Căutați ceva anume?

marți, 15 mai 2012

Elicea închisă are torsiunea variabilă

În general, o curbă definită prin ecuaţiile ei naturale (deci în funcţie de parametrul canonic) ca fiind  se numeşte închisă dacă există o valoare minimă nenulă şi finită  a parametrului canonic pentru care avem . Desigur, dacă este îndeplinită această relaţie, atunci este îndeplinită şi relaţia şi relaţia  şi, în general, pentru orice număr întreg , avem îndeplinită relaţia . Cum  este parametrul canonic, adică o lungime, putem defini o lungime a curbei închise ca fiind tocmai valoarea . Aşadar, o curbă închisă are lungimea nenulă şi finită.


Acum ştim că elicea este o curbă de lancretian constant şi vrem să determinăm ce proprietăţi are o elice închisă, adică o elice care ajunge înapoi de unde a plecat deşi îşi menţine în acelaşi timp lancretianul constant.


Dacă lancretianul elicei se menţine constant, atunci singurul parametru care poate varia este darbuzianul ei, adică radicalul sumei pătratelor curburii şi torsiunii. Mai precis, darbuzianul este modulul vectorului lui Darboux, adică
. 


Putem observa că darbuzianul mai poate fi scris şi , unde  este lancretianul curbei, constant în cazul elicei, motiv pentru care radicalul  este deja şi el o mărime constantă în cazul elicei. Aşadar, darbuzianul elicei este proporţional cu torsiunea ei, ceea ce înseamnă că dacă torsiunea elicei este constantă, atunci şi darbuzianul elicei este constant, iar dacă torsiunea elicei este variabilă, atunci şi darbuzianul elicei este variabil.


Să arătăm întâi că:
Teoremă: o elice cu darbuzianul constant nu poate fi închisă.
Demonstraţie:
Am văzut că darbuzianul elicei este proporţional cu torsiunea ei. Aşadar, dacă darbuzianul elicei este constant, atunci atât torsiunea elicei este constantă, cât şi curbura ei, ceea ce înseamnă că elicea dată este circulară. Prin urmare, elicea de darbuzian constant este circulară. Să arătăm atunci că elicea circulară nu este închisă.
Ştim că ecuaţiile carteziene ale elicei circulare  definite în funcţie de parametrul canonic sunt 
.
Dacă elicea circulară ar fi închisă, ar trebui să existe o valoare nenulă şi finită  astfel încât să avem . Deci ar trebui să avem îndeplinite simultan toate cele trei condiţii următoare 
.
Să arătăm acum că ultima condiţie nu poate fi îndeplinită. Din egalitatea 
rezultă că trebuie să avem
ceea ce implică relaţia . Dar această relaţie contravine definiţiei curbei închise care cere ca lungimea curbei închise să fie nenulă şi finită. Aşadar, prin reducere la absurd, teorema este demonstrată.


În consecinţă, teorema ne arată că elicea închisă trebuie să aibă darbuzianul variabil, iar asta înseamnă că elicea închisă are şi torsiunea variabilă. Desigur, aceasta este doar o condiţie necesară, nu şi una suficientă, căci nu orice elice cu torsiune variabilă este închisă.

Postări populare

A apărut o eroare în acest obiect gadget

Arhivă blog

Etichete

Persoane interesate