Formulele lui Frenet sunt recursive

Voi începe să vorbesc aici, pe înțelesul celorlalți, despre Fizica elicoidală. Se pare că a venit vremea să fiu și aici la fel de explicit precum sunt pe blogul meu de matematică, deoarece se pare că nimeni nu înțelege mai nimic dacă vorbesc numai pe înțelesul meu.



Matematicianul francez Jean Frédéric Frenet a descoperit că, în orice moment al mișcării sale prin spațiul tridimensional, un corp (sistem) este însoțit de trei vectori foarte speciali, reciproc perpendiculari, de modul egal cu unitatea (vectori care se numesc, din acest motiv, versori). Cei trei versori sunt tangenta, normala și binormala și se pot defini în mod unic, fără niciun echivoc. 

Astfel, tangenta este unicul versor mereu paralel cu traiectoria. Normala este unul dintre infinitatea posibilă de versori perpendiculari pe traiectorie (deci și pe tangentă), dar este singurul versor perpendicular pe traiectorie și, în același timp, coliniar cu derivata tangentei. Iar binormala este un versor care este, de asemenea, perpendicular pe traiectorie (deci și pe tangentă), doar că binormala este perpendiculară și pe normală. Mai exact, binormala este produsul vectorial dintre tangentă și normală.

Mulțimea acestor trei versori se numește „triedrul lui Frenet”, căci Frenet a fost primul matematician care a scos în evidență existența și unicitatea acestor trei versori. 

Frenet nu a scos în evidență doar cei trei versori, ci ne-a dat și o legătură remarcabilă între ei, legătură numită „formulele lui Frenet”. În cuvinte, formulele lui Frenet ne spun că atât derivata tangentei, cât și derivata binormalei, sunt ambele coliniare cu normala. Vă dați seama ce interesant?! Ambele derivate sunt coliniare cu unul și același versor, normala!

Haideți să vedem cum arată efectiv aceste formule ale lui Frenet. Avem un set de trei formule, câte una pentru fiecare versor al triedrului lui Frenet, adică pentru derivata fiecăruia:


$$\color{red}{\dot{\vec T}}=\kappa\vec N;$$
$$\color{blue}{\dot{\vec N}}=-\kappa\vec T+\tau\vec B;$$
$$\color{limegreen}{\dot{\vec B}}=-\tau\vec N.$$

Derivarea se face în raport cu parametrul canonic, adică în raport cu distanța parcursă de corp de-a lungul traiectoriei, dar, dacă vreți, voi puteți folosi derivata (mai simplă) în raport cu timpul, numai că atunci va trebui să țineți seama de viteza cu care se deplasează corpul pe traiectorie (deci va apărea și viteza în formulele lui Frenet). Dacă admitem că viteza este constantă, complicațiile pe care le implică derivarea în raport cu timpul dispar.

Cei doi coeficienți de proporționalitate care apar în formulele lui Frenet se numesc „curbură” și, respectiv, „torsiune”.


Cam în vremea în care Frenet făcea descoperirile sale ce i-au adus nemurirea se năștea un alt mare gigant al matematicii: Jean Gaston Darboux. Printre multele sale realizări, Darboux ne-a mai dăruit un vector important, alături de versorii lui Frenet, vector numit ulterior tocmai „vectorul lui Darboux”. Acesta nu mai este un versor, căci nu mai are modulul egal cu unitatea. Mai exact, vectorul lui Darboux este dat de expresia
$$\vec\Omega=\tau\vec T+\kappa\vec B.$$
Observați dintru început că acest vector al lui Darboux se află în planul format de tangentă și binormală. Asta mai înseamnă că vectorul lui Darboux este perpendicular pe normală. Faptul că vectorul lui Darboux este perpendicular pe normală ne sugerează (cel puțin, mie mi-a sugerat) existența unui nou versor pe care să-l analizăm: versorul vectorului lui Darboux. Notăm acest nou versor cu ${\vec T}_2$. Avem, deci
$${\vec T}_2=\frac{\vec\Omega}{|\vec\Omega|}$$

Și, din moment ce versorul vectorului lui Darboux este perpendicular pe normală, nu cumva am putea construi un nou triedru, format cu acest versor ${\vec T}_2$ și normală și versorul perpendicular atât pe ${\vec T}_2$, cât și pe normală? Ei bine, răspunsul este afirmativ!

Și, mai ales, nu numai că putem construi un nou triedru interesant, diferit de triedrul lui Frenet, ci în mișcarea acestui nou triedru putem regăsi, din nou, formulele lui Frenet! Mai exact, dacă vă veți apuca să derivați versorul ${\vec T}_2$, veți găsi că derivata lui este coliniară cu un alt versor ${\vec N}_2$ și, mai mult, derivata normalei este și ea coliniară cu unul și același versor cu care este coliniară derivata lui ${\vec T}_2$. Totul se petrece întocmai cum s-a petrecut mai sus cu derivata versorilor ${\vec T}$ și ${\vec B}$ despre care am văzut că au derivatele coliniare cu normala (formulele lui Frenet).

Este o descoperire uriașă! Ar trebui să urlu de bucurie! Aș vrea să mă înțelegeți, măcar până aici.