume?

duminică, 12 decembrie 2010

Viteza de scăpare și găurile negre

Să presupunem că în Univers există un singur corp masiv sferic de rază R și masă M (numit corp central) aflat în repaus și un singur corp de dimensiuni neglijabile, mult mai ușor și de masă de repaus mo (numit corp de probă) aflat la distanța r de centrul de masă al corpului central. Ne propunem să analizăm care este bilanțul energetic ce guvernează interacțiunea gravitațională dintre corpul de probă și corpul central cu scopul de a stabili valoarea vitezei pe care ar trebui să o aibă corpul de probă pentru a se putea îndepărta de corpul central la o distanță infinită.

Dacă corpul de probă s-ar afla la o distanță infinită față de corpul central, atunci între cele două corpuri nu ar exista interacțiune gravitațională. Din acest motiv, corpul de probă aflat la distanță infinită nu ar avea deloc energie potențială. Dar pentru corpul de probă care se află la o distanță finită r față de centrul de masă al corpului central, energia potențială nu mai este nulă, ci ne arată ce lucru mecanic trebuie să efectuăm pentru a putea transporta corpul de probă din locul în care se află până la o distanță infinită.

Admitem că energia potențială a corpului de probă aflat în câmpul gravitațional al corpului central la distanța r față de centrul său de masă are forma binecunoscută dată de relația
  .  Această relație ne spune ce energie ar trebui să-i furnizăm corpului de probă pentru ca acesta să se poată îndepărta până la infinit față de corpul central. De asemenea, ne mai spune câtă energie ar pierde corpul de probă dacă ar veni de la infinit până în punctul aflat la distanța r de centrul de masă al corpului central.

În concluzie, pentru ca un asemenea corp de probă aflat la distanța r față de centrul de masă al corpului central să poată scăpa din acel loc de câmpul gravitațional al corpului central și să ajungă astfel până la o distanță infinită, ar trebui să-i furnizăm o energie cinetică egală tocmai cu energia sa potențială în valoare absolută. Dar energia cinetică
a corpului de probă depinde de viteza sa. Așadar, ar trebui să-i imprimăm corpului de probă o viteză suficientă pentru ca energia sa cinetică să poată egala energia sa potențială în valoare absolută. Mai precis, trebuie să avem că .

Am stabilit deci ce energie cinetică trebuie să aibă corpul de probă pentru a putea ieși (adică a ajunge la infinit) din câmpul gravitațional al corpului central. Acum vrem să stabilim ce viteză este necesar să imprimăm corpului de probă pentru ca el să aibă energia cinetică
. Pentru aceasta avem două posibilități, una clasică și una relativistă.

În abordarea clasică, energia cinetică a unui corp în funcție de viteza lui este dată de relația
, iar în abordarea relativistă . Vom egala pe rând cele două energii cinetice cu energia potențială în valoare absolută pentru a putea obține valoarea vitezei de scăpare pe care ar trebui s-o imprimăm corpului în fiecare din cele două cazuri.

În cazul clasic, în care energia cinetică este
, avem , de unde rezultă că viteza de scăpare în cazul clasic este . Aceasta este forma simplă ce poate fi folosită în cazul corpurilor centrale de masă mică pentru care viteza de scăpare este mult mai mică decât viteza luminii. Însă dacă avem pretenția să determinăm viteza de scăpare pentru corpurile mult mai masive care necesită viteze de scăpare foarte mari, apropiate de viteza luminii, atunci forma clasică a energiei cinetice nu mai poate fi satisfăcătoare și suntem nevoiți să folosim forma ei relativistă.

În cazul relativist energia cinetică este
 
,
 deci pentru a putea determina viteza de scăpare
în acest caz relativist, rezultată din egalarea celor două energii, vom avea
,
de unde obținem că
.
Vrem să scoatem viteza de scăpare relativistă din ultima relație. Pentru aceasta adunăm cu
și apoi răsturnăm egalitatea, obținând
.
Izolând radicalul, obținem
.
Acum ridicăm la pătrat și trecem termenii dintr-o parte într-alta
,
de unde rezultă, în sfârșit, expresia vitezei de scăpare în cazul relativist
.
Aceasta este forma corectă a vitezei de scăpare, nu cea rezultată din abordarea clasică! Aceasta este forma pe care trebuie să o folosim atunci când vorbim de corpuri centrale foarte masive la suprafața cărora viteza de scăpare trebuie să fie relativistă.

Dar, ia să vedem, ce ne spune această formă a vitezei de scăpare atunci când mărim până la infinit valoarea masei corpului central? Se poate ușor observa că, pe măsură ce mărim valoarea masei M, viteza de scăpare se apropie de viteza luminii, dar nu o depășește nici chiar dacă această masă este infinită. Ce înseamnă aceasta? Înseamnă că pentru a putea scăpa din apropierea corpurilor foarte masive ne trebuie, e-adevărat, viteze foarte mari, dar în niciun caz acestea nu trebuie să depășească viteza luminii. Rezultatul e logic: cu cât ai viteză mai apropiată de viteza luminii, cu atât ai energie cinetică mai apropiată de infinit, energie cu care poți scăpa din câmpul gravitațional al oricărui corp, oricât de masiv ar fi el. Așadar, dragii mei cititori, nu mai credeți în găurile negre! Ele sunt doar niște absurdități cu care pot fi scrise niște articole de senzație ce să mărească audiența!

Postări populare

A apărut o eroare în acest obiect gadget

Arhivă blog

Etichete

Persoane interesate