Căutați ceva anume?

sâmbătă, 17 decembrie 2011

Torsiunea creşte cu ordinul


Am văzut că vectorul lui Darboux are modulul dat de radicalul sumei pătratelor curburii şi torsiunii. Altfel spus, vectorul lui Darboux este ipotenuza unui triunghi dreptunghic ale cărui catete au ca mărimi tocmai curbura şi torsiunea.
Totodată, din teorema de recurenţă a formulelor lui Frenet, mai rezultă că vectorul lui Darboux de ordinul 2 are ca modul, de data aceasta, radicalul sumei pătratelor curburii de ordinul 2 şi torsiunii de ordinul 2. Altfel spus, vectorul lui Darboux de ordinul 2 este ipotenuza unui triunghi dreptunghic ce are o catetă de mărimea egală tocmai cu modulul vectorului lui Darboux (de ordinul 1).
Dar această recurenţă se extinde la orice ordin. Mai precis, vectorul lui Darboux de un anumit ordin este ipotenuza unui triunghi dreptunghic ce are o catetă de mărimea egală cu modulul vectorului lui Darboux de ordin inferior. Şi cum ipotenuza este întotdeauna mai mare decât o catetă, rezultă că modulul vectorului lui Darboux de un anumit ordin este mai mare decât modulul vectorului lui Darboux de ordin inferior.
Cum modulul vectorului lui Darboux de un anumit ordin este tocmai torsiunea de ordin imediat superior, rezultă ceea ce trebuia demonstrat, şi anume că şi torsiunea este o funcţie crescătoare cu ordinul.

Postări populare

A apărut o eroare în acest obiect gadget

Arhivă blog

Etichete

Persoane interesate