Căutați ceva anume?

marți, 24 decembrie 2013

Corespondenţa biunivocă dintre elicele circulare şi numerele complexe

Bazându-ne pe observaţia că oricărei perechi formate cu torsiunea şi curbura unei curbe într-un anumit punct al ei îi putem asocia un număr complex, numit „torsiune complexă”, putem duce aceste raţionamente mai departe şi să construim o altă asociere, de data aceasta între o elice circulară şi un număr complex.

Mai precis, având în vedere faptul că torsiunea şi curbura unei elice circulare sunt constante, putem asocia unei elice circulare tocmai numărul complex , format cu torsiunea şi curbura acelei elice. Prin această asociere, fiecare elice circulară este un punct în planul complex. Şi reciproc, fiecărui punct din planul complex îi asociem elicea circulară cu torsiunea dată de partea reală a numărului complex dat de afixul punctului respectiv din planul complex şi curbura dată de partea imaginară a acestui număr complex.

Desigur, nu toate elicele sunt elice circulare. Deci, nu oricărei elice îi putem asocia un punct. Dar, cu certitudine, oricărei elice îi putem asocia o mulţime de numere complexe cu acelaşi argument. Aşadar, unei elice oarecare îi asociem în planul complex un segment de dreaptă înclinat faţă de axa absciselor cu un unghi egal cu argumentul torsiunii complexe. Acest lucru exprimă şi faptul că o curbă de lancretian constant (deci o elice) poate fi considerată în planul complex un segment de dreaptă a cărui prelungire trece prin origine.

Complementar, putem vorbi despre curbe de darbuzian constant, acestea având ca reprezentare în planul complex nişte arce de cerc cu centrul în origine. Asemenea curbe, deşi au lancretianul variabil, au proprietăţi identice numerelor complexe de modul constant. Altfel spus, putem stabili un izomorfism între mulţimea curbelor de darbuzian constant şi a numerelor complexe de modul constant, aşa cum putem stabili un izomorfism între mulţimea curbelor de lancretian constant şi mulţimea numerelor complexe de argument constant.

Printr-o transformare conformă, putem înlocui planul complex cu un plan în care pe axa absciselor să reprezentăm valorile lancretianului, iar pe axa ordonatelor să reprezentăm valorile darbuzianului. Într-un asemenea plan, elicele circulare ar rămâne puncte, elicele ar fi segmente „verticale”, iar curbele de darbuzian constant (oare ce denumire să dăm unor asemenea curbe?) ar fi segmente „orizontale”.

Postări populare

A apărut o eroare în acest obiect gadget

Arhivă blog

Etichete

Persoane interesate