Curbura complexă și raza complexă

 Am încropit un material privind două noi noțiuni matematice interesante și relația dintre ele. Este vorba despre curbura complexă a unei elice circulare și raza complexă a acesteia. Poate va plăcea cuiva și îi va fi de folos.

Mișcarea este singura opțiune

 Dragul meu Feynman, în volumul I al celebrelor sale lecții, în capitolul 7, ne spune explicit că NU ȘTIM de ce persistă corpurile în a se mișca.

Pentru fizica elicoidală, care a demonstrat că repausul este imposibil, inerția nu mai este un mister. În fizica elicoidală mișcarea este singura opțiune.

Observatorul

 Am reușit să clarific noțiunea de observator pentru Fizica elicoidală. Astfel, dicționarul de Fizică elicoidală este mai bogat cu o noțiune.

Și pentru că ei nu mi-au răspuns...

 Da, oficialitățile nu mi-au răspuns din iulie, așa că nu am timp de pierdut cu niște habarniști mofturoși. Acestea sunt linkurile către articolul cu triedrul lui Frenet de ordinul al doilea, în limba română și în limba engleză.

Pe porțiuni mici curbele trebuie aproximate prin segmente de elice perfectă

Dimineața zilei de azi mi-a adus o nouă bucurie. Am descoperit că ar fi mai eficient să presupunem că pe porțiuni mici orice curbă este o elice perfectă. Așa că am extins puțin cu această precizare noțiunea de elice perfectă din dicționarul Fizicii elicoidale pe care îl construiesc.

Azi se consideră că pe porțiuni mici curbele pot fi aproximate cu segmente de dreaptă, dar această presupunere se dovedește falsă (exemplul cercului din imagine) și ineficientă și perpetuează imposibilitatea noastră de a rezolva problemele deschise din teoria curbelor și chiar din Fizică. De aceea, în secolul 21 a venit vremea să luăm în considerare mai consistent noțiunile de curbură și torsiune. 

Oare cine va fi geniul care va construi un nou aparat matematic, asemănător calculului diferențial și integral construit de Newton și Leibniz pe vremea când nu se cunoșteau noțiunile de curbură și torsiune? Cine va construi un nou aparat matematic bazat de data aceasta pe aproximarea curbelor nu prin segmente de dreaptă, ci prin segmente de elice perfectă?

Dicționar incipient de termeni ai Fizicii elicoidale

Las (și) aici pentru posteritate un dicționar incipient cu noțiuni riguroase ale Fizicii elicoidale. Un asemenea dicționar ar trebui să fie un capitol al unei viitoare cărți.

Voi încerca să-l îmbunătățesc de-a lungul timpului și să mi-l însușesc și eu așa cum l-am deschis aici, căci mă mai abat de la notații uneori.

Axa elicei

Dreapta fixă din spațiu în jurul căreia se deplasează un mobil aflat pe elice.

Curbură complexă

Mărimea fizică notată cu $\alpha$, a cărei parte reală și imaginară este curbura, respectiv, torsiunea. Așadar, avem $\alpha=\kappa+\mathbf{i}\tau$. Curbura complexă este inversul razei complexe.

Darbuzian

Numim darbuzian mărimea fizică asociată curbei dată de $d=\sqrt{\kappa^2+\tau^2}$, unde $\kappa$ și $\tau$ sunt curbura și, respectiv, torsiunea elicei. Darbuzianul este modulul curburii complexe.

Densitatea elicei

Numărul de spire pe unitatea de lungime. Este inversul lungimii spirei. Așadar, $\rho=\frac{1}{L}=\frac{1}{2\pi\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{d}{2\pi}$.

Echilibrul gazului elicoidal

Stare a gazului elicoidal în care există cele mai puține variații ale impulsului și ale momentului cinetic. Pentru a se realiza echilibrul, moleculele își distribuie cât mai uniform impulsurile și momentele cinetice. 

Pentru a-și distribui uniform impulsurile, moleculele sunt nevoite să se așeze două câte două diametral opus pe aceeași elice (dar nu neapărat pe aceeași spiră), formând astfel rotatori moleculari (un fel de haltere). Rotatorii vor avea impulsul constant, dar momentul cinetic variabil.

Pentru a-și distribui uniform momentele cinetice, moleculele sunt nevoite să se așeze în perechi de rotatori care își compensează reciproc variațiile momentelor cinetice.

Bogata diversitate a acestor combinații generează bogata diversitate a lumii.

Elice

Elicea este o curbă netedă în spațiu pentru care raportul dintre curbură și torsiune (adică, lancretianul) este constant. În cazul elicei oarecare, darbuzianul poate fi variabil, spre deosebire de elicea circulară ai cărei lancretian și darbuzian sunt constanți.

Elice circulară

Elice pentru care nu doar lancretianul este constant, ci și darbuzianul.

Elice perfectă

Elicea perfectă este elicea a cărei curbură este peste tot egală cu modulul torsiunii. Elicea perfectă are modulul lancretianului unitar. Există două tipuri de elice perfecte: elice cu $l=1$ și elice cu $l=-1$. Moleculele dintr-un gaz aflat în echilibru se mișcă pe elice perfecte. Elicea perfectă este elicea de energie și stabilitate maximă. Unghiul elicei perfecte este $45^\circ$.

Elice scurtă, elice lungă

Elicea al cărei pas este foarte mic este elice scurtă, în timp ce elicea cu pasul foarte lung este elice lungă. Fotonii se deplasează pe elice lungi și subțiri, în timp ce corpurile cerești se deplasează pe elice scurte și groase.

Elice subțire și elice groasă

Elicea subțire este o elice a cărei rază este foarte mică, în timp ce elicea groasă este elicea cu raza foarte mare.

Gaz elicoidal

Un gaz în care toate moleculele se mișcă pe o elice în cea mai mare parte a timpului. Moleculele nu se ciocnesc între ele, iar ciocnirile cu pereții schimbă doar semnul pasului (deci și al torsiunii și al lancretianului). Moleculele gazului elicoidal aflat la echilibru se mișcă pe elice perfecte.

Lancretian

Numim lancretian raportul dintre curbură și torsiune și se notează cu $l$. Avem, așadar, $l=\frac{\kappa}{\tau}$.

Lungimea spirei

$L=2\pi\sqrt{a^2+b^2}$, unde a și b sunt raza elicei și, respectiv, pasul ei barat.

Pasul barat al elicei circulare

Raportul dintre lungimea pasului și $2\pi$. Se notează cu $b$ și avem $b=\frac{k}{2\pi}$.

Pasul elicei circulare

Distanța dintre începutul și sfârșitul unei singure spire. Se notează cu $k$ și avem $k=2\pi b$. A nu se confunda pasul și curbura, adică $k\neq\kappa$.

Perioada elicei circulare

Intervalul de timp în care un mobil parcurge cu viteză constantă o spiră a elicei circulare. Se notează cu $T$.

Rază complexă

Mărimea fizică $R=a+\mathbf{i}b$, unde $a$ și $b$ sunt raza elicei și, respectiv, pasul barat al elicei. Raza complexă este inversul curburii complexe.

Rotator molecular

Ansamblu format de două molecule identice care se mișcă pe aceeași elice și sunt amplasate diametral opus pe elice, nu neapărat pe aceeași spiră. Rotatorul molecular are impuls constant, dar moment cinetic propriu variabil în direcție. Întreaga energie mecanică a rotatorului molecular se datorează acestei viteze de variație a momentului său cinetic propriu.

Utilizând limbajul Fizicii actuale, putem spune că rotatorul individual este un fermion, în timp ce o pereche de rotatori moleculari identici și cuplați (adică, cu momentul cinetic propriu total devenit constant) reprezintă un boson.

Observați că doi rotatori moleculari identici nu se pot situa pe aceeași spiră (situație descrisă de Fizica actuală ca fiind „principiul excluziunii al lui Pauli”).

Spira elicei circulare

Cea mai mică porțiune de elice aflată între două puncte consecutive de pe o dreaptă paralelă cu axa elicei circulare.

Torsiune complexă

Mărimea fizică notată cu $\beta$ a cărei parte reală și imaginară este torsiunea și, respectiv, curbura. Avem astfel $\beta=\tau+\mathbf{i}\kappa$. Între torsiunea complexă și curbura complexă există relația $\beta=\mathbf{i}\overline{\alpha}$, unde bara de deasupra semnifică conjugarea numărului complex.

Unghiul elicei

Unghiul dintre orice dreaptă tangentă la elice și axa elicei. Se notează cu $\theta$. Dacă unghiul este nul, elicea degenerează într-o dreaptă, iar dacă unghiul este drept, elicea devine un cerc. În Fizica elicoidală nu există niciun reper în care unghiul elicei să fie nul sau drept. Altfel spus, orice schimbare de reper transformă o elice în altă elice.

Exponențiala matricei Frenet

 Poate reușiți voi să înțelegeți ce vrea să spună exponențiala matricei Frenet...

Triedrul lui Frenet de ordinul al doilea

 

P.S. Materialul este realizat din imagini capturate din fișierul pdf cu același titlu creat în LaTeX.

Un program pe termen lung pentru Fizica elicoidală

Avem nevoie de un program pe termen lung pentru Fizica elicoidală. Deocamdată, din cele găsite de mine de-a lungul anilor, puteți porni de la niște concluzii în care am eu încredere, după care voi să adăugați sau să modificați ceea ce veți găsi necesar să fie adăugat sau modificat. Nu vă mirați dacă veți găsi încă mici inconsistențe, neclarități, bâjbâieli. Luați-le ca atare, șlefuiți-le și construiți cu ajutorul lor viitorul.

Constatările mele

1. Teorema de recurență a formulelor lui Frenet.

 Pentru orice curbă netedă, se poate defini o infinitate de triedre Frenet. De exemplu, triedrul Frenet de ordinul al doilea se obține cu versorul vectorului lui Darboux și cu normala, acești vectori fiind mereu reciproc perpendiculari.
    Pentru traiectoriile ce pot fi parcurse de corpuri (curbe netede), există un ordin finit, dincolo de care toate tangentele de ordin superior coincid și sunt coliniare cu axa traiectoriei.
    
    Din teorema de recurență rezultă că pentru orice curbă netedă (traiectorie pe care se poate deplasa un corp) există o dreaptă fixă în spațiu (pe care am numit-o axa curbei), deci este o elice de un anumit ordin. 
    
    Cu cât corpul este mai masiv, cu atât curba este mai întortocheată, ordinul este mai mare și mai greu de măsurat experimental, ceea ce face ca de cele mai multe ori să mediem curba și să o confundăm cu axa ei. 
    Astfel, în baza teoremei de recurență, orice curbă netedă este o elice (generalizată) de un anumit ordin. De exemplu, curba de precesie constantă este o elice circulară de ordinul doi. Ar rezulta astfel că orice curbă netedă este un fractal elicoidal.
    Când ne vom referi la versorii triedrului Frenet de ordin superior, vom folosi notații de genul „4-tangenta”, „$\vec{T}_4$” sau „$\mathbf{T_4}”$. Literele „T” le folosim pentru tangentă, „N” pentru normală, „B” pentru binormală și „D” pentru versorul vectorului lui Darboux.
    
    Cu asemenea, notații, ne putem exprima mai concis, spunând, de exemplu, că $\mathbf{T_2}=\mathbf{D_1}$, $\mathbf{B_7}=-\mathbf{N_6}$. 
    

2. Paradoxul repausului și al mișcării rectilinii.

Dacă observatorul nu poate măsura curbura traiectoriei unui corp în repaus sau torsiunea unui corp care se deplasează rectiliniu, atunci aceste noțiuni de repaus și mișcare rectilinie sunt imposibile în realitate și trebuie abandonate, rămânând simple noțiuni teoretice fără suport real.

 3. Inerția elicoidală

Din paradoxurile prezentate rezultă ca și consecință inerția elicoidală. Corpurile libere nu se mai pot mișca rectiliniu și nu pot ajunge în repaus, așadar singura posibilitate pentru un corp liber este să se deplaseze pe o elice circulară. 

 4. Elemente invariante

Dacă corpurile nu pot fi în repaus față de niciun observator, atunci există o viteză liniară universală cu care se pot deplasa ele. Dacă un corp nu se poate deplasa rectiliniu față de niciun observator, atunci există o curbură minimă, relativist invariantă.

 5. Forma traiectoriei este esența interacțiunilor

Energia și masa depind doar de forma traiectoriei. 

 6. Nu există substanță contondentă

Dacă totul are mereu aceeași viteză, nu există substanță contondentă cu masă de repaus, ci numai câmpuri.

 7. Forțele sunt numai perpendiculare pe traiectorie

Datorită faptului că viteza liniară nu poate fi modificată, interacțiunile modifică doar forma traiectoriilor, deci toate forțele sunt perpendiculare pe traiectorie. Astfel, influențele exterioare pot fi clasificate în funcție de parametrii elicei circulare pe care îi poate modifica, precum curbura, torsiunea, lancretianul (raportul dintre curbură și torsiune), darbuzianul (radicalul sumei pătratelor curburii și torsiunii), unghiul elicei sau viteza de rotație a triedrului lui Frenet. 

8. Câmpul electromagnetic modifică darbuzianul

 Legăturile existente între curbură și torsiune se reflectă în legăturile existente între interacțiuni. De exemplu, un câmp (care ar putea fi cel electromagnetic) ar putea modifica simultan atât curbura, cât și torsiunea (deci și darbuzianul), dar să lase invariant lancretianul (unghiul elicei), în timp ce un alt câmp (gravitațional) ar putea lăsa invariant darbuzianul și să modifice doar lancretianul. Primul tip de mișcare, cea care lasă unghiul constant, ar semăna cu mișcarea rectilinie, iar al doilea cu mișcarea circulară.

9. Salturi cuantice în Fizica elicoidală

Mai cred că interacțiunile elastice modifică doar unghiul elicei în intervalul $(0;\frac{\pi}{4})$, iar interacțiunile plastice modifică ordinul. La absorbția energiei (interacțiune plastică), trecerea de la o elice de ordinul $n$ la una de ordinul $n+1$ s-ar produce printr-un salt  și ar avea loc atunci când unghiul elicei atinge valoarea critică de $\frac{\pi}{4}$.

Indicii de studiu pentru viitor

1. Teoreticianul Fizicii elicoidale trebuie să afle care sunt experimentele ce ar trebui făcute pentru adâncirea studiului. De exemplu, dacă Fizica elicoidală afirmă că masa depinde de curbura și torsiunea traiectoriei, înseamnă că studiul curgerii fluidelor masive prin țevi elicoidale de forme variabile ar putea scoate în evidență această dependență. Probabil, aici are un cuvânt greu de spus studiul turbulenței, curgere care are loc pe traiectorii foarte întortocheate ce ar putea fi considerate elice circulare de anumite ordine, ordine mari pentru curgerea turbulentă, ordine mici pentru curgerea laminară. 

2. De asemenea, se poate căuta o analogie a mișcării Sistemului Solar cu o mișcare turbulentă, în care planetele, sateliții și asteroizii au devenit ultimele vârtejuri (vârtejurile mici) în care s-a disipat energia de curgere.

 3. Apoi, mai trebuie găsită o legătură între parametrii macroscopici ai unui gaz aflat la echilibru și parametrii elicei circulare pe care se deplasează moleculele sale. De exemplu, poate că presiunea trebuie asociată lancretianului (raportul dintre curbura elicei și torsiunea ei), volumul trebuie asociat torsiunii, iar temperatura trebuie asociată curburii. Așa o fi? Sau poate că volumul trebuie asociat pasului elicei, iar temperatura trebuie asociată razei elicei. Nu știu...


4. Conform Fizicii elicoidale molecula se deplasează pe o elice circulară și posedă o energie (deci și o masă) dependentă (numai) de parametrii elicei pe care se deplasează. Mai precis, energia moleculei este proporțională cu darbuzianul elicei sau cu torsiunea acesteia (de care ordin)? Acumularea energiei modifică unghiul elicei (deci modifică lancretianul?) sau modifică (numai) darbuzianul? Cât timp unghiul este mai mic decât 45 de grade, interacțiunea este elastică. La atingerea unghiului „critic” (de 45 de grade), molecula absoarbe energie și trece pe o elice circulară de ordin superior, iar unghiul se micșorează (căci crește torsiunea prin absorbția energiei). Ar putea însemna atunci că ciocnirile plastice modifică torsiunea, iar ciocnirile elastice modifică doar curbura.

 
5. Forțele care pot acționa asupra moleculelor pot schimba darbuzianul. Dacă crește unghiul elicei, pare că acesta nu poate depăși 45 de grade.


6. Așadar, ce efect au influențele exterioare asupra formei traiectoriilor moleculelor? Ce modifică ele, curbura, torsiunea, lancretianul, darbuzianul, raza, pasul? Ce parametri ai elicei sunt modificați de un câmp electromagnetic? Dar de unul gravitațional?

 
7. Ce este lumina monocromă care se deplasează prin vid, este un flux de particule de curbură nulă?

 
8. Cum se transformă o elice circulară de la un observator la altul? Există o elice circulară invariantă? Care ar fi transformările care lasă invariantă elicea circulară?



Bineînțeles, asemenea liste nu sunt închise, ele reprezentând acum o simplă cărare plină de liane pe care am încercat eu de unul singur să înaintez de-a lungul anilor, lovind în dreapta și în stânga cu un topor primitiv și suportând cu stoicism rănile adânci care m-au însângerat și m-au ambiționat. În locul acestei cărări înguste, neprimitoare, plină de obstacole și animale sălbatice care mi se împotrivesc eu văd în viitor o autostradă pe care vor zburda veseli în mare viteză fizicienii mei dragi cu automobilele lor moderne...

Voi, cei care vă încredeți azi în asemenea frământări, va trebui să distribuiți aceste gânduri, pentru că s-ar putea ca în lista voastră de prieteni să aștepte vreun ciudat un imbold de acest tip și numai astfel poate afla de el. 

Axa unei curbe netede

Teorema de recurență a formulelor lui Frenet demonstrează că pentru orice curbă netedă există o dreaptă fixă în spațiu, numită axa curbei.

Astfel, oricât de întortocheată va fi traiectoria unui corp în spațiu, va exista o dreaptă în jurul căreia se va deplasa corpul dat. 

Uneori, atunci când mijloacele de observație sunt rudimentare, confundăm mișcarea corpului pe curbă cu mișcarea acestuia pe axa curbei sale.

Familia discretă a elicelor care trec prin două puncte și rezonanța orbitală

Discuția recentă de pe Facebook (Comunitatea profesorilor de Matematică) și răspunsul domnului Paul Blaga care face trimiterea la documentul prețios („Helices through 3 or 4 points?”) în care se arată că familia de elice care trec prin două puncte este DISCRETĂ, îmi amintește de rezonanța orbitală a sateliților galileeni.

O fi vreo legătură între faptul că familia de elice care trece prin două puncte este discretă și rezonanța orbitală a corpurilor cerești (sau chiar a moleculelor)? O fi aici vreun sâmbure de legătură între mecanica clasică și mecanica cuantică?

Moleculele pot fi IDENTIFICATE cu traiectoriile lor

Moleculele nu se ciocnesc niciodată (nu există contact mecanic intim între molecule). De asemenea, moleculele nu pot fi localizate cu precizie de-a lungul traiectoriilor lor, motiv pentru care pozițiile unei anumite molecule pe traiectoria ei sunt echiprobabile. 

Prin urmare, moleculele pot fi IDENTIFICATE pur și simplu cu traiectoriile lor. Așadar, se poate DEFINI o moleculă ca fiind însăși traiectoria pe care o poate avea aceasta.

O asemenea definiție realizează corespondența biunivocă între molecule și curbe (regulate), aruncând tot greul de pe umerii fizicianului în lumea Matematicii și permițând astfel o abordare riguroasă a termodinamicii, a teoriei cinetice a gazelor, a mecanicii fluidelor, cu toate consecințele teoretice care decurg de aici.

Principiul măsurabilității

Principiul măsurabilității:

Dacă un observator $O_1$ poate măsura o mărime fizică și determină o valoare $v_1$ concretă a acestei mărimi, atunci orice observator $O_2$ din Univers va putea măsura acea mărime fizică și va determina tot o valoare concretă $v_2$. 

În baza principiului relativității, forma legilor naturii care leagă valoarea $v_1$ de valoarea $v_2$ nu depinde de starea de mișcare a observatorilor implicați.

Consecință:

Curbura și torsiunea traiectoriei unui corp, fiind și ele mărimi fizice, se supun principiului măsurabilității. Drept urmare, un corp nu poate ajunge în repaus (caz în care curbura traiectoriei nu mai poate fi măsurată) sau în mișcare rectilinie (caz în care torsiunea traiectoriei nu poate fi măsurată).

Prin urmare, trebuie să înlocuim noțiunile imposibile de „repaus” și „mișcare rectilinie” utilizate azi în Fizică, cu mișcarea elicoidală, mai generală, care le aproximează bine pe primele două. Mai exact, (mișcarea pe) o elice circulară de curbură foarte mică aproximează bine (mișcarea pe) o dreaptă (mișcarea rectilinie), iar (mișcarea pe) o elice circulară de curbură foarte mare aproximează bine punctul (repausul).

Legea a treia a lui Kepler dedusă în Fizica elicoidală, fără a face apel la gravitație!

Legea a treia a lui Kepler ne spune că pătratul perioadei de revoluție a unei planete este proporțional cu cubul semiaxei mari a orbitei, adică $$\dfrac{T^2}{a^3}=constant.$$


Numai Newton a reușit să explice această lege, emițând ipoteza existenței unei forțe de atracție între planete și Soare care forță este invers proporțională cu pătratul distanței de la planetă la Soare.



Astăzi voi arăta că și Fizica elicoidală explică această lege, pe baza ipotezei că planetele se mișcă pe elice, adică pe curbe pentru care, așa cum a demonstrat în 1806 dragul matematician francez Michel Ange Lancret, raportul dintre curbură și torsiune este constant.


Fizica elicoidală admite (susține, postulează) că toate corpurile libere din Univers, deci și planetele, se mișcă pe elice, adică pe curbe care fac un unghi constant cu o dreaptă fixă.




De asemenea, în Fizica elicoidală, energia totală a unui corp este proporțională cu darbuzianul traiectoriei sale, adică $$E_{tot}=C\cdot d=C\cdot\sqrt{\kappa^2+\tau^2},$$ unde $C$ trebuie să fie o constantă universală.


Dacă în ultima relație torsiunea este nulă, rămâne energia datorată curburii traiectoriei, adică energia potențială, invers proporțională cu raza elicei $$E_p=C\cdot\kappa=\dfrac{C}{r}.$$


Iar dacă se anulează curbura în această relație, atunci rămâne energia datorată doar torsiunii, care este energia cinetică $$E_c=C\cdot|\tau|=\dfrac{1}{2}mv^2,$$

unde am folosit aproximația nerelativistă pentru expresia energiei cinetice, aproximație valabilă într-o primă etapă de studiu al planetelor.


Din aceste considerente rezultă că Fizica elicoidală mai spune (postulează) ceva echivalent și anume că în mișcarea planetelor raportul dintre energia potențială și energia cinetică este constant.


Dar constanța acestui raport este echivalentă cu legea a treia a lui Kepler! Pentru că din $$\dfrac{E_p}{E_c}=constant,$$

adică

$$\dfrac{\dfrac{C}{r}}{\dfrac{1}{2}mv^2}=\dfrac{2C}{m}\dfrac{1}{\omega^2 r^3}=\dfrac{C}{2\pi^2 m}\dfrac{T^2}{r^3}=constant,$$

ultima egalitate fiind echivalentă tocmai cu legea a treia a lui Kepler! Dumnezeule, ce concluzie! Ce Fizică bogată în consecințe! Fără să aducem în discuție gravitația, am reușit să explicăm cea de-a treia lege a lui Kepler!

Antimateria se mișcă pe elice cu torsiunea opusă celei pe care se mișcă materia

An nou minunat! Și la mulți ani!

Antimateria este un material microscopic. Ea este estompată de materie la nivel macroscopic. Mai precis, la nivel macroscopic, deosebirea dintre materie și antimaterie este insesizabilă. 

Aceasta deoarece materia este caracterizată de mișcare pe elice cu torsiunea negativă, iar antimateria este caracterizată de mișcare pe elice cu torsiunea pozitivă (și pentru fiecare dintre ele separat se aplică statistica Fermi-Dirac, iar pentru sisteme amestecate și puțin numeroase se aplică statistica Bose-Einstein). Atunci când sunt foarte multe particule de materie și antimaterie bine amestecate, torsiunea medie este nulă (caz în care se aplică statistica Maxwell-Boltzmann).