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sâmbătă, 9 iunie 2012

La théorème de recurrence des formules de Frenet

Etudier les formules de Frenet, j'en ai conclu que ils sont récursif. Plus précisément, à l'aide de forme trigonométrique des formules de Frenet, j'ai prouvé le suivant
Théorème: s'il ya un trièdre droit de n ordre

qui satisfait les formules de Frenet de n ordre, écrite comme la forme
trigonométrique

 
alors il ya un
trièdre droit de n+1 ordre


 
qui satisfait, à son tour, les formules de Frenet de n+1 ordre, écrite aussi comme la forme trigonométrique




  et 
  .
Démonstration
 :
Grâce à des relations
  et
 
nous avons que


si


  .
Nous avons également



d'où



  .
Maintenant, nous dérivons les vecteurs unitaires du trièdre de l'ordre n +1


 
et nous obtenons


  .
Remplacer


et

  , nous obtenons


  .

Mais, d'après
de la définition des vecteurs unitaires de l'ordre de haut, nous savons que


  ,

si


  .

Parce que   et   ,

finalement abouti


  ,
ce qui devrait être démontré.

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